دالة الاحتمالProbability function

    دالة الاحتمالProbability function

    ونعرف دالة الاحتمال :

    -         لتكن W فضاء العينة لتجربة عشوائية , P(W) مجموعة أحداث هذا الفضاء ( منطلق الدالة ) , R مجموعة الأعداد الحقيقية( مستقر الدالة ) فإن الدالة P : P(W R     تسمى دالة احتمال إذا توفرت فيها المسلمات التالية :

            1- P(A)   0  " A P(W)
            2-   P(W)  = 1
            3- If   A  ,  B     W  , (A B = Ø)     P(AB)= P(A) + P(B)   
    أي إذا كان  A  ,  B     W  ,  وكانت  A  ,  B حادثتين متنافيتين فإن :
    P(A) + P(B) = ( P(A B



    ويمكننا تعريفها بصيغة أخرى :
    -         إذا كان W فضاء العينة لاختبار ( تجربة عشوائية ) وكان  W  فضاء منتهي , فإذا كانت  P(W) هي مجموعة كل الأحداث  في فضاء العينة  W,  فكل دالة منطلقها مجموعة كل الأحداث  P(W)  ومستقرها المجال ] 0,1 [ تسمى دالة احتمال إذا كانت تحقق الشرطان الآتيان :
     1-   P(W)  = 1  
    2-  If   A  ,  B     W  , (A B = Ø)     P(AB)= P(A) + P(B)       
    أي إذا كان     (A B = Ø)فإن P(A) + P(B) = ( P(A B

    نتائج هامة:

    1-     إذا كانت  A1 , A2 ,…………..An  أحداثا متنافية مثنى مثنى فإن :
    P(A1 A2 …………..An)= P(A1) + P (A2) +…………..+ P (An)
    2-    إذا كانت الأحداث  A1 , A2 ,…………..An  تشكل تجزئة لفضاء العينة W فإن :
    P(A1 A2…………..An) = P(W)
    ومنة :
    P(A1) + P (A2) +…………..+ P (An) =  1
    3-    إذا كانت  W= { a1 , a2,……………an) , فإن الأحداث الإبتدائية
     { a1} , {a2},……………{an} تشكل تجزئة لفضاء العينة W , للاختصار نرمز :
    P({ a1})= P( ai)  ,  وعندها يكون  :
    P(a1) + P (a2) +…………..+ P (an) =  P( ai)

    4-    مدى دالة الاحتمال P( A) هو مجموعة جزئية من الفترة [ 0, 1] أي أن :
                    0  P (A) ,   "   A W
    ملاحظة :
    -         إذا كانت  A ,  B  حادثتين متنافيتين , فإن  :
    P (A-B) =P(A)  ,P(B-A) = P(B)
    -         إذا كانت  A ,  B  حادثتين في فضاء العينة W لتجربة عشوائية وكانت B A فإن :
    P(A-B) =P(A) – P(B) .

    خواص دالة الاحتمال


    1-    احتمال وقوع الحادثة المستحيلة = صفر , أي أن :
    P(Ø) = 0   
    2-    احتمال  عدم وقوع حادثة ما =  1-  ( احتمال وقوع هذه الحادثة ) أي أن :
    P ( A̅ ) =  1- P(A)
    3-    لتكن A  ,  B  حادثتين غير متنافيتين في فضاء العينة ( W )  لتجربة عشوائية فإن :
    P(AB)= P(A) + P(B)-   P(AB) , P(A-B)= P(A) -   P(AB). 
    4-    لتكن A ,B حادثتين في فضاء العينة W لتجربة عشوائية وكانت BA فإن :
    (P(B)  ≤  P(A

    الفضاء الاحتمالي

    إذا كانت P  دالة احتمال معرفة على P(W)  مجموعة حوادث فضاء العينة W , فإن الثلاثية  (, P ((W , P(A تسمى  فضاء احتماليا لهذه التجربة .
    مثال 1)
    إذا كان فضاء العينة لتجربة عشوائية هو :
       W = {a1 , a2, a3, a4} .
    بين أي من الدوال الأتية تعرف فضاء احتماليا على (, P ((W , P(A ؟
     (1



       (2




    الحل :

    1)


      p{A}  ليست دالة احتمال . وبالتالي لا تعرف فضاء أحتماليا على (, P ((W , P(A

    2)




    ∴ P(A)=1



    p{A}= 1     
       p{B} تمثل  دالة احتمال . وبالتالي  تعرف فضاء أحتماليا على (, P  ( W , P(B) .

    مثال 2) :
    لتكن A  ,  B  حادثتين في فضاء العينة ( W )  , P دالة احتمال معرفة في الفضاء الاحتمالي

    (, P  (( W , P(W ,




    أحسب أحتمال :
    1-    وقوع واحدة على الأقل من الحادثتين A  ,  B
    2-    عدم وقوع الحادثة A
    3-    عدم وقوع الحادثتين   A  ,  B معا
    4-    وقوع الحادثة A  أو عدم وقوع الحادثة  .B
    5-    وقوع الحادثة A  أو الحادثة  Bوليس كليهما .
    الحل :
    1-    وقوع حادثة واحدة على الأقل من الحادثتين A,B يعني الحادثة AB



    2-    عدم وقوع الحادثة  A يعني وقوع المتممة

    3-    عدم وقوع الحادثتين معا يعني وقوع الحادثة   ̅(AB) .


    4-    وقوع الحادثة A  وعدم وقوع الحادثة  B يعني وقوع  الحادثة A-B


    5-    وقوع الحادثة A  أو الحادثة B وليس كليهما يعني وقوع إحدى الحادثتين فقط  أي وقوع الحادثة (AB )- (AB).
    شارك المقال

    قد يهمك أيضا :