معادلات تفاضلية تؤول إلى الخطية
أولا : معادلة برنولي
تكون المعادلة على الصورة :
-
وهذه المعادلة يمكن أن تتحول إلى معادلة خطية
:
مثال :
أوجد حل المعادلة التفاضلية
التالية :
y'+xy=xy2
الحل:
المعادلة على شكل معادلة برنولي وهي بالصورة :
بمقارنة المعادلة (1)
مع المعادلة (2)
نجد أن
P(x)=-2x ,
Q(x) = -x
ثانيا معادلة ريكاتي
وصورة هذه المعادلة :
حيث P
, Q , R دوال في x
فقط .
وممكن أن تصبح المعادلة السابقة خطية عندما : p(x)=0 , وممكن أن تصبح برنولية عندما R(x)=0.
وتعتبر هذه المعادلة أعم من معادلة برنولي .
حل المعادلة
لإيجاد حل مثل هذه المعادلة , لابد من علم حلا خاصا وليكن y1 حيث y1(x)=y1 .
ويكون
الحل العام لمعادلة ريكاتي باستخدام التعويض :
ثم نقوم بالتعويض في المعادلة الأصلية ونوجد الحل الخاص
للمعادلة ثم الحل العام .
مثال :
حل المعادلة التفاضلية التالية :
y' + 2yex + y2 = e2x
+ ex ,
حيث ان : y= ex
الحل :
ثالثا : المعادلات التفاضلية على الصورة
حيث Q(x)
, p(x)
دوال في المتغير x , و f(y)دالة في المتغير y فقط و f'(y) هو تفاضل الداله f(y)
بالنسبة إلى y
.
ولحل هذا النوع من المعادلات فإننا نستخدم التعويض
: z=
f(X)
ومنها بالتفاضل بالنسبة إلى x نحصل على :
حيث أن
المعادلة السابقة معادلة خطية في z
.
مثال
أوجد الحل العام للمعادلة التالية :
وهذه
معادلة تفاضلية خطية وحلها يكون هو :
Z = x ex – ex +
c
ويكون
الحل العام للمعادلة التفاضلية هو :
ey = ex(x – 1) +
c
حيث c ثابت اختياري .