المعادلاتالتفاضلية التامةDifferential Equations full
إذاكانت المعادلةالتفاضلية :
P(x,y) dx+ Q(x,y)dy=0
تامة , فإنة توجد دالة u(x,y) حيث ان :
P(x,y) dx+ Q(x,y)dy=df
أي أن :
وحتى تكون المعادلة تامة
فمن الضروري توفر الشرط التالي :
لحل المعادلة التامة
هناك بضع خطوات نتبعها :
-
نفترض دالة ما تحقق
حيث أنy))φ مقدار ثابت بالنسبة إلى x .
-
نفاضل أطراف (3) جزئيا بالنسبة ل y واستخدام المعادلة
سوف نلاحظ ان الطرف الأيمن في المعادلة الأخيرة
دائما داله في y فقط ……(لماذا)؟
- نكامل طرفي المعادلة
الأخيرة بالنسبة إلى y , نستنتج شكل الداله (φ'(y حيث :
وبالتعويض في المعادلة (3) نحصل على حل المعادلة
التفاضلية التامة , ويكون على الصورة :
مثال (1)
أوجد حل المعادلة :
6x2
+4xy + y2 )dx + (2x2 + 2xy -3y2 )dy =0)
الحل :
نوجد :
وهذا يعني أن المعادلة تامة .
ولحل المعادلة نتبع مايلي :
بتكامل المعادلة (1) بالنسبة للمتغير xتصبح :
مثال (2)
أوجد حل المعادلة
التالية :
xy cosx +sinxy)dx + (x2cosxy + ey)dy=
0)
الحل :
P(x,y)= (xy cosx +sinxy)dx ………(1)
Q(x,y)= (x2cosxy + ey)dy ………(2)
باشتقاق المعادلة (1) بالنسبة لل y
من المعادلتين السابقتين
(3) و (4) نستنتج ان المعادلة
التفاضلية تامة وبالرجوع للمعادلة الأصلية نجد ان :
نشتقها (المعادلة
الأصلية بالكامل ) جزئيا بالنسبة ل x :

ولكن :
sin xy +xy cos xy + f’(y)= xy cos xy + sin xy
وهذا يتضمن :
f'(x)=0 أو f(x)=c
∴ الحل العام يكتب على الصورة
التالية :
Xsinxy +ey=c