الإتحاد والتقاطع في المجموعات

    الإتحاد والتقاطع في المجموعات

    المجموعة الشاملة لمجموعات معطاة هي المجموعة التي تحوي كل هذه المجموعات ويرمز لها بالرمز  ش
    أمثلة

    مثال 1) :

     لتكن س  مجموعة الطلبة في مدرستك ,  ع  مجموعة طلاب الصف الثامن في مدرستك , م مجموعة طلاب الصف السادس في مدرستك .
    من المثال نلاحظ مايلي : ع  س  , م  س ,  س  س   وهذا يعني أن   س  تحوي المجموعات الثلاث معا  , وبالتالي نسميها المجموعة الشاملة .

    مثال2 )

    إذا كانت   ف = { 1 , 2 }   ,   ن = { 2 , 3 , 4}  , نلاحظ أن :
    ف ليست جزئية من   ن   ,   وكذلك ن ليست جزئية من  ف    
    لذا  نبحث عن مجموعة شاملة للمجموعات الثلاث  معا وهي :
    ش =  { 1 , 2 , 3 , 4 }  وتسمى هذه بالمجموعة الشاملة

    تقاطع المجموعات

    التقاطع أحد العمليات على المجموعات ومن الممكن أن نعرف تقاطع مجموعتين كالتالي :
    تقاطع مجموعتين  س و ص هي مجموعة كل العناصر التي تنتمي إلى س , وتنتمي إلى ص في آن واحد  . ونرمز لها بالرمز س  ص  ,  وتقرأ س تقاطع ص .
    ويمكن أن نميز التقاطع بمنطقة مظللة في الرسم .
    مثال 1)
    إذا كانت أ= { 2 , 3 , 4 ,5 }        ,   ب= { 2 , 3 , 6  ,  7}
    أوجد أ  ب ومثل ذلك بشكل فن ؟
    http://www.ar-science.com



    الحل :
    أ  ب = { 2 , 3 }


    عملية الاتحاد

    أتحاد مجموعتين س , ص هي مجموعة العناصر التي تنتمي إلى س أوتنتمي إلى ص أو إلى كليهما.
    ويرمز لها بالرمز   س U ص   وتقرأ  س أتحاد ص . ويمكن تمييزها بتظليلها بخطوط  أو التظليل الكامل.
    أمثلة
    مثال 1)
    إذا كانت أ= { 2 , 3 , 4}     ب= { 2 , 3 , 6  ,  7}
    أوجد أ U ب ومثل ذلك بشكل فن ؟




    http://www.ar-science.com



    الحل :
    أ U ب = {  2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }    جميع الأرقام الموجودة في المجموعتين  , ويدل على ذلك المنطقة المظللة بخطوط كاملة في الرسم ’ بينما منطقة التقاطع واضحة فهي مظللة بخطوط متقاطعة أفقيا وراسيا .


    أمثلة عامة 


    http://www.ar-science.com
     الشكل 1



    http://www.ar-science.com
       الشكل2 


    من الشكلين السابقين الموجودة  أوجد مايلي  :


    1)     ش أ = أ وهذا يعني أن أي مجموعة في المجموعة  
    الشاملة تمثل التقاطع مع المجموعة الشاملة

    2)     أ =   لأن  المجموعة ﺠ  موجودة داخل المجموعة أ    

    3)       ش U أ = ش وهذا يعني أن المجموعة الشاملة تمثل الأتحاد   
        لأي مجموعة أخرى موجودة معها
                                                                                                         
    4)     أU = ش  لأن المجموعة الشاملة هي من تحتوي المجموعتين   كلاهما                                                                                                                                                                        
    الشكل الثاني :
    1)     أ ب = ø وذلك لأن المجموعتان منفصلتان  
           أ U ب =ش كل عناصر المجموعتين  ( المجموعة الشاملة) 

    الفرق بين مجموعتين

    المجموعة س فرق المجموعة ص , هو مجموعة عناصرها تنتمي إلى المجموعة س ولا تنتمي إلى المجموعة ص ونرمز لذلك بالرمز  : س / ص .
    س / ص = { أ : أ  س , أ  ص }
    إذا كانت س = { 3 , 4 ,5 }     ,  ع = { 4 , 5 , 6 }, أوجد مايلي :
    1)                 س /  ع  , ومثلها بشكل فن
    2)                 ع / س ومثلها بشكل فن
    الحل :
    1)     س /  ع  = { 3 , 4 ,5 }  /  { 4 , 5 , 6 }
                        = { أ : أ  س , أ  ع } = { 3 }
     ونمثلها بالمنطقة المظللة في الرسم

    http://www.ar-science.com







    2)     ع / س = { 4 , 5 , 6 }  /  { 3 , 4 ,5 }  
               ={ أ : أ  ع , أ  س } = {6}  .

    http://www.ar-science.com






    المجموعة المتممة 

    المجموعة المتممة لمجموعة س هي مجموعة العناصر التي تنتمي إلى المجموعة ش الشاملة ولا تنتمي إلى المجموعة س ويرمز لها بالرمز  سَ  . أي أن  :
    سَ = { أ : أ  ش  , أ  س }
    أمثلة
    مثال :
    إذا كانت ش = { 3  , 4  ,  5 , 6 , 7  , 8 }
    س = { 3  , 4  , 7 }            ,   ص = { 4 , 7 , 5  , 8 } , أوجد مايلي:
     1) سَ        2)   صَ   ومثلهما بأشكال فن ؟
    الحل :
    1)     سَ = ش / س  = { 3  , 4  ,  5 , 6 , 7  , 8 } / { 3  , 4  , 7 }
                               ={ 5 , 6  , 8 }
      وتمثلها المنطقة المظللة في الشكل

    http://www.ar-science.com







    2)     صَ = ش / ص
    = { 3  , 4  ,  5 , 6 , 7  , 8 } /  { 4 , 7 , 5  , 8 }=  { 3 , 6 } 
     وتمثلها المنطقة المظللة في الشكل التالي

    http://www.ar-science.com






    3)     أوجد صً ؟
    صً  = ص نفسها  أي أن متممة المتممة يساوي  المجموعة نفسها

    قانونا دي مورجان
    1)     ( س U ص )َ  = سَ  صَ
    2)     (س  ص  )َ  =  سَ صَ
    أمثلة
    مثال  :
    إذا كانت  ش = { 11 ، 12 ، 13 ، 14 ، 15 ، 16 ، 17 ، 18 ، 19 }
     س = { 11 , 12 , 13 , 14 , 18 }       ,   ص = {14 , 15, 16 , 18 }  ,  فأوجد
      1) (س ∩ ص) َ
       2 ) (س Uص)َ 


    الحل :


    أولاً نوجد :  سَ = { 15 , 16 , 17 , 19 }
                    صَ = { 11 ، 12 ، 13 ، 17 ، 19 }
    باستخدام قانوني دي مورجان :  

    1)     (س  ص  )َ 
            =  سَ صَ
            ={ 15 , 16 , 17 , 19 }  { 11 ، 12 ، 13 ، 17 ، 19 }
        =  {11، 12، 13، 15، 16 ،17 ،19}
    2)     (س U ص )َ 
           = سَ  صَ
           ={ 15 , 16 , 17 , 19 }  { 11 ، 12 ، 13 ، 17 ، 19}
          = { 17، 19}
    مثال :
    إذا كانت المجموعة الشاملة هي مجموعة الأرقام في النظام العشري ، ما
    متممة مجموعة أرقام العدد 299735 ؟
    الـحــــل:
                               مجموعة الأرقام في النظام العشري هي = {0 ، 1 ، 2 ،3 ، 4 ، 5 ،6 ،7، 8 ،9}
                              وبالتالي فإن متممة مجموعة أرقام العدد 299735 هي {0 ، 1 ، 4 ، 6 ، 8}

    مثال 
    إذا كانت س ، ص مجموعتين  ش مجموعة شاملة فإن  :
      1)  س سَ =   ش                   2) س ∩ سَ = ø
      3) سَ ش =   ش                        4) سَ ∩ ش = سَ
     5) شَ =   øَ     (  6                                     øَ =  ش
    7 ) سَ Ø = سَ                       8)  سَ ∩ Ø  =  ø

    قد تهمك
    خواص عمليتي التقاطع والأتحاد





                
    شارك المقال

    قد يهمك أيضا :