معادلات تفاضلية عادية تؤول إلى معادلات متجانسة
هذه المعادلات التفاضلية عادية على الصورة :
حيث أن , a1
, b1 , c1 , a2 , b2 , c2
ثوابت .
إذا كان c1=c2=0
فإن المعادلة التفاضلية (1)
تؤول إلى المعادلة :
وهذه معادلة تفاضلية متجانسة حيث أن كل من دالتي البسط والمقام متجانسة من
الدرجة الأولى وفي هذه الحالة يمكن حل المعادلة (2) .
ولحل المعادلة التفاضلية العادية (1) فإنا نبحث فيما إذا كان الخطان
المستقيمان :
a1x + b1y + c1=0…………………………………………………………………(3)
a2x + b2y + c2=0…………………………………………………………………(3)
هل سيتقاطع المستقيمان أم لا .
وسنوضح الحالتين فيما يلي :
الحالة الأولى
تقاطع المستقيمان
a1x + b1y + c1=0
a2x + b2y + c2=0
إذا كان :
لو أفترضنا أن نقطة
تقاطع المستقيمان هي (h , k) فإننا نستخدم التعويض :
y= v + k
, x = u + h
حيث ان k ,h وعلى ذلك فإن
وبالتعويض في المعادلة (1) فإننا نحصل على :
وحيث ان (h,k) نقطة تقاطع المستقيمان في
المعادلة (4) , أي انها تقع على كل منهما
وعلية فإن :
a1h + b1k + c1=0
a2h + b2k + c2=0
ومنه تأخذ المعادلة
التفاضلية (4) الصورة :
وهذه معادلة تفاضلية
متجانسة في المتغيرين u,v ويمكن حلها كما سبق وذلك
باستخدام التعويض v=zu فتتحول المعادلة (5) إلى معادلة تفاضلية تحل بطريقة
فصل المتغيرات ثم نستخدم التعويضz=v/u ,
ثم نعوض بعد ذلك عن كل من u ,v حيث v=y-k
, u=x-h فنحصل على الحل العام للمعادلة التفاضلية في الرقم (1).
مثال :أوجد الحل العام للمعادلة التالية :
الحل :
نلاحظ ان المستقيمان :
x+y-1=0…………………..(1)
x - y-5=0……………………..(2)
متقاطعان , وبحل المعادلتين كالتالي :
بجمع (1) و (2) نجد ان :
2x - 6=0 ⇒ x= 3
ومنه فإن :
3-y-5=0⇒ y = 2
يتقاطعان في النقطة (3,2) ثم باستخدام التعويض فإن :
x=u + 3
, y = v – 2
ومن ذلك نجد أن :
ولكن u=x - 3 , v = y – 2 :
فيكون الحل العام
للمعادلة التفاضلية هو :
الحالة الثانية :
في حال المستقيمان
متوازيان , نقوم بافتراض ان المستقيمان في (3) سابقا , متوازيان فإن شرط
التوازي هو :
a1b2=a2b1
في هذه الحالة نستخدم
التعويض التالي :
z=a1 x + b1 y ,
or z= a2 x + b2 y
في هذه الحاله بعد
التعويض تتحول المعادلة التفاضلية (1) إلى معادلة تفاضلية نحلها
بطريقة فصل المتغيرات .
مثال:أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية العادية :
