المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى والدرجة الأولى

    المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى والدرجة الأولى 

    المعادلة التفاضلية من الرتبة الأولى , هي علاقة بين دالة (تعتبر مجهولة ) y وبين مشتقتها الأولى والمتغير x ل y .


    أو M(x,y) d(x)  + N (x,y) d(y)

    ولحل مثل هذه المعادلات نتبع الطرق التالية :

     - 1 طريقة فصل المتغيرات

    إذا أمكن وضع المعادلة على الصورة
    f(x)dx + g(y)dy=0                                   
    حيث أن f(x)  دالة في x فقط و g(y) داله في y وبذلك فإن عملية فصل المتغيرات تكون تحققت ولحل المعادلة بعد عملية الفصل , نستخدم التكامل المباشر فيكون الحل :

    حيث c ثابت اختياري , ويسمى ذلك الحل بالحل العام , ويمكن وضع الثابت الاختياري على أي صورة حسب متطلبات تبسيط شكل الحل العام .

    وإذا علم شرط ابتدائي , نستطيع حذف الثابت الاختياري والحل الناتج يكون حلا خاصا .

    مثال1 :

    حل المعادلة التفاضلية التالية :
    Xy2 dx + (1 – x2) dy=0

    الحل :

    نقسم طرفي المعادلة على y2 (1x2 ) فنحصل على :
      

    والتي هي معادلة تفاضلية قابلة لفصل المتغيرات وطريقة حلها تكون كمايلي :
    بتكامل الطرفين


    مثال (2)

    أوجد الحل العام للمعادلة :  

    الحل :

    نحل المعادلة بطريقة فصل المتغيرات , بقسمة طرفي المعادلة على  (x-1)(y-2)تصبح المعادلة بالصورة :
    ملاحظة ( تذكر أن lnx +lny = ln(xy)  )
    وبإدخال e على طرفي المعادلة  تصبح :
    xy= ec
    نعوض عن ec  ب c1 تصبح المعادلة :


    مثال(3)


    أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية :  
    y' = e-x-y

    الحل :

    يمكن كتابة المعادلة بالشكل التالي :

    وبضرب الوسطين في الطرفين للمعادلة (لفصل المتغيرات ) تصبح :
    eydy= e-xdx            
    ثم بأخذ التكامل لطرفي المعادلة السابقة :
    ey=e-x+c
    وبفرض أن c=  تصبح المعادلة :

    ثم نحذف بعد ذلك ال e من الطرفين تصبح :y= x + c1

    مثال (4)

    أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية التالية :
    3ex tany +(1+ ex)sec2y y′ = 0  ,x=ln2  ,  y=/4

    الحل :

    بفصل المتغيرات  وذلك بقسمة طرفي المعادلة على (1+ ex)tany :



    بتكامل طرفي المعادلة تصبح :

    ⇒3ln(1+ex)+ln tany =c⇒ln((1+ex))3+ln tany =c                   
    بوضع c=lnc1 تصبح المعادلة بالصورة :
                                                     ⇒ln ((1+ex)3+tany)= lnc1         ln((1+ex))3+ln tany = lnc1
    ⇒(1+ex)3 . tany= c1  
    ومن الشروط فإن :
     (1+eln2)3 . tan(/4)= c1c1=(1+2)3 . 1= 27


    مثال (5)

    حل المعادلة التفاضلية التالية :
    y′ =( y-1)(y 2)

    الحل :




    شارك المقال

    قد يهمك أيضا :