التباين والانحراف المعياري في العينه

     التباين والانحراف المعياري في العينه ( S2 )

     لقد تعرفنا على التباين والانحراف المعياري في المجتمع , وفي هذه الحاله يتم أخذ عينة من مجتمع إحصائي, وليس كامل المجتمع , حيث لا نعلم البيانات  المطلوبة حول المجتمع بالكامل , ثم يجرى علية الدراسة بأخذ العينة , وفي العينة نأخذ البيانات ( غير المبوبة والمبوبة):

    -        التباين في البيانات الغير مبوبة

     إذا كانت x1,x2,...,xN  هي قراءات أو مفردات عينة عشوائية من مجتمع وعددها N  وكانالوسط الحسابي لها  يساوي
     n )    /   x1+x2+..+ xi) x̅  =  فإن التباين     يمكن أيجادة بتطبيق المعادلة :
    S2(xi -  x̅) 2 /  ( n-1)           




    مثال :
    إذاتم سحب عينة من درجات طلاب المستوي الأول  كلية الهندسة وكانت الدرجة النهائية من 20
    وكانت درجاتهم  على النحو الأتي :
    8  ,`13 ,10 , 5 , 9  
    أحسب التباين لدرجات الطلاب ؟  
    الحل :


    مربع الانحرافات
    (xi - )2
    الانحرافات
    xi - x̅ = x -9
    القيم الموجودة xi
    -1)2=1)
    8 -9 = -1
    8
    4)2=16)
    13 -9= 4
    13
    1)2=1)
    10 -9 =1
    10
    (-4)2=16
    5 - 9= -4
    5
    0)2=0)
    9 -9 = 0
    9
    Sum
    =34
    Sum
    =0
    Sum
    =45












    الطريقة الأولى
    -          حساب الوسط الحسابي
    x̅= (8+13 + 10 +5 + 9) / 5= 45/5= 9
     -          n - 1 =    5 - 1   =  4
    -          حساب مربعات الانحرافات
    -          حساب مربعات الانحرافات
    34   = (xi -  x̅) 2
    -          ثم من المعادله  S2(xi -  x̅) 2 /  ( n-1)


    نحسب التباين ويساوي
    S2= 34 /4=  8.5

    الطريقة الثانية


     - نوجد الجدول التالي



    xi 2
    القيم الموجودة xi
    8)2=64)
    8
    13)2=169)
    13
    10)2=100)
    10
    5)2=25)
    5
    9)2=81)
    9
    Sum
    =439
    Sum
    =45














    - ثم نطبق على المثال السابق
    S2 =( 1/n-1) (xi ) 2-  nx̅ 2
    = 1/ 4   (  439) – 5(9)2
    = 1/4 (34)= 8.5  

    -        الانحراف المعياري في البيانات الغير المبوبة

    لإيجاد الانحراف المعياري في المثال السابق نأخذ الجذر التربيعي  للتباين في المثال السابق :

    S2 =8.5    ®   s = (8.5 )1/2 = 2.92

    -        التباين في البيانات المبوبة

    ويمكن حسابه من القانون أو المعادله التالية :





    ونكتبه أيضا بالشكل
    S2= (xi - x̅ )2. fi  /( n-1)
    حيث أن :
      المتوسط الحسابي  ,  n  مجموع التكرارات
    fi  تكرار الفئة   ,      xi  مركز الفئة .
    وسنوضح ذلك بمثال .
    مثال :
    أوجد التباين  للتوزيع التكراري التالي :

    التكرار  f
    الفئة X
    6
    0  -  5
    3
    5  -  10
    4
    10 - 15
    12
    15  - 20
    2
    20 - 25
          الحل :
    -          أولا نوجد المتوسط الحسابي  : 
    = ( xi fi)/n  =  342.5/ 26 = 12.7       
    -          نوجد مركز الفئة كالتالي :
    5  / 2 =2.5 0 +   , وهذا يتم لكل الفئات
    -          xi fi  نوجدها بضرب مركز الفئة  في التكرار

    (xi - x̅)2fi
    (xi - x̅ )2
    xi -
    الوسط الحسابي
    xi fi
    التكرار
    fi
    مركز الفئة xi
    624.24
    (-10.2)2
    =104.04
    2.5 - 12.7=                  -10.2       
    =     
     ( x fi)/n∑ 


    342.5 /26 
    = 12.7    
              
     


    15
    6
    2.5
    81.12
    (-5.2)2
    =27.04
       12.7= - 7.5
    - 5.2         
    22.5
    3
    7.5
    1.6
    (-0.2)2
    =0.4
    12.7=-12.5
    0.2-
    50
    4
    12.5
    276.48
    (4.8)2
    =23.04
    17.5-12.7
    4.8
    210
    12
    17.5
    192.08
    (9.8)2
    96.04=
    22.5-12.7
             9.8
    45
    2
    22.5
    1175.52


    342.5
    27
        ∑

    ثم نقوم باستخدام القانون المذكور سابقا :
    -              1  =    27   -   1  =  26   n  -
    S2= (xi - x̅ )2. fi  /( n-1)
    1175.52/ 26 =  45.21=
    وبالتالي فإن الأنحراف المتوسط  للجدول السابق يساوي  45.21 .

    -        الانحراف المعياري في البيانات  المبوبه



    نأخذ الانحراف المعياري للمثال السابق وذلك بأخذ الجذر التربيعي للتباين مباشرة :
    S=  (45.21)1/2 =  6.72

    مميزات الانحراف المعياري :

    -          أنه أكثر مقاييس التشتت استخداما
    -          يسهل التعامل معه رياضيا
    -       يأخذ كل القيم في الاعتبار

    عيوب الانحراف المعياري

    -          التأثر بالقيم الشاذة
    شارك المقال

    قد يهمك أيضا :