التقاطع
: تقاطع مجموعتين س , ص هي مجموعة العناصر التي تنتمي إلى كل من س , ص في آن واحد ويرمز لها بالرمز س ∩ ص .
أما اتحاد مجموعتين س , ص هي مجموعة جميع العناصرالتي تنتمي إلى س أو ص أوكليهما معا ويرمز لهما بالرمز س ∪ ص .
خواص عمليتي التقاطع والاتحاد
الخاصية الأولى : الخاصية الإبدالية
لأي مجموعتين س , ص فإن :
س ∩ ص = ص∩ س , س∪ ص = ص∪ س .
مثال :
إذا كانت أ= { 2 , 3 , 4 ,5 } , ب= { 2 , 3 , 6 , 7}
فإن :
أ ∩ ب = { 2 , 3 }
ب ∩ أ = { 2 , 3 }
مماسبق نلاحظ أن :
وكذلك بالنسبة لو درسنا عملية الاتحاد على نفس المثال سنجد أن :
أ ∪ ب = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }
ب ∪ أ = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }
أي أن :
من هذا المثال نلاحظ أن عمليتي الاتحاد والتقاطع إبداليتين .
الخاصية الثانية : التجميعية
لأي ثلاث مجموعات س , ص , ع فإن :
1) (س∩ ص) ∩ع= س ∩(ص∩ ع )
2) (سUص) Uع= سU (صU ع)
مثال 1):
إذا كانت :
ع = { 1 , 7 , 9 , 6, 5} , س = { 9 , 6 , 2 , 8 }
ص = { 2 ,3 , 4 , 5 , 6 } أوجد مايلي :
1) (س∩ ص) ∩ع
الحل :
نوجد أولأ : (س∩ ص) = { 2 , 6 } , ثم نوجد (س∩ ص) ∩ع
= { 2 , 6 } ∩ { 1 , 7 , 9 , 6, 5} = { 6 } كما هو مظلل في الشكل .
2) س ∩ (ص∩ ع )
الحل :
نوجد أولا القوسين , (ص∩ ع ) = { 5 ,6 } ,ثم نوجد
س ∩ (ص∩ ع ) = { 9 , 6 , 2 , 8 } ∩ { 5 ,6 } = { 6 } كما هو مظلل في الشكل.
مثال 2 ):
إذا كانت س= { 1 , 4 , 5 , 8 } ص = { 2 , 4 , 8 , 10 }
ع = { 1 , 2 , 3 , 4 } فأوجد :
1) ( س ∪ ص ) ∪ ع , 2) س ∪ ( ص ∪ ع )
الحل :
نوجد أولا :
1) ( س ∪ ص ) = { 1 , 4 , 5 , 8 , 2 , 10 } , ثم نوجد
( س ∪ ص ) ∪ ع
( س ∪ ص ) ∪ ع
= { 1 , 4 , 5 , 8 , 2 , 10 } ∪ { 1 , 2 , 3 , 4}
= { 1 , 4 , 5 , 8 , 2 , 10 , 3 }
وذلك كما هو مظلل في الشكل .
2) ص ∪ ع = { 2 , 4 , 8 , 10 , 1 , 3 }
ثم نوجد :
س ∪ ( ص ∪ ع ) = { 1 , 4 , 5 , 8 }∪{ 2 , 4 , 8 , 10 , 1 , 3 }
س ∪ ( ص ∪ ع ) = { 1 , 4 , 5 , 8 }∪{ 2 , 4 , 8 , 10 , 1 , 3 }
= { 1 , 2 , 4 , 5 , 8 , 10 , 2 , 3 }
وبمقارنة الإجابتن تلاحظ أن :
( س ∪ ص ) ∪ ع = س ∪ ( ص ∪ ع )
لأي ثلاث مجموعات س , ص , ع , فإن :
س ∩ (ص ∪ ع ) = ( س ∩ ص) ∪ (س ∩ ع )
س ∪ (ص ∩ ع ) = ( س ∪ ص) ∩ (س ∪ ع )
أي أن عمليتا الأتحاد والتقاطع توزيعيتان على بعضهما .
مثال :
إذا كانت س = { 2 , 3 , 4 , 5} , ص = { 3 , 4 , 7 , 9 } ,
ع ={ 4 , 5 , 7 }
أوجد ::
1) س ∩ (ص ∪ ع )
الحل :
1) س ∩ (ص ∪ ع )
الحل :
نوجد أولا ص ∪ ع = { 3 , 4 , 5 , 7 , 9 }
ثم نوجد س ∩ (ص ∪ ع ) ={ 2 , 3 , 4 , 5} ∩ { 3 , 4 , 5 , 7 , 9 } = { 3 , 4 , 5}
ثم نوجد (س ∩ ع ) = { 4 , 5 } ثم نوجد أخيرا
( س ∩ ص) ∪ (س ∩ ع ) = { 3 , 4 } ∪ { 4 , 5 } = { 3 , 4 , 5} .
أي أن :
\
ومن ذلك نستنتج أن التقاطع توزيعية على الاتحاد
ومن ذلك نستنتج أن التقاطع توزيعية على الاتحاد
كذلك بالنسبة للأتحاد توزيعية على التقاطع
ثانيا : س ∪ (ص ∩ ع ) = ( س ∪ ص) ∩ (س ∪ ع )
من المثال السابق اوجد:
1) س ∪ (ص ∩ ع ) :
الحل :
نبدأ ايجاد (ص ∩ ع ) = { 4 , 7 }
1) س ∪ (ص ∩ ع ) :
الحل :
نبدأ ايجاد (ص ∩ ع ) = { 4 , 7 }
∴ س∪(ص ∩ ع )= { 2 , 3 , 4 , 5}∪{ 4 , 7}= { 2 , 3 , 4 , 5 , 7}
2) ( س ∪ ص) ∩ (س ∪ ع )
نوجد س ∪ ص = { 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 9 }
س ∪ ع = { 2 , 3 , 4 , 5 , 7 }
∴ ( س ∪ ص) ∩ (س ∪ ع ) = { 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 9 } ∩ { 2 , 3 , 4 , 5 , 7 }
= { 2 , 3 , 4 , 5 , 7 }
ومن ذلك نستنتج أن عملية الاتحاد توزيعية على التقاطع
س ∪ (ص ∩ ع ) = ( س ∪ ص) ∩ (س ∪ ع )
أمثلة
إذا كانت:
ش={1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 } ، س= {1 ، 2}
ص= {2، 3} ، ع ={1 ، 4، 5 }
أوجـد:
أ) سَ / ص. ب) ع / س جـ) شَ
أ) سَ / ص. ب) ع / س جـ) شَ
د) صَ هـ) (ص / س)َ ∩ (ع / ص)َ
الـحــــل:
أ) سَ / ص = { 3 ، 4 ، 5 } / { 2 ، 3 } = { 4 ، 5 }
ب) ع / س = { 1 ، 4 ، 5 } / { 1 ، 2 } = { 4 ، 5 }
جـ) شَ = { Ø } ملحوظــة: شَ = Ø
د) صَ = { 1 ، 4 ، 5 }
ه ) نوجد أولاً :
ص / س = {3} ، ع / ص = {1 ، 4 ، 5}
(ص / س)َ ∩( ع / س)َ = {3}َ ∩ {1 ، 4 ، 5}َ
= {1 ، 2 ، 4 ، 5} ∩ {2 ، 3} = {2} .