المعادلات التفاضلية المتجانسة
هذا القسم من المعادلات التفاضلية الغير
قابلة لفصل المتغيرات في الأصل تصبح قابلة للفصل بعد تحويل المتغير .
هذه المعادلات يمكن كتابتها على الشكل :
هذا النوع من المعادلات يصبح قابل للفصل وذلك بوضع v=y/xنجد أن :
وبالتعويض في المعادلة الأصلية نحصل على
معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى قابلة لفصل المتغيرات .
أمثلة
مثال1))
أوجد حل المعادلة التالية :
وبوضع v=y/x نستنتج أن
المعادلة التفاضلية متجانسة .
وبالتعويض في المعادلة التفاضلية الأصلية نجد
ان :
ولكن:
y= xv
وبتفاضل الطرفين يصبح dy =xdv + vdx
وبالتعويض في (1) بدلا عن dy نحصل على
العلاقة التالية :
ويمكن كتابة المعادلة بالصورة
y2=2x2lnx
+ 2x2c
تعريف (1)
المعادلات التفاضلية التي تكتب من الشكل :
حيث أن M,N دوال
متجانسة من نفس الدرجة, نقول أنها معادلات تفاضلية متجانسة .
ويمكن كتابتها من الشكل :
وبالتالي بعد تحويل المتغير تصبح قابلة لفصل
المتغيرات .
تعريف (2)
نقول أن الداله g(x,y) المعرفة من
أجل كل قيم (x,y)
أنها متجانسة من الدرجة n
إذا كان :
g(tx,ty) = tn
g(x,y)
من أجل كل قيم .(x,y)
مثال (1)
بين فيما إذا كانت المعادلة التالية متجانسة
ثم أوجد حلها ؟
ومنه
فإن الدوال M,N
دوال متجانسة من الدرجة الأولى يمكن كتابتها من الشكل :
طريقة حلها كمايلي :
بقسمة طرفي المعادلة
على x تصبح المعادله :
مثال (2)
بين إذا كانت
المعادلات التفاضلية التالية متجانسة:
(1) (x2+y2)dx-xydy
(2)
x3 yy' − 3x2
=0
الحل :
(1)
(x2+y2)dx-xydy
N(x,y)= x2+y2⇒N( tx,ty)=( tx)2+( ty )2=t2 (x2+y2)=t2
N(x,y)
M(x,y)=
xy⇒M(
tx,ty)=( tx).( ty ) =t2 (xy)=t2 M(x,y)
متجانسة لتحقق شرط التجانس , وهي من الدرجة الثانية ويمكن كتابتها على الشكل :
بقسمة طرفي المعادلة على xydx
تصبح المعادلة تكون :
(2)
x3 yy' − 3x2
N(x,y)= x3y⇒N( tx,ty)=( tx)3. ( ty )=t4 (xy)=t4 N(x,y)
M(x,y)= 3x2⇒M( tx,ty)=3( tx)2=3t2 (x)=t2 M(x,y)
الداله غير متجانسة .
لايمكن كتابتها بصورة
N(x,y)= x-y⇒N( tx,ty)=( tx)-( ty )=t (x - y)=t N(x,y)
المعادلة متجانسة ومن الدرجة الأولى , يمكن كتابتها بالصورة
حدود المعادلة على xy
.
مثال(3)
هل المعادلة التالية متجانسة , ثم أوجد الحل العام لها :
المعادلة متجانسة .
يمكن أن تكتب بصورة :
حل المعادلة :
بقسمة أطراف المعادلة على x تصبح بالشكل :
