معادلات تفاضلية عادية تؤول إلى معادلات متجانسة

    معادلات تفاضلية عادية تؤول إلى معادلات متجانسة


    هذه المعادلات التفاضلية عادية على الصورة :





    حيث أن  ,  a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2  ثوابت .

    إذا كان c1=c2=0 فإن المعادلة التفاضلية (1) تؤول إلى المعادلة :







    وهذه معادلة تفاضلية متجانسة حيث أن كل من دالتي البسط والمقام متجانسة من الدرجة الأولى وفي هذه الحالة يمكن حل المعادلة (2) .
    ولحل المعادلة التفاضلية العادية (1) فإنا نبحث فيما إذا كان الخطان المستقيمان :
    a1x + b1y + c1=0…………………………………………………………………(3)
    a2x + b2y + c2=0…………………………………………………………………(3)
    هل سيتقاطع المستقيمان أم لا .
    وسنوضح الحالتين فيما يلي :

    الحالة الأولى

    تقاطع المستقيمان
    a1x + b1y + c1=0
    a2x + b2y + c2=0


    إذا كان :


    لو أفترضنا أن نقطة تقاطع المستقيمان هي  (h , k) فإننا نستخدم التعويض :
    y= v + k   ,  x = u + h
    حيث ان k ,h  وعلى ذلك فإن


    وبالتعويض في المعادلة (1) فإننا نحصل على :

    وحيث ان (h,k) نقطة تقاطع المستقيمان في المعادلة (4) , أي انها تقع على كل منهما وعلية فإن :
    a1h + b1k + c1=0
    a2h + b2k + c2=0
    ومنه تأخذ المعادلة التفاضلية (4)  الصورة :



    وهذه معادلة تفاضلية متجانسة في المتغيرين u,v ويمكن حلها كما سبق وذلك باستخدام التعويض v=zu فتتحول المعادلة (5) إلى معادلة تفاضلية تحل بطريقة فصل المتغيرات ثم نستخدم التعويضz=v/u ,
     ثم نعوض بعد ذلك عن كل من u ,v حيث v=y-k , u=x-h فنحصل على الحل العام للمعادلة التفاضلية في الرقم (1).

    مثال :أوجد الحل العام  للمعادلة التالية :



    الحل :

    نلاحظ ان المستقيمان :
    x+y-1=0…………………..(1)
    x - y-5=0……………………..(2)
    متقاطعان , وبحل المعادلتين كالتالي :
    بجمع (1) و (2) نجد ان :
    2x - 6=0 x= 3 
    ومنه فإن :
    3-y-5=0 y = 2
    يتقاطعان في النقطة (3,2) ثم باستخدام التعويض فإن :
    x=u + 3    ,     y = v – 2
    ومن ذلك نجد أن :


    ولكن  u=x - 3    ,     v = y – 2 :
    فيكون الحل العام للمعادلة التفاضلية هو :


     الحالة الثانية :

    في حال المستقيمان متوازيان , نقوم بافتراض ان المستقيمان في (3) سابقا , متوازيان فإن شرط التوازي هو :
    a1b2=a2b1
    في هذه الحالة نستخدم التعويض التالي :
    z=a1 x + b1 y     ,   or      z= a2 x  + b2 y
    في هذه الحاله بعد التعويض تتحول المعادلة التفاضلية (1) إلى معادلة تفاضلية نحلها بطريقة فصل المتغيرات .

    مثال:أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية العادية :







    الحل 
    شارك المقال

    قد يهمك أيضا :