2/18/2015

دالة الاحتمالProbability function

دالة الاحتمالProbability function

ونعرف دالة الاحتمال :

-         لتكن W فضاء العينة لتجربة عشوائية , P(W) مجموعة أحداث هذا الفضاء ( منطلق الدالة ) , R مجموعة الأعداد الحقيقية( مستقر الدالة ) فإن الدالة P : P(W R     تسمى دالة احتمال إذا توفرت فيها المسلمات التالية :

        1- P(A)   0  " A P(W)
        2-   P(W)  = 1
        3- If   A  ,  B     W  , (A B = Ø)     P(AB)= P(A) + P(B)   
أي إذا كان  A  ,  B     W  ,  وكانت  A  ,  B حادثتين متنافيتين فإن :
P(A) + P(B) = ( P(A B



ويمكننا تعريفها بصيغة أخرى :
-         إذا كان W فضاء العينة لاختبار ( تجربة عشوائية ) وكان  W  فضاء منتهي , فإذا كانت  P(W) هي مجموعة كل الأحداث  في فضاء العينة  W,  فكل دالة منطلقها مجموعة كل الأحداث  P(W)  ومستقرها المجال ] 0,1 [ تسمى دالة احتمال إذا كانت تحقق الشرطان الآتيان :
 1-   P(W)  = 1  
2-  If   A  ,  B     W  , (A B = Ø)     P(AB)= P(A) + P(B)       
أي إذا كان     (A B = Ø)فإن P(A) + P(B) = ( P(A B

نتائج هامة:

1-     إذا كانت  A1 , A2 ,…………..An  أحداثا متنافية مثنى مثنى فإن :
P(A1 A2 …………..An)= P(A1) + P (A2) +…………..+ P (An)
2-    إذا كانت الأحداث  A1 , A2 ,…………..An  تشكل تجزئة لفضاء العينة W فإن :
P(A1 A2…………..An) = P(W)
ومنة :
P(A1) + P (A2) +…………..+ P (An) =  1
3-    إذا كانت  W= { a1 , a2,……………an) , فإن الأحداث الإبتدائية
 { a1} , {a2},……………{an} تشكل تجزئة لفضاء العينة W , للاختصار نرمز :
P({ a1})= P( ai)  ,  وعندها يكون  :
P(a1) + P (a2) +…………..+ P (an) =  P( ai)

4-    مدى دالة الاحتمال P( A) هو مجموعة جزئية من الفترة [ 0, 1] أي أن :
                0  P (A) ,   "   A W
ملاحظة :
-         إذا كانت  A ,  B  حادثتين متنافيتين , فإن  :
P (A-B) =P(A)  ,P(B-A) = P(B)
-         إذا كانت  A ,  B  حادثتين في فضاء العينة W لتجربة عشوائية وكانت B A فإن :
P(A-B) =P(A) – P(B) .

خواص دالة الاحتمال


1-    احتمال وقوع الحادثة المستحيلة = صفر , أي أن :
P(Ø) = 0   
2-    احتمال  عدم وقوع حادثة ما =  1-  ( احتمال وقوع هذه الحادثة ) أي أن :
P ( A̅ ) =  1- P(A)
3-    لتكن A  ,  B  حادثتين غير متنافيتين في فضاء العينة ( W )  لتجربة عشوائية فإن :
P(AB)= P(A) + P(B)-   P(AB) , P(A-B)= P(A) -   P(AB). 
4-    لتكن A ,B حادثتين في فضاء العينة W لتجربة عشوائية وكانت BA فإن :
(P(B)  ≤  P(A

الفضاء الاحتمالي

إذا كانت P  دالة احتمال معرفة على P(W)  مجموعة حوادث فضاء العينة W , فإن الثلاثية  (, P ((W , P(A تسمى  فضاء احتماليا لهذه التجربة .
مثال 1)
إذا كان فضاء العينة لتجربة عشوائية هو :
   W = {a1 , a2, a3, a4} .
بين أي من الدوال الأتية تعرف فضاء احتماليا على (, P ((W , P(A ؟
 (1



   (2




الحل :

1)


  p{A}  ليست دالة احتمال . وبالتالي لا تعرف فضاء أحتماليا على (, P ((W , P(A

2)




∴ P(A)=1



p{A}= 1     
   p{B} تمثل  دالة احتمال . وبالتالي  تعرف فضاء أحتماليا على (, P  ( W , P(B) .

مثال 2) :
لتكن A  ,  B  حادثتين في فضاء العينة ( W )  , P دالة احتمال معرفة في الفضاء الاحتمالي

(, P  (( W , P(W ,




أحسب أحتمال :
1-    وقوع واحدة على الأقل من الحادثتين A  ,  B
2-    عدم وقوع الحادثة A
3-    عدم وقوع الحادثتين   A  ,  B معا
4-    وقوع الحادثة A  أو عدم وقوع الحادثة  .B
5-    وقوع الحادثة A  أو الحادثة  Bوليس كليهما .
الحل :
1-    وقوع حادثة واحدة على الأقل من الحادثتين A,B يعني الحادثة AB



2-    عدم وقوع الحادثة  A يعني وقوع المتممة

3-    عدم وقوع الحادثتين معا يعني وقوع الحادثة   ̅(AB) .


4-    وقوع الحادثة A  وعدم وقوع الحادثة  B يعني وقوع  الحادثة A-B


5-    وقوع الحادثة A  أو الحادثة B وليس كليهما يعني وقوع إحدى الحادثتين فقط  أي وقوع الحادثة (AB )- (AB).

قد يهمك أيضا :

دالة الاحتمالProbability function
4/ 5
Oleh