4/03/2015

معامل الارتباط الخطي لبيرسون

معامل الارتباط الخطي لبيرسون

في حالةجمع بيانات عن متغيرين (x , y ) نستطيع قياس الارتباط بينهما باستخدام طريقة بيرسون  ومن الأمثله على ذلك قياس العلاقة بين الوزن والطول وغيرها .

تفسير معامل الارتباط

كلما زادت  القيمة المطلقة لمعامل الارتباط كلما اقتربت النقط من الخط المستقيم  , ويكون الارتباط خطي قوي .
وكلما قلت القيمة المطلقة لمعامل الارتباط كلما ابتعدت النقط عن الخط المستقيم , وبالتالي يكون الارتباط ضعيف .
أما إذا كانت r = ±1  فأن جميع النقط تقع على الخط المستقيم , ويكون الارتباط تام , وبشكل عام توصف معاملات الأرتباط التي تزيد عن 0.8)) بأنها قويه , والتي تقع حول 0.5 بأنها متوسطة , والتي تقل عن 0.3)) بأنها ضعيفة .

نظرية الارتباط :

إذا كانت  x1, x2 ,  x3 , …….. , xn  قياسات ظاهره معينه  x
ولتكن , y1 , y2,  y3 , …. , yn  قياسات ظاهره أخرى   y  ويعرف معامل الارتبط بين الظاهرتين  باستخدام صيغة بيرسون التالية :
http://www.ar-science.com


حيث ان  Sxy= sum (x - x̅ )(y - ̅y)/ (n -1)  :  هو التغاير بين   ( y , x)
   Sx  هو الانحراف المعياري لقيم  x   ويساوي الجذر التربيعي ل
              sum(x - x̅ )2/(n -1)  (sum تعني المجموع )
   Sy  هو الانحراف المعياري لقيم  y  ويساوي الجذر التربيعي ل
              sum(y - y̅ )2/(n -1)  (sum تعني المجموع )

مثال

أوجد معامل الارتباط بين  y , xحيث ان :
X :  2  ,  2  ,  3 ,  5     
y :  4  , 1  ,  6 ,  5     
الحل :
-         نوجدالمتوسط الحسابي
   x̅  =2+2+3+5 / 4  =   3    ,    y̅ = 4+1+6+5 /4 =4 
-          لحساب معامل الارتباط  نكون الجدول التالي :
(y - y̅ )2
(x - x̅)2
(x-x̅ ) (y - y̅)
y -  y̅
x -  x̅
y
X 
(0)2=1
(-1)2=1
         -1
4-4=0
2-3=-1
4
2
(-3)2=9
(-1)2=1
         3
1-4=-3
2-3=-1
1
2
(2)2=4
(0)2=0
         2
6-4=2
3-3=0
6
3
(1)2=1
(2)2=4
         2
5-4=1
5-3=2
5
5
     15
   6
         6
 0  
    0
  
sum

-         نستخدم المعادله التي ذكرناها سابقا :


http://www.ar-science.com


وهذا يعني أن نتيجة التحليل تشير إلى وجود أرتباط خطي متوسط بين المتغيرين
بعد أن أخذنا هذا المثال والذي يبدو أنه بسيط  في عملياته الحسابية , كون المتوسطات أعدادا صحيحه .
فإذا كان المتوسطين كسورا عشريه فإنك ستلاقي صعوبه في الحل بالقانون  السابق , لكن تم إيجاد صيغ  أخرى لمعامل الأرتباط في هذه الحاله  :
http://www.ar-science.com/



مثال :

النتائج التالية تمثل نتائج الإختبار لسته طلاب في النظري x   واختبار العملي y
في مادة الفيزياء .
24  
20  
30  
25  
40  
31  
X  
5  
2  
4    
3  
11  
5  

المطلوب :
أوجد معامل الارتباط وفسر النتيجة التي تحصل عليها ؟
الحل :
الصيغة الأولى
-         نوجد الجدول التالي

Y2
X2
X Y
Y
X
25  
961  
155  
5  
31  
121  
1600  
440  
11  
40
9  
625  
75  
3  
25
16  
900  
120  
4  
30
4  
400  
40  
2  
20
25  
1156  
170  
5  
24  
200  
5642  
1000  
30  
Sum=
180

باستخدام  الصيغة الأولى :

               600 /  660  =  0.91=
الصيغة الثانيه
-         نوجد متوسط x   ,  =180 /6 = 30   x̅  
-         نوجد متوسط y   , y̅ =30 /6 =5 
-           باستخدام معادلة الصيغة الثانية :



=100  / 110  =   0.91                          
وهذه النتيجة تبين أن العلاقة بين المتغيرين خطية طردية لأن الإشاره موجبة والأرتباط قوي .

خصائص معامل الارتباط

·        تتراوح قيمة معامل الارتباط بين ±1
·        تكون قيمة معامل  الارتباط   ±1في حال العلاقة بين المتغيرين تامه وعند غيرها تكون غير تامه  
·        عند عدم وجود علاقة بين المتغيرين  تكون قيمة معامل الارتباط تساوي صفر
·        عندما يكون معامل الارتباط موجب تكون العلاقة طردية , وتكون عكسية عندما تكون سالب .


مميزات معامل الارتباط لبيرسون :

- قيمته مجردة من وحدات القياس

ومن أهم مساوئة :

- لايعبر عن متانة العلاقة بشكل صحيح إلا إذا كانت خطية
- لايمكن استخدامة إذا كانت المتغيرات وصفية