معامل الارتباط الخطي لبيرسون
في حالةجمع بيانات عن متغيرين (x , y ) نستطيع قياس الارتباط بينهما باستخدام طريقة بيرسون ومن الأمثله على ذلك قياس العلاقة بين الوزن والطول وغيرها .
تفسير معامل الارتباط
كلما زادت القيمة المطلقة لمعامل الارتباط كلما اقتربت النقط من الخط المستقيم , ويكون الارتباط خطي قوي .
وكلما قلت القيمة المطلقة لمعامل الارتباط كلما ابتعدت النقط عن الخط المستقيم , وبالتالي يكون الارتباط ضعيف .
أما إذا كانت r = ±1 فأن جميع النقط تقع على الخط المستقيم , ويكون الارتباط تام , وبشكل عام توصف معاملات الأرتباط التي تزيد عن 0.8)) بأنها قويه , والتي تقع حول 0.5 بأنها متوسطة , والتي تقل عن 0.3)) بأنها ضعيفة .
نظرية الارتباط :
إذا كانت x1, x2 , x3 , …….. , xn قياسات ظاهره معينه x
ولتكن , y1 , y2, y3 , …. , yn قياسات ظاهره أخرى y ويعرف معامل الارتبط بين الظاهرتين باستخدام صيغة بيرسون التالية :
حيث ان Sxy= sum (x - x̅ )(y - ̅y)/ (n -1) : هو التغاير بين ( y , x)
Sx هو الانحراف المعياري لقيم x ويساوي الجذر التربيعي ل
sum(x - x̅ )2/(n -1) (sum تعني المجموع )
Sy هو الانحراف المعياري لقيم y ويساوي الجذر التربيعي ل
sum(y - y̅ )2/(n -1) (sum تعني المجموع )
مثال
أوجد معامل الارتباط بين y , xحيث ان :
X : 2 , 2 , 3 , 5
y : 4 , 1 , 6 , 5
الحل :
- نوجدالمتوسط الحسابي
x̅ =2+2+3+5 / 4 = 3 , y̅ = 4+1+6+5 /4 =4
- لحساب معامل الارتباط نكون الجدول التالي :
(y - y̅ )2
|
(x - x̅)2
|
(x-x̅ ) (y - y̅)
|
y - y̅
|
x - x̅
|
y
|
X
|
(0)2=1
|
(-1)2=1
|
-1
|
4-4=0
|
2-3=-1
|
4
|
2
|
(-3)2=9
|
(-1)2=1
|
3
|
1-4=-3
|
2-3=-1
|
1
|
2
|
(2)2=4
|
(0)2=0
|
2
|
6-4=2
|
3-3=0
|
6
|
3
|
(1)2=1
|
(2)2=4
|
2
|
5-4=1
|
5-3=2
|
5
|
5
|
15
|
6
|
6
|
0
|
0
|
sum
|
- نستخدم المعادله التي ذكرناها سابقا :
وهذا يعني أن نتيجة التحليل تشير إلى وجود أرتباط خطي متوسط بين المتغيرين
بعد أن أخذنا هذا المثال والذي يبدو أنه بسيط في عملياته الحسابية , كون المتوسطات أعدادا صحيحه .
فإذا كان المتوسطين كسورا عشريه فإنك ستلاقي صعوبه في الحل بالقانون السابق , لكن تم إيجاد صيغ أخرى لمعامل الأرتباط في هذه الحاله :
مثال :
النتائج التالية تمثل نتائج الإختبار لسته طلاب في النظري x واختبار العملي y
في مادة الفيزياء .
24
|
20
|
30
|
25
|
40
|
31
|
X
|
5
|
2
|
4
|
3
|
11
|
5
|
Y
|
المطلوب :
أوجد معامل الارتباط وفسر النتيجة التي تحصل عليها ؟
الحل :
الصيغة الأولى
- نوجد الجدول التالي
Y2
|
X2
|
X Y
|
Y
|
X
|
25
|
961
|
155
|
5
|
31
|
121
|
1600
|
440
|
11
|
40
|
9
|
625
|
75
|
3
|
25
|
16
|
900
|
120
|
4
|
30
|
4
|
400
|
40
|
2
|
20
|
25
|
1156
|
170
|
5
|
24
|
200
|
5642
|
1000
|
30
|
Sum=
180
|
باستخدام الصيغة الأولى :
600 / 660 = 0.91=
الصيغة الثانيه
- نوجد متوسط x , =180 /6 = 30 x̅
- نوجد متوسط y , y̅ =30 /6 =5
- باستخدام معادلة الصيغة الثانية :
=100 / 110 = 0.91
وهذه النتيجة تبين أن العلاقة بين المتغيرين خطية طردية لأن الإشاره موجبة والأرتباط قوي .
خصائص معامل الارتباط
· تتراوح قيمة معامل الارتباط بين ±1
· تكون قيمة معامل الارتباط ±1في حال العلاقة بين المتغيرين تامه وعند غيرها تكون غير تامه
· عند عدم وجود علاقة بين المتغيرين تكون قيمة معامل الارتباط تساوي صفر
· عندما يكون معامل الارتباط موجب تكون العلاقة طردية , وتكون عكسية عندما تكون سالب .
مميزات معامل الارتباط لبيرسون :
- قيمته مجردة من وحدات القياس
ومن أهم مساوئة :
- لايعبر عن متانة العلاقة بشكل صحيح إلا إذا كانت خطية
- لايمكن استخدامة إذا كانت المتغيرات وصفية
- لايمكن استخدامة إذا كانت المتغيرات وصفية