المعادلات التفاضلية التامةDifferential Equations full

    المعادلاتالتفاضلية التامةDifferential Equations full

    P(x,y) dx+ Q(x,y)dy=0
    تامة , فإنة توجد دالة u(x,y)  حيث ان :
    P(x,y) dx+ Q(x,y)dy=df
    أي أن :




    وحتى تكون المعادلة تامة فمن الضروري توفر الشرط التالي :



    لحل المعادلة التامة هناك بضع خطوات نتبعها :
    -         نفترض دالة ما تحقق






    حيث أنy))φ مقدار ثابت بالنسبة إلى x .
    -         نفاضل أطراف (3) جزئيا بالنسبة ل y واستخدام المعادلة




    سوف نلاحظ ان الطرف الأيمن في المعادلة الأخيرة دائما داله في y فقط ……(لماذا)؟
    -     نكامل طرفي المعادلة الأخيرة بالنسبة إلى y , نستنتج شكل الداله  (φ'(y حيث :




    وبالتعويض في المعادلة   (3)  نحصل على حل المعادلة التفاضلية التامة , ويكون على الصورة :



     مثال (1)

    أوجد حل المعادلة :
    6x2 +4xy + y2 )dx + (2x2 + 2xy -3y2 )dy =0)

    الحل :


    نوجد :


         
    وهذا يعني أن المعادلة تامة .
    ولحل المعادلة نتبع مايلي :

          
    بتكامل المعادلة (1)  بالنسبة للمتغير  xتصبح :


    مثال (2)

    أوجد حل المعادلة التالية :
    xy cosx +sinxy)dx + (x2cosxy + ey)dy= 0)

    الحل :

    P(x,y)= (xy cosx +sinxy)dx ………(1)
    Q(x,y)= (x2cosxy + ey)dy ………(2) 
    باشتقاق المعادلة (1) بالنسبة لل y




    من المعادلتين السابقتين (3) و (4)  نستنتج ان المعادلة التفاضلية تامة وبالرجوع للمعادلة الأصلية نجد ان :
    نشتقها (المعادلة الأصلية بالكامل ) جزئيا بالنسبة ل x :



    ولكن :
    sin xy +xy cos xy + f’(y)= xy cos xy + sin xy
    وهذا يتضمن :
    f'(x)=0  أو   f(x)=c 
    الحل العام يكتب على الصورة التالية :
    Xsinxy +ey=c



    شارك المقال

    قد يهمك أيضا :