معادلات تفاضلية تؤول إلى الخطية

     معادلات تفاضلية تؤول إلى الخطية 

    أولا : معادلة برنولي

    تكون المعادلة على الصورة :


    حيث n 0 ,1  تسمى معادلة برنولي , n عدد حقيقي .
    -          وهذه المعادلة يمكن أن تتحول إلى معادلة خطية :




    مثال :

    أوجد حل المعادلة التفاضلية التالية :
    y'+xy=xy2

    الحل:

    المعادلة على شكل معادلة برنولي وهي بالصورة :



    بمقارنة المعادلة (1) مع المعادلة (2) نجد أن
    P(x)=-2x       ,  Q(x) =  -x
       


    ثانيا معادلة ريكاتي

    وصورة هذه المعادلة :

    حيث P , Q , R دوال في x فقط .
    وممكن أن تصبح المعادلة السابقة خطية عندما : p(x)=0  , وممكن أن تصبح برنولية عندما R(x)=0.
    وتعتبر هذه المعادلة أعم من معادلة برنولي .

    حل المعادلة

    لإيجاد حل مثل هذه المعادلة  , لابد من علم حلا خاصا وليكن y1  حيث  y1(x)=y1 .
    ويكون الحل العام لمعادلة ريكاتي باستخدام التعويض :

    ثم نقوم بالتعويض في المعادلة الأصلية ونوجد الحل الخاص للمعادلة ثم الحل العام .

    مثال :

    حل المعادلة التفاضلية التالية :
    y' + 2yex + y2 = e2x + ex             ,                   
    حيث ان :    y= ex
    الحل :



    ثالثا : المعادلات التفاضلية على الصورة



    حيث Q(x)p(x) دوال في المتغير x  , و   f(y)دالة  في المتغير y فقط و f'(y)  هو تفاضل الداله  f(y) بالنسبة إلى y .
    ولحل هذا النوع من المعادلات فإننا نستخدم التعويض :     z= f(X)  
    ومنها بالتفاضل بالنسبة إلى x نحصل على :

    حيث أن المعادلة السابقة معادلة خطية في z .

    مثال

    أوجد الحل العام للمعادلة التالية :

    وهذه معادلة تفاضلية خطية وحلها يكون هو :
    Z = x ex – ex + c 
    ويكون الحل العام للمعادلة التفاضلية هو :
       ey = ex(x – 1) + c 

    حيث       c ثابت اختياري .
    شارك المقال

    قد يهمك أيضا :