خصائصالانحرافالمعياري
· للمقادير الثابتة الانحراف المعيارييساوي صفرا , ويقصد بذلك :
إذا كان لدينا مجموعة من القراءات : a , a , a , ………………..a x:حيث أن a مقدار ثابت
فإن 0 Sx = , حيث أن Sx تعبر عن الانحراف المعياري لقيم x .
· إذا أضفنا أو طرحنا مقدار ثابت إلى كل قيمة من قيم المفردات , فإن الانحراف المعياري للقيم الجديدة هو الانحراف المعياري للقيم الأصلية .
إذا كانت x1,x2,...,xn هي القيم الأصلية , وتم إضافة مقدار ثابت aإلى كل قيمة من قيم x
فإن الانحراف المعياري للقيم الجديدة ( نرمز له بأي رمز ) وليكن مثلا y
وبالتالي فإن ,………, yn= xn ± a , y3 = x3± a , y2 = x2± a y1= x1± a
أي أن : Sy = Sx
وسنوضح ذلك بمثال :
إذا كان لدينا البيانات التالية :
8 , 9 , 7 , 6 , 5
- اوجد الانحراف المعياري ؟
- اوجد الانحراف المعياري بعد طرح 2 من جميع القيم ؟
y2
|
yn= xn - 2
|
X2
|
X
|
36
|
6
|
64
|
8
|
49
|
7
|
81
|
9
|
25
|
5
|
49
|
7
|
16
|
4
|
36
|
6
|
9
|
3
|
25
|
5
|
135
|
25
|
255
|
∑= 35
|
الحل :
x̅ = 35 /5 = 7 , x̅ 2 = 49 - ثم نوجد التباين كالتالي
Sx2 = 1/4 (255 – 245)= 10/ 4 = 2.5
- ثم نقوم بإيجاد الجذر ل 2.5 ويساوي 1.58 وهذا الانحراف المعياري الأصلي .
بعد إضافة العدد 2 يكون :
- y̅ = 25 / 5= 5 , y̅2 = ( 5)2 = 25
Sx2= 1/4 (135 –125)= 10/ 4 = 2.5
ثم نوجد الجذر للعدد 2.5 ويساوي 1.58 وهذا الانحراف المعياري بعد طرح 2
وبالتالي فإن الانحراف المعياري قبل الطرح وبعد الطرح متساويان
· إذا ضرب كل من قيم المفردات في مقدار ثابت , فإن الانحراف المعياري للقيم الجديدة , يساوي الانحراف المعياري للقيم الأصلية مضروبا في الثابت , أي أن إذا كان قيم x هي القيم الأصلية , وكانت القيم الجديدة هي : y = a x , حيث أن a مقدار ثابت , فإن :
Sx Sy= a
مثال :
من المثال السابق أوجد الانحراف المعياري بعد ضر ب القيم في العدد 2 ثم قارنها بالانحراف المعياري الاصلي والمضروب في العدد 2 ؟
الانحراف المعياري الاصلي
x̅ = 35 /5 = 7 , x̅ 2 = 49 - ثم نوجد التباين كالتالي
Sx2 = 1/4 (255 – 245)= 10/ 4 = 2.5
- ثم نقوم بإيجاد الجذر ل 2.5 ويساوي 1.58 وهذا الانحراف المعياري الأصلي
- نضرب الانحراف المعياري الأصلي في العدد 2 .
2 x 1.58 = 3.16
- نكون الجدول التالي لإيجاد الانحراف بعد الضرب في 2 :
y2
|
yn= a xn= 2 xn
|
Xn
|
256
|
16
|
8
|
324
|
18
|
9
|
196
|
14
|
7
|
144
|
12
|
6
|
100
|
10
|
5
|
1020
|
70
|
∑= 35
|
- الوسط الحسابي بعد الضرب في العدد 2
y̅2= ( 14 )2 = 196 , y̅ = 70 / 5 = 14
- الانحراف المعياري بعد الضرب في العدد 2
نوجد التباين Sx2= 1/4 (1020 –980) = 40 / 4 = 10
ثم نوجد الجذر التربيعي للعدد 10 ويساوي 3.16 وهذا الانحراف المعياري بعد الضرب في العدد 2 ويساوي الأنحراف المعياري الاصلي المضروب في 2 .
· مجموع مربعات الانحراف للقيم عند وسطها الحسابي x̅ تكون أصغر من مجموع مربعات الانحراف للقيم عن أي وسط فرضي آخر a .
أي أن :
∑(x-x̅ )2 < ∑(x-a )2
· إذا كانت هناك عينتان مجموع تكرارهما هو n1 , n2وتباينهما هو
S12 , S22 على الترتيب ولهما المتوسط نفسه x̅ فإن التباين المشترك هو :
