3/01/2015

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى والدرجة الأولى

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى والدرجة الأولى 

المعادلة التفاضلية من الرتبة الأولى , هي علاقة بين دالة (تعتبر مجهولة ) y وبين مشتقتها الأولى والمتغير x ل y .


أو M(x,y) d(x)  + N (x,y) d(y)

ولحل مثل هذه المعادلات نتبع الطرق التالية :

 - 1 طريقة فصل المتغيرات

إذا أمكن وضع المعادلة على الصورة
f(x)dx + g(y)dy=0                                   
حيث أن f(x)  دالة في x فقط و g(y) داله في y وبذلك فإن عملية فصل المتغيرات تكون تحققت ولحل المعادلة بعد عملية الفصل , نستخدم التكامل المباشر فيكون الحل :

حيث c ثابت اختياري , ويسمى ذلك الحل بالحل العام , ويمكن وضع الثابت الاختياري على أي صورة حسب متطلبات تبسيط شكل الحل العام .

وإذا علم شرط ابتدائي , نستطيع حذف الثابت الاختياري والحل الناتج يكون حلا خاصا .

مثال1 :

حل المعادلة التفاضلية التالية :
Xy2 dx + (1 – x2) dy=0

الحل :

نقسم طرفي المعادلة على y2 (1x2 ) فنحصل على :
  

والتي هي معادلة تفاضلية قابلة لفصل المتغيرات وطريقة حلها تكون كمايلي :
بتكامل الطرفين


مثال (2)

أوجد الحل العام للمعادلة :  

الحل :

نحل المعادلة بطريقة فصل المتغيرات , بقسمة طرفي المعادلة على  (x-1)(y-2)تصبح المعادلة بالصورة :
ملاحظة ( تذكر أن lnx +lny = ln(xy)  )
وبإدخال e على طرفي المعادلة  تصبح :
xy= ec
نعوض عن ec  ب c1 تصبح المعادلة :


مثال(3)


أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية :  
y' = e-x-y

الحل :

يمكن كتابة المعادلة بالشكل التالي :

وبضرب الوسطين في الطرفين للمعادلة (لفصل المتغيرات ) تصبح :
eydy= e-xdx            
ثم بأخذ التكامل لطرفي المعادلة السابقة :
ey=e-x+c
وبفرض أن c=  تصبح المعادلة :

ثم نحذف بعد ذلك ال e من الطرفين تصبح :y= x + c1

مثال (4)

أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية التالية :
3ex tany +(1+ ex)sec2y y′ = 0  ,x=ln2  ,  y=/4

الحل :

بفصل المتغيرات  وذلك بقسمة طرفي المعادلة على (1+ ex)tany :



بتكامل طرفي المعادلة تصبح :

⇒3ln(1+ex)+ln tany =c⇒ln((1+ex))3+ln tany =c                   
بوضع c=lnc1 تصبح المعادلة بالصورة :
                                                 ⇒ln ((1+ex)3+tany)= lnc1         ln((1+ex))3+ln tany = lnc1
⇒(1+ex)3 . tany= c1  
ومن الشروط فإن :
 (1+eln2)3 . tan(/4)= c1c1=(1+2)3 . 1= 27


مثال (5)

حل المعادلة التفاضلية التالية :
y′ =( y-1)(y 2)

الحل :