معادلات الدرجة الثانية في متغير واحد
نعلم بأن صورة المعادلات من الدرجة الأولى في متغيرواحد على الشكل :
أس + ب = 0 , والمعادلات بشكل عام لها صور متعددة كل منها لة تسمية تميزها عن غيرها من المعادلات , فالمعادلات التي على الصورة :
أس2+ ب س + ﺠ = 0 ، حيث أ ، ب ، ﺠ ' ن ( الأعداد النسبية ) , أ ≠ 0 تسمى هذه المعادلة : معادلة من الدرجة الثانية في متغير واحد .
- سم المعادلات التالية مع ذكر السبب ؟
1- 4س = 9
2- 6س2 + 4 = 22
3- 5س + 12 س3 = 7
الحل :
1- معادلة من الدرجة الأولى في متغير واحد( س ) وقوتة ( 1 )
2- معادلة من الدرجة الثانية في متغير واحد ( س ) وقوتة ( 2 )
3- معادلة من الدرجة الثالثة في متغير واحد ( س ) وقوتة ( 3 )
- أكمل الجدول التالي :
المعادلة
|
الدرجة
|
معامل س2
|
معامل س
|
الحد المطلق
|
4س2+5س+6=0
|
2
|
4
|
5
|
6
|
6س2+ 5 =0
|
2
|
6
|
0
|
5
|
س2+13س-5=9
|
سنقوم بحل معادلات من نوع واحد والتي تكتب على الصورة :
أس2 + ﺠ = 0
مثال :
حل المعادلة : 4أ2 - 64 = 0
4أ2 - 64 + 64 = 0 + 64 بإضافة العدد 64 إلى طرفي المعادلة فتصبح
4أ2 = 64 بقسمة طرفي المعادلة على 4
4أ2 / 4 = 64 / 4 فتصبح أ2 = 16 و بأخذ الجذر التربيعي تصبح
أ = ± 4 , \ م . ح = { - 4 ، 4 } .
وللتحقق من صحة الحل :
- عندما أ = -4
الطرف الأيمن = 4أ2 - 64 = 4 × ( - 4 ) - 64
= 4 × 16 - 64 = 64 – 64 = 0
الطرف الأيسر = صفر
\ الطرف الأيمن = الطرف الأيسر = صفر .
- عندما أ = 4 أكمل ذلك بنفسك
مثال 2 )
إذا كان ثلاثة أمثال مربع عدد يساوي 243 , فما هو العدد ؟
الحل :
نفرض أن العدد = س
\ مربع العدد = س2 , ثلاثة امثال مربع العدد = 3 س2
\ 3 س2 = 243 ,
3 س2 / 3 = 243 / 3 (بقسمة الطرفين على 3 )
س2 = 81 بأخذ الجذر التربيعي
\ س = ± 9
مجموعة الحل = { -9 , 9 }
مثال 3 )
عبر عن الأتي باستخدام المعادلات :
1- قطعة أرض مستطيلة الشكل طولها يزيد عن عرضها بمقدار 50 مترا ومحيطها يساوي 240 مترا .
2- خمسة أمثال مربع عدد يساوي 80 .
الحل :
1- نفرض عرض القطعة المستقيمة = ص
العلاقة الأولى: طول القطعة المستقيمة يزيد عن عرضها بمقدار 50 مترا
\طول القطعة = ص + 50
العلاقة الثانية :
محيط القطعة المستطيلة يساوي 240 مترا .
\محيط القطعة = 240 مترا
\2 ( الطول + العرض ) = 240
2 ( ص + 50 + ص ) = 240
2 ( 2ص + 50 ) = 240
4 ص + 100 = 240
\المعادلة هي 4ص + 100 = 240 .
2- نفرض أن العدد = ل
\ مربع العدد = ل2 وبالتالي فإن خمسة أمثال مربع العدد = 5ل2.
العلاقة هي خمسة أمثال مربع العدد يساوي 80
\المعادلة هي :
5ل2 = 80