3/02/2015

المعادلات التفاضلية التامةDifferential Equations full

المعادلاتالتفاضلية التامةDifferential Equations full

P(x,y) dx+ Q(x,y)dy=0
تامة , فإنة توجد دالة u(x,y)  حيث ان :
P(x,y) dx+ Q(x,y)dy=df
أي أن :




وحتى تكون المعادلة تامة فمن الضروري توفر الشرط التالي :



لحل المعادلة التامة هناك بضع خطوات نتبعها :
-         نفترض دالة ما تحقق






حيث أنy))φ مقدار ثابت بالنسبة إلى x .
-         نفاضل أطراف (3) جزئيا بالنسبة ل y واستخدام المعادلة




سوف نلاحظ ان الطرف الأيمن في المعادلة الأخيرة دائما داله في y فقط ……(لماذا)؟
-     نكامل طرفي المعادلة الأخيرة بالنسبة إلى y , نستنتج شكل الداله  (φ'(y حيث :




وبالتعويض في المعادلة   (3)  نحصل على حل المعادلة التفاضلية التامة , ويكون على الصورة :



 مثال (1)

أوجد حل المعادلة :
6x2 +4xy + y2 )dx + (2x2 + 2xy -3y2 )dy =0)

الحل :


نوجد :


     
وهذا يعني أن المعادلة تامة .
ولحل المعادلة نتبع مايلي :

      
بتكامل المعادلة (1)  بالنسبة للمتغير  xتصبح :


مثال (2)

أوجد حل المعادلة التالية :
xy cosx +sinxy)dx + (x2cosxy + ey)dy= 0)

الحل :

P(x,y)= (xy cosx +sinxy)dx ………(1)
Q(x,y)= (x2cosxy + ey)dy ………(2) 
باشتقاق المعادلة (1) بالنسبة لل y




من المعادلتين السابقتين (3) و (4)  نستنتج ان المعادلة التفاضلية تامة وبالرجوع للمعادلة الأصلية نجد ان :
نشتقها (المعادلة الأصلية بالكامل ) جزئيا بالنسبة ل x :



ولكن :
sin xy +xy cos xy + f’(y)= xy cos xy + sin xy
وهذا يتضمن :
f'(x)=0  أو   f(x)=c 
الحل العام يكتب على الصورة التالية :
Xsinxy +ey=c



1 التعليقات

في معادلة رقم اربعة يوجد خطأ في تفاضل 2x^2y هو 2x^2 بدون y أليس كذلك ؟