3/03/2015

المعادلات التفاضلية المتجانسة

المعادلات التفاضلية المتجانسةDifferential Equations heterogeneous

هذا القسم من المعادلات التفاضلية الغير قابلة لفصل المتغيرات في الأصل تصبح قابلة للفصل بعد تحويل المتغير .
هذه المعادلات يمكن كتابتها على الشكل :


هذا النوع من المعادلات يصبح قابل للفصل وذلك بوضع    v=y/xنجد أن :


وبالتعويض في المعادلة الأصلية نحصل على معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى قابلة لفصل المتغيرات .

أمثلة
مثال1))

أوجد حل المعادلة التالية :
وبوضع v=y/x نستنتج أن المعادلة التفاضلية متجانسة .
وبالتعويض في المعادلة التفاضلية الأصلية نجد ان :


ولكن:
 y= xv
وبتفاضل الطرفين   يصبح  dy =xdv + vdx
وبالتعويض في (1) بدلا عن dy نحصل على العلاقة التالية :

ويمكن كتابة المعادلة بالصورة
y2=2x2lnx + 2x2c

تعريف (1)

المعادلات التفاضلية التي تكتب من الشكل :


حيث أن M,N دوال متجانسة من نفس الدرجة, نقول أنها معادلات تفاضلية متجانسة .
ويمكن كتابتها من الشكل :

وبالتالي بعد تحويل المتغير تصبح قابلة لفصل المتغيرات .

تعريف (2)

نقول أن الداله g(x,y) المعرفة من أجل كل قيم (x,y) أنها متجانسة من الدرجة n إذا كان :
g(tx,ty) = tn g(x,y) من أجل كل قيم  .(x,y)

مثال (1)

بين فيما إذا كانت المعادلة التالية متجانسة ثم أوجد حلها ؟


ومنه فإن الدوال M,N دوال متجانسة من الدرجة الأولى يمكن كتابتها من الشكل :


طريقة حلها كمايلي :
بقسمة طرفي المعادلة على x تصبح المعادله :


مثال (2)

بين إذا كانت المعادلات التفاضلية التالية متجانسة:
(1)  (x2+y2)dx-xydy
 (2) x3 yy' 3x=0 

الحل :
(1)  (x2+y2)dx-xydy                                                                   
N(x,y)= x2+y2N( tx,ty)=( tx)2+( ty )2=t2 (x2+y2)=t2 N(x,y)
M(x,y)= xyM( tx,ty)=( tx).( ty ) =t2 (xy)=t2 M(x,y)
متجانسة لتحقق شرط التجانس , وهي من الدرجة الثانية  ويمكن كتابتها على الشكل :


بقسمة طرفي المعادلة على xydx تصبح المعادلة تكون :


(2)  x3 yy' 3x
N(x,y)= x3yN( tx,ty)=( tx)3. ( ty )=t4 (xy)=t4 N(x,y)
M(x,y)= 3x2M( tx,ty)=3( tx)2=3t2 (x)=t2 M(x,y)
الداله غير متجانسة .
لايمكن كتابتها بصورة




N(x,y)= x-yN( tx,ty)=( tx)-( ty )=t (x - y)=t N(x,y)
N(x,y)= x+yN( tx,ty)=( tx)+( ty )=t (x + y)=t N(x,y)
المعادلة متجانسة ومن الدرجة الأولى , يمكن كتابتها بالصورة


حدود المعادلة على xy .

مثال(3)

هل المعادلة التالية متجانسة , ثم أوجد الحل العام لها :



المعادلة متجانسة .
يمكن أن تكتب بصورة :


حل المعادلة :

بقسمة  أطراف المعادلة على x تصبح بالشكل :

قد يهمك أيضا :

المعادلات التفاضلية المتجانسة
4/ 5
Oleh