حل بقية الكتب

خواص عمليتي التقاطع والاتحاد في المجموعات



خواص الإتحاد والتقاطع في  المجموعات



التقاطع

: تقاطع مجموعتين س , ص هي مجموعة العناصر التي تنتمي إلى كل من س , ص في آن واحد ويرمز لها بالرمز  
 س ∩ ص .
أما اتحاد مجموعتين س , ص هي مجموعة جميع العناصرالتي تنتمي إلى  س أو ص أوكليهما معا ويرمز لهما بالرمز س ∪ ص .

خواص عمليتي التقاطع والاتحاد

الخاصية الأولى  : الخاصية الإبدالية

لأي مجموعتين س , ص فإن :
س ∩ ص = ص∩ س      ,    س∪ ص =  ص∪ س .

مثال :

إذا كانت أ= { 2 , 3 , 4 ,5 }         ,       ب= { 2 , 3 , 6  ,  7}  
فإن  :
أ ∩ ب = { 2 , 3 }  
ب ∩  أ =  { 2 , 3 }  
مماسبق نلاحظ أن :
أ ∩ ب  =   ب ∩  أ  =   { 2 , 3 }

http://www.ar-science.com/2015/03/Characteristics-of-the-processes-of-the-intersection-and-union.html







وكذلك بالنسبة لو درسنا عملية الاتحاد على نفس المثال سنجد أن :
أ ∪ ب = {  2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }   
ب ∪  أ = {  2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }        
أي أن  :
 أ ∪ ب =   ب ∪  أ = {  2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }


http://www.ar-science.com/2015/03/Characteristics-of-the-processes-of-the-intersection-and-union.html


من هذا المثال نلاحظ أن  عمليتي الاتحاد والتقاطع إبداليتين  .

الخاصية الثانية : التجميعية

لأي ثلاث مجموعات  س , ص , ع فإن :
1)     (س∩ ص) ∩ع= س ∩(ص∩ ع )
2)     (سUص) Uع=  سU (صU ع)

مثال 1):

إذا كانت :
ع = { 1 , 7 , 9 , 6, 5} , س = { 9 , 6 , 2 , 8 }
ص = { 2 ,3 , 4 , 5 , 6 } أوجد مايلي :

1)      (س∩ ص) ∩ع 
الحل :
نوجد أولأ :   (س∩ ص)  =  { 2 , 6 }   ,    ثم نوجد  (س∩ ص) ∩ع
 = { 2 , 6 } ∩ { 1 , 7 , 9 , 6, 5} = { 6 } كما هو مظلل في الشكل .
2)     س ∩ (ص∩ ع )
الحل :
نوجد أولا القوسين  ,  (ص∩ ع ) = {  5 ,6 } ,ثم نوجد 
س ∩ (ص∩ ع )  =  { 9 , 6 , 2 , 8 } ∩   {  5 ,6 } = { 6 } كما هو مظلل في الشكل.
ومنة نلاحظ أن   (س∩ ص) ∩ع  =  س ∩ (ص∩ ع ) أي أن عملية التقاطع تجميعية .
http://www.ar-science.com/2015/03/Characteristics-of-the-processes-of-the-intersection-and-union.html

مثال 2 ):

إذا كانت س= { 1 , 4 , 5 , 8 }          ص = { 2 , 4 , 8 , 10 } 
 ع = { 1 , 2 , 3 , 4 }     فأوجد :
1)        ( س ∪ ص ) ∪ ع           ,       2)        س ∪ ( ص ∪ ع ) 

الحل :
نوجد أولا  :
1)       ( س ∪ ص ) = {  1 , 4 , 5 , 8 , 2 , 10 }  , ثم  نوجد   
        ( س ∪ ص ) ∪ ع 
            = {  1 , 4 , 5 , 8 , 2 , 10 }  ∪ { 1 , 2 , 3 , 4}
                              =   {  1 , 4 , 5 , 8 , 2 , 10  , 3 }
           وذلك كما هو مظلل في الشكل .          
2)     ص ∪ ع  =  { 2 , 4 , 8  , 10 , 1 , 3 } 
 ثم نوجد :
 س ∪ ( ص ∪ ع ) = { 1 , 4 , 5 , 8 }∪{ 2 , 4 , 8  , 10 , 1 , 3   } 
                                                          = { 1 ,  2  , 4 , 5 , 8  , 10 , 2 , 3 }  
وبمقارنة الإجابتن  تلاحظ أن :
( س ∪ ص ) ∪ ع      =       س ∪ ( ص ∪ ع ) 





http://www.ar-science.com/2015/03/Characteristics-of-the-processes-of-the-intersection-and-union.html

ثالثاً :الخاصية التوزيعية :

لأي ثلاث مجموعات  س , ص , ع , فإن  :
س ∩ (ص ∪ ع )  =   ( س ∩ ص) ∪ (س ∩ ع )
  س ∪ (ص ∩ ع )  =   ( س ∪ ص) ∩ (س ∪ ع )
أي أن  عمليتا الأتحاد والتقاطع توزيعيتان على بعضهما .

 مثال :

إذا كانت  س = { 2 , 3 , 4 , 5} ,  ص = { 3 , 4 , 7 , 9 }  ,
ع ={ 4 , 5 , 7 }
أوجد ::
 1) س ∩ (ص ∪ ع )  
الحل : 
نوجد أولا   ص ∪  ع = { 3 , 4 , 5 , 7 , 9 }
 ثم نوجد    س ∩ (ص ∪ ع )  ={ 2 , 3 , 4 , 5} ∩ { 3 , 4 , 5 , 7 , 9 } =  { 3 , 4 , 5} 




http://www.ar-science.com/2015/03/Characteristics-of-the-processes-of-the-intersection-and-union.html

 2)     ( س ∩ ص) ∪ (س ∩ ع )  نوجد اولا   ( س ∩ ص) = { 3 , 4 }
ثم نوجد (س ∩ ع )  =  { 4 , 5 }  ثم نوجد أخيرا  
( س ∩ ص) ∪ (س ∩ ع )  =  { 3 , 4 } ∪ { 4 , 5 } = { 3 , 4 , 5}  .
 أي أن  :
س ∩ (ص ∪ ع )  =   ( س ∩ ص) ∪ (س ∩ ع )

http://www.ar-science.com/2015/03/Characteristics-of-the-processes-of-the-intersection-and-union.html









\



ومن ذلك   نستنتج أن التقاطع توزيعية على  الاتحاد
كذلك بالنسبة للأتحاد  توزيعية على التقاطع


     ثانيا  :  س ∪ (ص ∩ ع )  =   ( س ∪ ص) ∩ (س ∪ ع )
من المثال  السابق اوجد:
1)  س ∪ (ص ∩ ع )  :
الحل :
نبدأ ايجاد  (ص ∩ ع )  =  { 4 , 7 }
   ∴   س∪(ص ∩ ع )= { 2 , 3 , 4 , 5}∪{ 4 , 7}= { 2 , 3 , 4 , 5 , 7}

     2) ( س ∪ ص) ∩ (س ∪ ع )
        نوجد   س ∪ ص = { 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 9 }
                س ∪ ع  =  { 2 , 3 , 4 , 5 , 7 }
∴  ( س ∪ ص) ∩ (س ∪ ع ) = { 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 9 } ∩  { 2 , 3 , 4 , 5 , 7 }
                                                =   { 2 , 3 , 4 , 5 , 7 }
ومن ذلك نستنتج أن عملية الاتحاد توزيعية على التقاطع
س ∪ (ص ∩ ع )  =   ( س ∪ ص) ∩ (س ∪ ع )

 أمثلة

إذا كانت:
ش={1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 } ،  س= {1 ، 2}
ص= {2، 3} ، ع ={1 ، 4، 5 }
أوجـد:
 أ)  سَ / ص.         ب)      ع / س        جـ) شَ
  د) صَ         هـ) (ص / س)َ ∩ (ع / ص)َ
الـحــــل:
أ‌)        سَ / ص = { 3 ، 4 ، 5 } / { 2 ، 3 } = { 4 ، 5 }

ب‌)     ع / س = { 1 ، 4 ، 5 } / { 1 ، 2 } = { 4 ، 5 }


جـ) شَ = { Ø }   ملحوظــة: شَ = Ø

د) صَ = { 1 ، 4 ، 5 }

ه‍ )  نوجد أولاً :  
ص / س = {3} ، ع / ص = {1 ، 4 ، 5}

(ص / س)َ ∩( ع / س)َ = {3}َ ∩ {1 ، 4 ، 5}َ
= {1 ، 2 ، 4 ، 5} ∩ {2 ، 3} = {2}  .
Tags:
أحدث أقدم

تفعيل منع نسخ المحتوي