التباين والانحراف المعياري في العينه ( S2 )
لقد تعرفنا على التباين والانحراف المعياري في المجتمع , وفي هذه الحاله يتم أخذ عينة من مجتمع إحصائي, وليس كامل المجتمع , حيث لا نعلم البيانات المطلوبة حول المجتمع بالكامل , ثم يجرى علية الدراسة بأخذ العينة , وفي العينة نأخذ البيانات ( غير المبوبة والمبوبة):
- التباين في البيانات الغير مبوبة
إذا كانت x1,x2,...,xN هي قراءات أو مفردات عينة عشوائية من مجتمع وعددها N وكانالوسط الحسابي لها يساوي
S2 = ∑(xi - x̅) 2 / ( n-1)
مثال :
إذاتم سحب عينة من درجات طلاب المستوي الأول كلية الهندسة وكانت الدرجة النهائية من 20
وكانت درجاتهم على النحو الأتي :
8 ,`13 ,10 , 5 , 9
أحسب التباين لدرجات الطلاب ؟
الحل :
مربع الانحرافات
(xi - x̅)2
|
الانحرافات
xi - x̅ = x -9
|
القيم الموجودة xi
|
-1)2=1)
|
8 -9 = -1
|
8
|
4)2=16)
|
13 -9= 4
|
13
|
1)2=1)
|
10 -9 =1
|
10
|
(-4)2=16
|
5 - 9= -4
|
5
|
0)2=0)
|
9 -9 = 0
|
9
|
Sum
=34
|
Sum
=0
|
Sum
=45
|
الطريقة الأولى
- حساب الوسط الحسابي
x̅= (8+13 + 10 +5 + 9) / 5
- n - 1 = 5 - 1 = 4
- حساب مربعات الانحرافات
- حساب مربعات الانحرافات
34 = ∑(xi - x̅) 2
- ثم من المعادله S2= ∑(xi - x̅) 2 / ( n-1)
نحسب التباين ويساوي
S2= 34 /4= 8.5
الطريقة الثانية
- نوجد الجدول التالي
xi 2
|
القيم الموجودة xi
|
8)2=64)
|
8
|
13)2=169)
|
13
|
10)2=100)
|
10
|
5)2=25)
|
5
|
9)2=81)
|
9
|
Sum
=439
|
Sum
=45
|
- ثم نطبق على المثال السابق
S2 =( 1/n-1) ∑(xi ) 2- nx̅ 2
= 1/ 4 ( 439) – 5(9)2
= 1/ 4 ( 439) – 5(9)2
= 1/4 (34)= 8.5
- الانحراف المعياري في البيانات الغير المبوبة
لإيجاد الانحراف المعياري في المثال السابق نأخذ الجذر التربيعي للتباين في المثال السابق :
S2 =8.5 ® s = (8.5 )1/2 = 2.92
- التباين في البيانات المبوبة
ويمكن حسابه من القانون أو المعادله التالية :
ونكتبه أيضا بالشكل
S2= ∑(xi - x̅ )2. fi /( n-1)
حيث أن :
حيث أن :
x̅ المتوسط الحسابي , n مجموع التكرارات
fi تكرار الفئة , xi مركز الفئة .
وسنوضح ذلك بمثال .
مثال :
أوجد التباين للتوزيع التكراري التالي :
التكرار f
|
الفئة X
|
6
|
0 - 5
|
3
|
5 - 10
|
4
|
10 - 15
|
12
|
15 - 20
|
2
|
20 - 25
|
الحل :
- أولا نوجد المتوسط الحسابي :
x̅ = ∑( xi fi)/n = 342.5/ 26 = 12.7
- نوجد مركز الفئة كالتالي :
- نوجد مركز الفئة كالتالي :
5 / 2 =2.5 0 + , وهذا يتم لكل الفئات
- xi fi نوجدها بضرب مركز الفئة في التكرار
(xi - x̅)2fi
|
(xi - x̅ )2
|
xi - x̅
|
الوسط الحسابي
|
xi fi
|
التكرار
fi
|
مركز الفئة xi
|
624.24
|
(-10.2)2
=104.04
|
2.5 - 12.7= -10.2
|
x̅ =
( x fi)/n
= 342.5 /26
= 12.7
|
15
|
6
|
2.5
|
81.12
|
(-5.2)2
=27.04
|
12.7= - 7.5
- 5.2
|
22.5
|
3
|
7.5
| |
1.6
|
(-0.2)2
=0.4
|
12.7=-12.5
0.2-
|
50
|
4
|
12.5
| |
276.48
|
(4.8)2
=23.04
|
17.5-12.7
4.8
|
210
|
12
|
17.5
| |
192.08
|
(9.8)2
96.04=
|
22.5-12.7
9.8
|
45
|
2
|
22.5
| |
1175.52
|
342.5
|
27
|
∑
|
ثم نقوم باستخدام القانون المذكور سابقا :
- 1 = 27 - 1 = 26 n -
S2= ∑(xi - x̅ )2. fi /( n-1)
1175.52/ 26 = 45.21=
1175.52/ 26 = 45.21=
وبالتالي فإن الأنحراف المتوسط للجدول السابق يساوي 45.21 .
- الانحراف المعياري في البيانات المبوبه
نأخذ الانحراف المعياري للمثال السابق وذلك بأخذ الجذر التربيعي للتباين مباشرة :
S= (45.21)1/2 = 6.72
مميزات الانحراف المعياري :
- أنه أكثر مقاييس التشتت استخداما
- يسهل التعامل معه رياضيا
- يأخذ كل القيم في الاعتبار
عيوب الانحراف المعياري
- التأثر بالقيم الشاذة