المعادلات التفاضلية التامةDifferential Equations full

P(x,y) dx+ Q(x,y)dy=0

تامة , فإنة توجد دالة u(x,y) حيث ان :

P(x,y) dx+ Q(x,y)dy=df

أي أن :

وحتى تكون المعادلة تامة فمن الضروري توفر الشرط التالي :

لحل المعادلة التامة هناك بضع خطوات نتبعها :

- نفترض دالة ما تحقق

حيث أنy))φ مقدار ثابت بالنسبة إلى x .

- نفاضل أطراف (3) جزئيا بالنسبة ل y واستخدام المعادلة

سوف نلاحظ ان الطرف الأيمن في المعادلة الأخيرة دائما داله في y فقط ……(لماذا)؟

- نكامل طرفي المعادلة الأخيرة بالنسبة إلى y , نستنتج شكل الداله (φ'(y حيث :

وبالتعويض في المعادلة (3) نحصل على حل المعادلة التفاضلية التامة , ويكون على الصورة :

أوجد حل المعادلة :

6x² +4xy + y² )dx + (2x² + 2xy -3y² )dy =0)

نوجد :

وهذا يعني أن المعادلة تامة .

ولحل المعادلة نتبع مايلي :

بتكامل المعادلة (1) بالنسبة للمتغير xتصبح :

أوجد حل المعادلة التالية :

xy cosx +sinxy)dx + (x²cosxy + e^y)dy= 0)

P(x,y)= (xy cosx +sinxy)dx ………(1)

Q(x,y)= (x²cosxy + e^y)dy ………(2)

باشتقاق المعادلة (1) بالنسبة لل y

من المعادلتين السابقتين (3) و (4) نستنتج ان المعادلة التفاضلية تامة وبالرجوع للمعادلة الأصلية نجد ان :

نشتقها (المعادلة الأصلية بالكامل ) جزئيا بالنسبة ل x :

ولكن :

sin xy +xy cos xy + f’(y)= xy cos xy + sin xy

وهذا يتضمن :

f'(x)=0 أو f(x)=c

∴ الحل العام يكتب على الصورة التالية :

Xsinxy +e^y_=c