3/25/2015

التباين والانحراف المعياري في العينه

 التباين والانحراف المعياري في العينه ( S2 )

 لقد تعرفنا على التباين والانحراف المعياري في المجتمع , وفي هذه الحاله يتم أخذ عينة من مجتمع إحصائي, وليس كامل المجتمع , حيث لا نعلم البيانات  المطلوبة حول المجتمع بالكامل , ثم يجرى علية الدراسة بأخذ العينة , وفي العينة نأخذ البيانات ( غير المبوبة والمبوبة):

-        التباين في البيانات الغير مبوبة

 إذا كانت x1,x2,...,xN  هي قراءات أو مفردات عينة عشوائية من مجتمع وعددها N  وكانالوسط الحسابي لها  يساوي
 n )    /   x1+x2+..+ xi) x̅  =  فإن التباين     يمكن أيجادة بتطبيق المعادلة :
S2(xi -  x̅) 2 /  ( n-1)           




مثال :
إذاتم سحب عينة من درجات طلاب المستوي الأول  كلية الهندسة وكانت الدرجة النهائية من 20
وكانت درجاتهم  على النحو الأتي :
8  ,`13 ,10 , 5 , 9  
أحسب التباين لدرجات الطلاب ؟  
الحل :


مربع الانحرافات
(xi - )2
الانحرافات
xi - x̅ = x -9
القيم الموجودة xi
-1)2=1)
8 -9 = -1
8
4)2=16)
13 -9= 4
13
1)2=1)
10 -9 =1
10
(-4)2=16
5 - 9= -4
5
0)2=0)
9 -9 = 0
9
Sum
=34
Sum
=0
Sum
=45












الطريقة الأولى
-          حساب الوسط الحسابي
x̅= (8+13 + 10 +5 + 9) / 5= 45/5= 9
 -          n - 1 =    5 - 1   =  4
-          حساب مربعات الانحرافات
-          حساب مربعات الانحرافات
34   = (xi -  x̅) 2
-          ثم من المعادله  S2(xi -  x̅) 2 /  ( n-1)


نحسب التباين ويساوي
S2= 34 /4=  8.5

الطريقة الثانية


 - نوجد الجدول التالي



xi 2
القيم الموجودة xi
8)2=64)
8
13)2=169)
13
10)2=100)
10
5)2=25)
5
9)2=81)
9
Sum
=439
Sum
=45














- ثم نطبق على المثال السابق
S2 =( 1/n-1) (xi ) 2-  nx̅ 2
= 1/ 4   (  439) – 5(9)2
= 1/4 (34)= 8.5  

-        الانحراف المعياري في البيانات الغير المبوبة

لإيجاد الانحراف المعياري في المثال السابق نأخذ الجذر التربيعي  للتباين في المثال السابق :

S2 =8.5    ®   s = (8.5 )1/2 = 2.92

-        التباين في البيانات المبوبة

ويمكن حسابه من القانون أو المعادله التالية :





ونكتبه أيضا بالشكل
S2= (xi - x̅ )2. fi  /( n-1)
حيث أن :
  المتوسط الحسابي  ,  n  مجموع التكرارات
fi  تكرار الفئة   ,      xi  مركز الفئة .
وسنوضح ذلك بمثال .
مثال :
أوجد التباين  للتوزيع التكراري التالي :

التكرار  f
الفئة X
6
0  -  5
3
5  -  10
4
10 - 15
12
15  - 20
2
20 - 25
      الحل :
-          أولا نوجد المتوسط الحسابي  : 
= ( xi fi)/n  =  342.5/ 26 = 12.7       
-          نوجد مركز الفئة كالتالي :
5  / 2 =2.5 0 +   , وهذا يتم لكل الفئات
-          xi fi  نوجدها بضرب مركز الفئة  في التكرار

(xi - x̅)2fi
(xi - x̅ )2
xi -
الوسط الحسابي
xi fi
التكرار
fi
مركز الفئة xi
624.24
(-10.2)2
=104.04
2.5 - 12.7=                  -10.2       
=     
 ( x fi)/n∑ 


342.5 /26 
= 12.7    
          
 


15
6
2.5
81.12
(-5.2)2
=27.04
   12.7= - 7.5
- 5.2         
22.5
3
7.5
1.6
(-0.2)2
=0.4
12.7=-12.5
0.2-
50
4
12.5
276.48
(4.8)2
=23.04
17.5-12.7
4.8
210
12
17.5
192.08
(9.8)2
96.04=
22.5-12.7
         9.8
45
2
22.5
1175.52


342.5
27
    ∑

ثم نقوم باستخدام القانون المذكور سابقا :
-              1  =    27   -   1  =  26   n  -
S2= (xi - x̅ )2. fi  /( n-1)
1175.52/ 26 =  45.21=
وبالتالي فإن الأنحراف المتوسط  للجدول السابق يساوي  45.21 .

-        الانحراف المعياري في البيانات  المبوبه



نأخذ الانحراف المعياري للمثال السابق وذلك بأخذ الجذر التربيعي للتباين مباشرة :
S=  (45.21)1/2 =  6.72

مميزات الانحراف المعياري :

-          أنه أكثر مقاييس التشتت استخداما
-          يسهل التعامل معه رياضيا
-       يأخذ كل القيم في الاعتبار

عيوب الانحراف المعياري

-          التأثر بالقيم الشاذة

قد يهمك أيضا :

التباين والانحراف المعياري في العينه
4/ 5
Oleh