خصائص الانحراف المعياري

    خصائصالانحرافالمعياري

    ·          للمقادير الثابتة الانحراف المعيارييساوي صفرا , ويقصد بذلك :

    إذا كان لدينا مجموعة من القراءات  :  a , a , a , ………………..a x:حيث أن a  مقدار ثابت
    فإن  0 Sx =   , حيث أن   Sx   تعبر عن الانحراف المعياري لقيم x   .

    ·         إذا أضفنا  أو طرحنا مقدار ثابت إلى كل قيمة من قيم المفردات , فإن الانحراف المعياري للقيم الجديدة   هو الانحراف المعياري للقيم الأصلية .

    إذا كانت     x1,x2,...,xn هي القيم الأصلية , وتم إضافة مقدار ثابت  aإلى كل قيمة من قيم x
    فإن الانحراف المعياري للقيم الجديدة  ( نرمز له بأي رمز ) وليكن مثلا  y
    وبالتالي فإن     ,………, yn= xn ± a ,   y3 = x3± a  , y2 = x2± a y1= x1± a
    وبالتالي يكون

     أي أن :       Sy =  Sx

    وسنوضح ذلك بمثال :

    إذا كان لدينا البيانات التالية :
    8   ,   9   ,    7   ,  6   ,   5
    -          اوجد الانحراف المعياري ؟
    -          اوجد الانحراف المعياري بعد طرح  2   من جميع القيم ؟


    y2
    yn= xn - 2  
    X2
    X
    36
    6
    64
    8
    49
    7
    81
    9
    25
    5
    49
    7
    16
    4
    36
    6
    9
    3
    25
    5
    135
    25
    255
    = 35


    الحل :
    x̅  = 35 /5  =  7  , x̅  2 =  49     -    ثم نوجد التباين كالتالي
    Sx2  = 1/4 (255 – 245)= 10/ 4  =  2.5
    -          ثم نقوم  بإيجاد الجذر ل  2.5   ويساوي     1.58  وهذا الانحراف المعياري الأصلي .
    بعد إضافة العدد 2   يكون :
    -          =  25 / 5= 5    ,    2   = ( 5)2 = 25
      Sx2= 1/4 (135 –125)= 10/ 4  =  2.5
    ثم نوجد الجذر للعدد 2.5  ويساوي   1.58   وهذا الانحراف المعياري بعد طرح 2
    وبالتالي فإن الانحراف المعياري قبل الطرح وبعد الطرح متساويان

    ·         إذا ضرب كل من قيم المفردات في مقدار ثابت , فإن الانحراف المعياري للقيم الجديدة , يساوي الانحراف المعياري للقيم الأصلية مضروبا في الثابت , أي أن إذا كان قيم x هي القيم الأصلية , وكانت القيم الجديدة هي : y =  a x      ,  حيث أن a مقدار ثابت , فإن  :

     Sx Sy=  a

    مثال :

    من المثال السابق  أوجد الانحراف المعياري بعد ضر ب القيم في العدد 2  ثم قارنها بالانحراف المعياري الاصلي والمضروب في العدد 2 ؟
    الانحراف المعياري الاصلي
    x̅  = 35 /5  =  7  , x̅  2 =  49     -    ثم نوجد التباين كالتالي
    Sx2  = 1/4 (255 – 245)= 10/ 4  =  2.5  
    -          ثم نقوم  بإيجاد الجذر ل  2.5   ويساوي     1.58  وهذا الانحراف المعياري الأصلي
    -           نضرب  الانحراف المعياري الأصلي في العدد 2  .
    2  x   1.58 = 3.16   
    -          نكون الجدول التالي لإيجاد الانحراف بعد الضرب في 2 :

    y2
    yn= a xn= 2 xn   
    Xn
    256
    16
    8
    324
    18
    9
    196
    14
    7
    144
    12
    6
    100
    10
    5
    1020
    70
    = 35
    -          الوسط الحسابي بعد الضرب في العدد   2
    2= ( 14 )2 = 196              ,    =  70 / 5 = 14
    -          الانحراف المعياري بعد الضرب  في العدد   2
       نوجد التباين   Sx2= 1/4 (1020 –980) = 40 / 4  =  10
    ثم نوجد الجذر التربيعي  للعدد  10   ويساوي 3.16   وهذا الانحراف المعياري بعد الضرب في العدد 2  ويساوي الأنحراف المعياري الاصلي المضروب في 2  .

    ·         مجموع مربعات الانحراف للقيم عند وسطها الحسابي x̅    تكون أصغر من مجموع مربعات الانحراف للقيم عن أي وسط فرضي آخر a  .

    أي أن :
    (x-x̅ )2 (x-a )2
    ·         إذا كانت هناك عينتان مجموع تكرارهما هو   n1  ,  n2وتباينهما هو
    S12   ,     S22          على الترتيب ولهما المتوسط نفسه x̅   فإن التباين المشترك هو :



    ·         الانحراف المعياري لمجموعة من البيانات أكبر من الانحراف المتوسط لها 

    شارك المقال

    قد يهمك أيضا :