دالة الاحتمالProbability function

ونعرف دالة الاحتمال :

- لتكن W فضاء العينة لتجربة عشوائية , P(W) مجموعة أحداث هذا الفضاء ( منطلق الدالة ) , R مجموعة الأعداد الحقيقية( مستقر الدالة ) فإن الدالة P : P(W) → R تسمى دالة احتمال إذا توفرت فيها المسلمات التالية :

1- P(A)≥ 0 " A ∈ P(W)

2- P(W) = 1

3- If A , B ⊂ W , (A ∩ B = Ø) ⇒ P(A∪B)= P(A) + P(B)

أي إذا كان A , B ⊂ W , وكانت A , B حادثتين متنافيتين فإن :

P(A) + P(B) = ( P(A ∪ B

ويمكننا تعريفها بصيغة أخرى :

- إذا كان W فضاء العينة لاختبار ( تجربة عشوائية ) وكان W فضاء منتهي , فإذا كانت P(W) هي مجموعة كل الأحداث في فضاء العينة W, فكل دالة منطلقها مجموعة كل الأحداث P(W) ومستقرها المجال ] 0,1 [ تسمى دالة احتمال إذا كانت تحقق الشرطان الآتيان :

1- P(W) = 1

2- If A , B ⊂ W , (A ∩ B = Ø) ⇒ P(A∪B)= P(A) + P(B)

أي إذا كان (A ∩ B = Ø)فإن P(A) + P(B) = ( P(A ∪ B

نتائج هامة:

1- إذا كانت A₁ , A₂ ,…………..A_n أحداثا متنافية مثنى مثنى فإن :

P(A₁ ∪A₂ ∪…………..∪A_n)= P(A₁) + P (A₂) +…………..+ P (A_n)

2- إذا كانت الأحداث A₁ , A₂ ,…………..A_n تشكل تجزئة لفضاء العينة W فإن :

P(A₁ ∪A₂∪…………..∪A_n) = P(W)

ومنة :

P(A₁) + P (A₂) +…………..+ P (A_n) = 1

3- إذا كانت W= { a₁ , a₂,……………a_n) , فإن الأحداث الإبتدائية

{ a₁} , {a₂},……………{a_n} تشكل تجزئة لفضاء العينة W , للاختصار نرمز :
P({ a₁})= P( a_i) , وعندها يكون :

P(a₁) + P (a₂) +…………..+ P (a_n) = ∑P( a_i)

4- مدى دالة الاحتمال P( A) هو مجموعة جزئية من الفترة [ 0, 1] أي أن :

0 ≥ P (A)≤ 1 , " A ∈ W

ملاحظة :

- إذا كانت A , B حادثتين متنافيتين , فإن :

P (A-B) =P(A) ,P(B-A) = P(B)

- إذا كانت A , B حادثتين في فضاء العينة W لتجربة عشوائية وكانت B ⊂ A فإن :

P(A-B) =P(A) – P(B) .

خواص دالة الاحتمال

1- احتمال وقوع الحادثة المستحيلة = صفر , أي أن :

P(Ø) = 0

2- احتمال عدم وقوع حادثة ما = 1- ( احتمال وقوع هذه الحادثة ) أي أن :

P ( A̅ ) = 1- P(A)

3- لتكن A , B حادثتين غير متنافيتين في فضاء العينة ( W ) لتجربة عشوائية فإن :

P(A∪B)= P(A) + P(B)- P(A∩B) , P(A-B)= P(A) - P(A∩B).

4- لتكن A ,B حادثتين في فضاء العينة W لتجربة عشوائية وكانت B⊂A فإن :

(P(B) ≤ P(A

الفضاء الاحتمالي

إذا كانت P دالة احتمال معرفة على P(W) مجموعة حوادث فضاء العينة W , فإن الثلاثية (, P ((W , P(A تسمى فضاء احتماليا لهذه التجربة .

مثال 1)

إذا كان فضاء العينة لتجربة عشوائية هو :

W = {a₁ , a₂, a₃, a₄} .

بين أي من الدوال الأتية تعرف فضاء احتماليا على (, P ((W , P(A ؟

(1

(2

الحل :

1)

∴ p{A} ليست دالة احتمال . وبالتالي لا تعرف فضاء أحتماليا على (, P ((W , P(A

2)

∴ P(A)=1

p{A}= 1 ∵

∴ p{B} تمثل دالة احتمال . وبالتالي تعرف فضاء أحتماليا على (, P ( W , P(B) .

مثال 2) :
لتكن A , B حادثتين في فضاء العينة ( W ) , P دالة احتمال معرفة في الفضاء الاحتمالي
(, P (( W , P(W ,

أحسب أحتمال :

1- وقوع واحدة على الأقل من الحادثتين A , B

2- عدم وقوع الحادثة A

3- عدم وقوع الحادثتين A , B معا

4- وقوع الحادثة A أو عدم وقوع الحادثة .B

5- وقوع الحادثة A أو الحادثة Bوليس كليهما .

الحل :

1- وقوع حادثة واحدة على الأقل من الحادثتين A,B يعني الحادثة A∪B

2- عدم وقوع الحادثة A يعني وقوع المتممة A̅

3- عدم وقوع الحادثتين معا يعني وقوع الحادثة ̅(A∩B) .

4- وقوع الحادثة A وعدم وقوع الحادثة B يعني وقوع الحادثة A-B

5- وقوع الحادثة A أو الحادثة B وليس كليهما يعني وقوع إحدى الحادثتين فقط أي وقوع الحادثة (A∪B )- (A∩B).

Tags: الاحتمالات

دالة الاحتمالProbability function