3/29/2015

خصائص الانحراف المعياري

خصائصالانحرافالمعياري

·          للمقادير الثابتة الانحراف المعيارييساوي صفرا , ويقصد بذلك :

إذا كان لدينا مجموعة من القراءات  :  a , a , a , ………………..a x:حيث أن a  مقدار ثابت
فإن  0 Sx =   , حيث أن   Sx   تعبر عن الانحراف المعياري لقيم x   .

·         إذا أضفنا  أو طرحنا مقدار ثابت إلى كل قيمة من قيم المفردات , فإن الانحراف المعياري للقيم الجديدة   هو الانحراف المعياري للقيم الأصلية .

إذا كانت     x1,x2,...,xn هي القيم الأصلية , وتم إضافة مقدار ثابت  aإلى كل قيمة من قيم x
فإن الانحراف المعياري للقيم الجديدة  ( نرمز له بأي رمز ) وليكن مثلا  y
وبالتالي فإن     ,………, yn= xn ± a ,   y3 = x3± a  , y2 = x2± a y1= x1± a
وبالتالي يكون

 أي أن :       Sy =  Sx

وسنوضح ذلك بمثال :

إذا كان لدينا البيانات التالية :
8   ,   9   ,    7   ,  6   ,   5
-          اوجد الانحراف المعياري ؟
-          اوجد الانحراف المعياري بعد طرح  2   من جميع القيم ؟


y2
yn= xn - 2  
X2
X
36
6
64
8
49
7
81
9
25
5
49
7
16
4
36
6
9
3
25
5
135
25
255
= 35


الحل :
x̅  = 35 /5  =  7  , x̅  2 =  49     -    ثم نوجد التباين كالتالي
Sx2  = 1/4 (255 – 245)= 10/ 4  =  2.5
-          ثم نقوم  بإيجاد الجذر ل  2.5   ويساوي     1.58  وهذا الانحراف المعياري الأصلي .
بعد إضافة العدد 2   يكون :
-          =  25 / 5= 5    ,    2   = ( 5)2 = 25
  Sx2= 1/4 (135 –125)= 10/ 4  =  2.5
ثم نوجد الجذر للعدد 2.5  ويساوي   1.58   وهذا الانحراف المعياري بعد طرح 2
وبالتالي فإن الانحراف المعياري قبل الطرح وبعد الطرح متساويان

·         إذا ضرب كل من قيم المفردات في مقدار ثابت , فإن الانحراف المعياري للقيم الجديدة , يساوي الانحراف المعياري للقيم الأصلية مضروبا في الثابت , أي أن إذا كان قيم x هي القيم الأصلية , وكانت القيم الجديدة هي : y =  a x      ,  حيث أن a مقدار ثابت , فإن  :

 Sx Sy=  a

مثال :

من المثال السابق  أوجد الانحراف المعياري بعد ضر ب القيم في العدد 2  ثم قارنها بالانحراف المعياري الاصلي والمضروب في العدد 2 ؟
الانحراف المعياري الاصلي
x̅  = 35 /5  =  7  , x̅  2 =  49     -    ثم نوجد التباين كالتالي
Sx2  = 1/4 (255 – 245)= 10/ 4  =  2.5  
-          ثم نقوم  بإيجاد الجذر ل  2.5   ويساوي     1.58  وهذا الانحراف المعياري الأصلي
-           نضرب  الانحراف المعياري الأصلي في العدد 2  .
2  x   1.58 = 3.16   
-          نكون الجدول التالي لإيجاد الانحراف بعد الضرب في 2 :

y2
yn= a xn= 2 xn   
Xn
256
16
8
324
18
9
196
14
7
144
12
6
100
10
5
1020
70
= 35
-          الوسط الحسابي بعد الضرب في العدد   2
2= ( 14 )2 = 196              ,    =  70 / 5 = 14
-          الانحراف المعياري بعد الضرب  في العدد   2
   نوجد التباين   Sx2= 1/4 (1020 –980) = 40 / 4  =  10
ثم نوجد الجذر التربيعي  للعدد  10   ويساوي 3.16   وهذا الانحراف المعياري بعد الضرب في العدد 2  ويساوي الأنحراف المعياري الاصلي المضروب في 2  .

·         مجموع مربعات الانحراف للقيم عند وسطها الحسابي x̅    تكون أصغر من مجموع مربعات الانحراف للقيم عن أي وسط فرضي آخر a  .

أي أن :
(x-x̅ )2 (x-a )2
·         إذا كانت هناك عينتان مجموع تكرارهما هو   n1  ,  n2وتباينهما هو
S12   ,     S22          على الترتيب ولهما المتوسط نفسه x̅   فإن التباين المشترك هو :



·         الانحراف المعياري لمجموعة من البيانات أكبر من الانحراف المتوسط لها 

قد يهمك أيضا :

خصائص الانحراف المعياري
4/ 5
Oleh