هو أحد مقاييس التشتت، ويعد من الأكثر استخداما في النواحي التطبيقية , ويعبر عن متوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي .
الانحراف المعياري Standard Deviation
في التباين يعتمد على مجموع مربعات الانحرافات , وهذا لا يتمشى مع وحدات قياس المتغير محل الدراسه , من أجل ذلك لجأ الإحصائيون إلى مقياس منطقي يأخذ في الاعتبار الجذر التربيعي للتباين , لكي يناسب وحدات قياس المتغير , وهذا المقياس هو الانحراف المعياري .
وبالتالي يمكن تعريف الانحراف المعياري بأنه :
الجذر التربيعي الموجب للتباين ( الانحراف المعياري = جذر التباين ) .
نستطيع أن نحسب التباين بعدة طرق وحسب البيانات المأخوذة وسنذكر ذلك في مايلي :
أولا: التباين في المجتمع σ2
ويقصد بذلك أن نأخذ بيانات كامل المجتمع( مجتمع محدود ) وليس عينة منة, وكذلك لا يوجد فيه بيانات مبوبة فهو دائما مايكون لبيانات محدده ( غير مبوبه ) وبذلك يمكن تعريفه في هذه الحالة :
إذا كانت x1,x2,...,xN هي قراءات أو مفردات مجتمع إحصائي وعددها N وكان الوسط الحسابي لها
يساوي N ) / x1+x2+..+ xi) x̅ = فإن التباين يمكن أيجادة بتطبيق
المعادله التالية :
σ2 = Sum(xi - x̅) 2/ N
حيث (xi - x̅) 2هي مربعات الانحرافات وتساوي
, (x2 - x̅) 2,……, (xN - x̅) 2 (x1 - x̅) 2
Sum تعني مجموع , x̅ المتوسط الحسابي , N عدد البيانات
xi = x1 , x2 , x3, ….. , xN
مثال :
أوجد التباين للبيانات التالية :
5 , 13 , 7 , 14 , 12 , 9 , 6 , 8 , 10 , 13 , 14 , 6 , 11 , 12 , 10
بفرض أنه تم أخذها لمجتمع كامل.
الحل :
- نوجد أولا الوسط الحسابي
x̅ = (5+10+13+……..+11+12 ) / 15 =150 /15= 10
- حساب مجموع مربعات الانحرافات كماهو موضح في الجدول
sum(xi - x̅) 2
والذي يساوي 130
- والجدول التكراري كمايلي :
مربع الانحرافات
(xi - x̅)2
|
الانحرافات
xi - x̅ = x - 10
|
القيم الموجودة xi
|
-5)2=25)
|
5 - 10= -5
|
5
|
3)2=9)
|
13-10=3
|
13
|
-3)2=9)
|
7 -10 = -3
|
7
|
4)2=16)
|
14 -10 = 4
|
14
|
2)2=4)
|
12 -10 = 2
|
12
|
-1)2=1)
|
9 -10 = -1
|
9
|
-4)2=16)
|
6 -10 = -4
|
6
|
-2)2=4)
|
8 -10 = -2
|
8
|
0)2=0)
|
10 -10 = 0
|
10
|
3)2=9)
|
13 -10 = 3
|
13
|
4)2=16)
|
14 - 10= 4
|
14
|
-4)2=16)
|
6 - 10= -4
|
6
|
1)2=1)
|
11 -10 = 1
|
11
|
2)2=4)
|
12 -10 = 2
|
12
|
0)2=0)
|
10 - 10 = 0
|
10
|
130= Sum
|
0= Sum
|
150= Sum
|
ثم نطبق بعد ذلك قانون التباين
σ2 = Sum(xi - x̅) 2 / N =130 /15=8.67
كما ان هناك طريقة أخرى ممكن أن نستخدمها وهي مختصرة ولك أن تقرر أيهما أسهل لك دراسه .
ونستخدم المعادلة التالية :
σ2 = Sum(xi2) - N x̅2 )/N = 1/N Sum(xi2) - x̅2
مثال :
نأخذ نفس المثال السابق ونحتاج الحسابات التالية :
- الوسط الحسابي
x̅ = (5+10+13+……..+11+12 ) / 15 =150 /15= 10
- ثم الجدول التالي :
X2
|
القيم الموجودة xi
|
25
|
5
|
169
|
13
|
49
|
7
|
196
|
14
|
144
|
12
|
81
|
9
|
36
|
6
|
64
|
8
|
100
|
10
|
169
|
13
|
196
|
14
|
36
|
6
|
121
|
11
|
144
|
12
|
100
|
10
|
Sum=
1630
|
Sum=
150
|
- ومن الجدول نلاحظ أن :
Sum(xi2)= 1630
وبتطبيق المعادله السابقة وبكل سهوله
σ2 = 1/N Sum(xi2) -x̅2
= (1/15)1630 - 102
= 108 .67- 100 = 8.67
وأظن بأن هذه الطريقة أسهل لقلة الحسابات فيها
- الانحراف المعياري في المجتمع σ
)1/2 σ = ( Sum(xi - x̅) 2/ N
ففي المثال السابق نفسه لايجاد الانحراف المعياري نأخذ الجذر التربيعي للتباين :
1/2 = 2.94( 8.67) = σ
حيث أن النصف الذي يوضع فوق القوس هو بدل الجذر التربيعي .