المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى والدرجة الأولى
المعادلة التفاضلية من الرتبة الأولى , هي علاقة بين دالة (تعتبر
مجهولة ) y وبين مشتقتها الأولى والمتغير x ل y .
ولحل مثل هذه المعادلات نتبع الطرق التالية :
- 1 طريقة فصل المتغيرات
إذا أمكن وضع المعادلة على الصورة
f(x)dx
+ g(y)dy=0
حيث أن f(x) دالة في x فقط و g(y)
داله في y
وبذلك فإن عملية فصل المتغيرات تكون تحققت ولحل المعادلة بعد عملية الفصل , نستخدم
التكامل المباشر فيكون الحل :
حيث c
ثابت اختياري , ويسمى ذلك الحل بالحل العام , ويمكن وضع الثابت الاختياري على أي
صورة حسب متطلبات تبسيط شكل الحل العام .
وإذا علم شرط ابتدائي , نستطيع حذف الثابت
الاختياري والحل الناتج يكون حلا خاصا .
مثال1 :
حل المعادلة التفاضلية التالية :
Xy2
dx + (1 – x2) dy=0
الحل :
نقسم طرفي المعادلة على y2 (1− x2 ) فنحصل على :
والتي هي معادلة تفاضلية قابلة لفصل المتغيرات وطريقة حلها تكون
كمايلي :
بتكامل الطرفين
مثال (2)
أوجد الحل العام للمعادلة :
الحل :
نحل المعادلة بطريقة فصل المتغيرات , بقسمة
طرفي المعادلة على (x-1)(y-2)تصبح المعادلة بالصورة :
وبإدخال e
على طرفي المعادلة تصبح :
xy= ec
نعوض عن ec ب c1
تصبح المعادلة :
مثال(3)
y' = e-x-y
الحل :
يمكن كتابة المعادلة بالشكل التالي :
eydy=
e-xdx
ثم بأخذ التكامل لطرفي المعادلة السابقة :
ey=e-x+c
وبفرض أن c=
تصبح المعادلة :
ثم نحذف بعد ذلك ال e من الطرفين
تصبح :
مثال (4)
أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية التالية
:
3ex tany
+(1+ ex)sec2y
y′ = 0 ,x=ln2
, y=∏/4
الحل :
بفصل المتغيرات وذلك بقسمة طرفي
المعادلة على (1+
ex)tany :
بتكامل طرفي المعادلة تصبح :
⇒3ln(1+ex)+ln tany =c⇒ln((1+ex))3+ln
tany =c
بوضع c=lnc1
تصبح المعادلة بالصورة :
⇒ln
((1+ex)3+tany)=
lnc1 ln((1+ex))3+ln
tany = lnc1
⇒(1+ex)3
. tany= c1
ومن الشروط فإن :
(1+eln2)3 . tan(∏/4)=
c1⇒ c1=(1+2)3 . 1= 27
مثال (5)
y′ =( y-1)(y
− 2)
الحل :
