المعادلات التفاضلية المتجانسة

    المعادلات التفاضلية المتجانسةDifferential Equations heterogeneous

    هذا القسم من المعادلات التفاضلية الغير قابلة لفصل المتغيرات في الأصل تصبح قابلة للفصل بعد تحويل المتغير .
    هذه المعادلات يمكن كتابتها على الشكل :


    هذا النوع من المعادلات يصبح قابل للفصل وذلك بوضع    v=y/xنجد أن :


    وبالتعويض في المعادلة الأصلية نحصل على معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى قابلة لفصل المتغيرات .

    أمثلة
    مثال1))

    أوجد حل المعادلة التالية :
    وبوضع v=y/x نستنتج أن المعادلة التفاضلية متجانسة .
    وبالتعويض في المعادلة التفاضلية الأصلية نجد ان :


    ولكن:
     y= xv
    وبتفاضل الطرفين   يصبح  dy =xdv + vdx
    وبالتعويض في (1) بدلا عن dy نحصل على العلاقة التالية :

    ويمكن كتابة المعادلة بالصورة
    y2=2x2lnx + 2x2c

    تعريف (1)

    المعادلات التفاضلية التي تكتب من الشكل :


    حيث أن M,N دوال متجانسة من نفس الدرجة, نقول أنها معادلات تفاضلية متجانسة .
    ويمكن كتابتها من الشكل :

    وبالتالي بعد تحويل المتغير تصبح قابلة لفصل المتغيرات .

    تعريف (2)

    نقول أن الداله g(x,y) المعرفة من أجل كل قيم (x,y) أنها متجانسة من الدرجة n إذا كان :
    g(tx,ty) = tn g(x,y) من أجل كل قيم  .(x,y)

    مثال (1)

    بين فيما إذا كانت المعادلة التالية متجانسة ثم أوجد حلها ؟


    ومنه فإن الدوال M,N دوال متجانسة من الدرجة الأولى يمكن كتابتها من الشكل :


    طريقة حلها كمايلي :
    بقسمة طرفي المعادلة على x تصبح المعادله :


    مثال (2)

    بين إذا كانت المعادلات التفاضلية التالية متجانسة:
    (1)  (x2+y2)dx-xydy
     (2) x3 yy' 3x=0 

    الحل :
    (1)  (x2+y2)dx-xydy                                                                   
    N(x,y)= x2+y2N( tx,ty)=( tx)2+( ty )2=t2 (x2+y2)=t2 N(x,y)
    M(x,y)= xyM( tx,ty)=( tx).( ty ) =t2 (xy)=t2 M(x,y)
    متجانسة لتحقق شرط التجانس , وهي من الدرجة الثانية  ويمكن كتابتها على الشكل :


    بقسمة طرفي المعادلة على xydx تصبح المعادلة تكون :


    (2)  x3 yy' 3x
    N(x,y)= x3yN( tx,ty)=( tx)3. ( ty )=t4 (xy)=t4 N(x,y)
    M(x,y)= 3x2M( tx,ty)=3( tx)2=3t2 (x)=t2 M(x,y)
    الداله غير متجانسة .
    لايمكن كتابتها بصورة




    N(x,y)= x-yN( tx,ty)=( tx)-( ty )=t (x - y)=t N(x,y)
    N(x,y)= x+yN( tx,ty)=( tx)+( ty )=t (x + y)=t N(x,y)
    المعادلة متجانسة ومن الدرجة الأولى , يمكن كتابتها بالصورة


    حدود المعادلة على xy .

    مثال(3)

    هل المعادلة التالية متجانسة , ثم أوجد الحل العام لها :



    المعادلة متجانسة .
    يمكن أن تكتب بصورة :


    حل المعادلة :

    بقسمة  أطراف المعادلة على x تصبح بالشكل :

    شارك المقال

    قد يهمك أيضا :