خواص عمليتي التقاطع والاتحاد في المجموعات



    التقاطع

    : تقاطع مجموعتين س , ص هي مجموعة العناصر التي تنتمي إلى كل من س , ص في آن واحد ويرمز لها بالرمز  
     س ص .
    أما اتحاد مجموعتين س , ص هي مجموعة جميع العناصرالتي تنتمي إلى  س أو ص أوكليهما معا ويرمز لهما بالرمز س  ص .

    خواص عمليتي التقاطع والاتحاد

    الخاصية الأولى  : الخاصية الإبدالية

    لأي مجموعتين س , ص فإن :
    س ص = ص س      ,    س ص =  ص س .

    مثال :

    إذا كانت أ= { 2 , 3 , 4 ,5 }         ,       ب= { 2 , 3 , 6  ,  7}  
    فإن  :
    أ ب = { 2 , 3 }  
    ب   أ =  { 2 , 3 }  
    مماسبق نلاحظ أن :
    أ ب  =   ب   أ  =   { 2 , 3 }

    http://www.ar-science.com/2015/03/Characteristics-of-the-processes-of-the-intersection-and-union.html













    وكذلك بالنسبة لو درسنا عملية الاتحاد على نفس المثال سنجد أن :
    أ  ب = {  2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }   
    ب   أ = {  2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }        
    أي أن  :
     أ  ب =   ب   أ = {  2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }


    http://www.ar-science.com/2015/03/Characteristics-of-the-processes-of-the-intersection-and-union.html


    من هذا المثال نلاحظ أن  عمليتي الاتحاد والتقاطع إبداليتين  .

    الخاصية الثانية : التجميعية

    لأي ثلاث مجموعات  س , ص , ع فإن :
    1)     ص) ع= س ع )
    2)     Uص) Uع=  سUU ع)

    مثال 1):

    إذا كانت :
    ع = { 1 , 7 , 9 , 6, 5} , س = { 9 , 6 , 2 , 8 }
    ص = { 2 ,3 , 4 , 5 , 6 } أوجد مايلي :

    1)       ص) ع 
    الحل :
    نوجد أولأ :   ص)  =  { 2 , 6 }   ,    ثم نوجد  (س ص) ع
     = { 2 , 6 } { 1 , 7 , 9 , 6, 5} = { 6 } كما هو مظلل في الشكل .
    2)     س ع )
    الحل :
    نوجد أولا القوسين  ,  ع ) = {  5 ,6 } ,ثم نوجد 
    س ع )  =  { 9 , 6 , 2 , 8 }    {  5 ,6 } = { 6 } كما هو مظلل في الشكل.
    ومنة نلاحظ أن    ص) ع  =  س ع ) أي أن عملية التقاطع تجميعية .


    http://www.ar-science.com/2015/03/Characteristics-of-the-processes-of-the-intersection-and-union.html


    مثال 2 ):

    إذا كانت س= { 1 , 4 , 5 , 8 }          ص = { 2 , 4 , 8 , 10 } 
     ع = { 1 , 2 , 3 , 4 }     فأوجد :
    1)        ( س  ص )  ع           ,       2)        س  ( ص  ع ) 

    الحل :
    نوجد أولا  :
    1)       ( س  ص ) = {  1 , 4 , 5 , 8 , 2 , 10 }  , ثم  نوجد   
            ( س  ص )  ع 
                = {  1 , 4 , 5 , 8 , 2 , 10 }   { 1 , 2 , 3 , 4}
                                  =   {  1 , 4 , 5 , 8 , 2 , 10  , 3 }
               وذلك كما هو مظلل في الشكل .          
    2)     ص  ع  =  { 2 , 4 , 8  , 10 , 1 , 3 } 
     ثم نوجد :
     س  ( ص  ع ) = { 1 , 4 , 5 , 8 }{ 2 , 4 , 8  , 10 , 1 , 3   } 
                                                              = { 1 ,  2  , 4 , 5 , 8  , 10 , 2 , 3 }  
    وبمقارنة الإجابتن  تلاحظ أن :
    ( س  ص )  ع      =       س  ( ص  ع ) 





    http://www.ar-science.com/2015/03/Characteristics-of-the-processes-of-the-intersection-and-union.html



    ثالثاً :الخاصية التوزيعية :

    لأي ثلاث مجموعات  س , ص , ع , فإن  :
    س (ص  ع )  =   ( س ص)  (س ع )
      س  (ص ع )  =   ( س  ص) (س  ع )
    أي أن  عمليتا الأتحاد والتقاطع توزيعيتان على بعضهما .

     مثال :

    إذا كانت  س = { 2 , 3 , 4 , 5} ,  ص = { 3 , 4 , 7 , 9 }  ,
    ع ={ 4 , 5 , 7 }


    أوجد ::
     1) س (ص  ع )  
    الحل : 
    نوجد أولا   ص   ع = { 3 , 4 , 5 , 7 , 9 }
     ثم نوجد    س (ص  ع )  ={ 2 , 3 , 4 , 5} { 3 , 4 , 5 , 7 , 9 } =  { 3 , 4 , 5} 




    http://www.ar-science.com/2015/03/Characteristics-of-the-processes-of-the-intersection-and-union.html

    2)     ( س ص)  (س ع )  نوجد اولا   ( س ص) = { 3 , 4 }
    ثم نوجد (س ع )  =  { 4 , 5 }  ثم نوجد أخيرا  
    ( س ص)  (س ع )  =  { 3 , 4 }  { 4 , 5 } = { 3 , 4 , 5}  .
     أي أن  :
    س (ص  ع )  =   ( س ص)  (س ع )



    http://www.ar-science.com/2015/03/Characteristics-of-the-processes-of-the-intersection-and-union.html









    \



    ومن ذلك   نستنتج أن التقاطع توزيعية على  الاتحاد
    كذلك بالنسبة للأتحاد  توزيعية على التقاطع


         ثانيا  :  س  (ص ع )  =   ( س  ص) (س  ع )
    من المثال  السابق اوجد:
    1)  س  (ص ع )  :
    الحل :
    نبدأ ايجاد  (ص ع )  =  { 4 , 7 }
          س ع )= { 2 , 3 , 4 , 5}{ 4 , 7}= { 2 , 3 , 4 , 5 , 7}

         2) ( س  ص) (س  ع )
            نوجد   س  ص = { 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 9 }
                    س  ع  =  { 2 , 3 , 4 , 5 , 7 }
      ( س  ص) (س  ع ) = { 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 9 }   { 2 , 3 , 4 , 5 , 7 }
                                                    =   { 2 , 3 , 4 , 5 , 7 }
    ومن ذلك نستنتج أن عملية الاتحاد توزيعية على التقاطع
    س  (ص ع )  =   ( س  ص) (س  ع )


     أمثلة

    إذا كانت:
    ش={1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 } ،  س= {1 ، 2}
    ص= {2، 3} ، ع ={1 ، 4، 5 }
    أوجـد:
     أ)  سَ / ص.         ب)      ع / س        جـ) شَ
      د) صَ         هـ) (ص / س)َ ∩ (ع / ص)َ
    الـحــــل:
    أ‌)        سَ / ص = { 3 ، 4 ، 5 } / { 2 ، 3 } = { 4 ، 5 }

    ب‌)     ع / س = { 1 ، 4 ، 5 } / { 1 ، 2 } = { 4 ، 5 }


    جـ) شَ = { Ø }   ملحوظــة: شَ = Ø

    د) صَ = { 1 ، 4 ، 5 }

    ه‍ )  نوجد أولاً :  
    ص / س = {3} ، ع / ص = {1 ، 4 ، 5}

    (ص / س)َ ∩( ع / س)َ = {3}َ ∩ {1 ، 4 ، 5}َ



    = {1 ، 2 ، 4 ، 5} ∩ {2 ، 3} = {2}  .
    شارك المقال

    قد يهمك أيضا :