دالة الاحتمال Probability function
ونعرف دالة الاحتمال :
-
لتكن W فضاء العينة لتجربة عشوائية , P(W) مجموعة أحداث هذا الفضاء (
منطلق الدالة ) , R مجموعة الأعداد الحقيقية(
مستقر الدالة ) فإن الدالة P : P(W) → R تسمى دالة احتمال إذا توفرت فيها المسلمات
التالية :
1-
P(A)≥ 0 " A ∈ P(W)
2- P(W) = 1
3- If
A , B ⊂
W , (A ∩ B = Ø) ⇒ P(A∪B)= P(A) + P(B)
أي إذا كان A ,
B ⊂
W
, وكانت A , B حادثتين متنافيتين فإن :
P(A)
+ P(B)
= ( P(A ∪ B
ويمكننا تعريفها
بصيغة أخرى :
-
إذا كان W فضاء العينة لاختبار ( تجربة عشوائية ) وكان
W فضاء منتهي , فإذا كانت P(W) هي مجموعة
كل الأحداث في فضاء العينة W, فكل دالة منطلقها مجموعة كل الأحداث P(W) ومستقرها المجال ] 0,1 [ تسمى دالة احتمال إذا كانت تحقق الشرطان الآتيان :
1- P(W) = 1
2-
If A ,
B ⊂
W , (A ∩ B = Ø)
⇒ P(A∪B)= P(A) + P(B)
أي إذا كان (A ∩ B = Ø)فإن P(A) + P(B) = ( P(A ∪ B
نتائج هامة:
1- إذا كانت A1 , A2
,…………..An أحداثا متنافية مثنى مثنى فإن
:
P(A1 ∪A2 ∪…………..∪An)= P(A1) + P
(A2) +…………..+
P (An)
2- إذا كانت الأحداث A1
, A2 ,…………..An تشكل تجزئة لفضاء العينة W فإن :
P(A1 ∪A2∪…………..∪An) = P(W)
ومنة :
P(A1) + P (A2)
+…………..+
P (An) = 1
3- إذا كانت W= { a1
, a2,……………an) , فإن الأحداث الإبتدائية
{ a1} , {a2},……………{an} تشكل تجزئة
لفضاء العينة W , للاختصار
نرمز :
P({ a1})= P( ai) , وعندها يكون :
P({ a1})= P( ai) , وعندها يكون :
P(a1) + P (a2)
+…………..+
P (an) = ∑P( ai)
4- مدى دالة الاحتمال P( A) هو مجموعة جزئية من الفترة [ 0,
1]
أي أن :
0 ≥ P (A)≤ 1 , "
A ∈ W
ملاحظة :
-
إذا كانت A , B حادثتين متنافيتين , فإن :
P (A-B) =P(A) ,P(B-A) = P(B)
-
إذا كانت
A , B حادثتين في فضاء العينة W لتجربة عشوائية وكانت B ⊂ A فإن :
P(A-B) =P(A) – P(B) .
خواص دالة الاحتمال
1- احتمال وقوع الحادثة المستحيلة = صفر , أي أن :
P(Ø) = 0
2- احتمال عدم وقوع حادثة ما = 1- (
احتمال وقوع هذه الحادثة ) أي أن :
P ( A̅ ) = 1- P(A)
3- لتكن A , B حادثتين غير متنافيتين في فضاء العينة ( W ) لتجربة عشوائية فإن :
P(A∪B)= P(A) + P(B)- P(A∩B) , P(A-B)= P(A) - P(A∩B).
4- لتكن A ,B حادثتين في فضاء العينة W لتجربة عشوائية وكانت B⊂A فإن :
(P(B) ≤ P(A
الفضاء الاحتمالي
إذا كانت P دالة احتمال معرفة على P(W) مجموعة حوادث فضاء العينة W , فإن الثلاثية (, P ((W , P(A تسمى فضاء احتماليا لهذه التجربة .
مثال
1)
إذا كان فضاء العينة لتجربة عشوائية هو :
W = {a1 , a2, a3,
a4} .
بين أي من الدوال الأتية تعرف فضاء احتماليا على (,
P
((W ,
P(A
؟
(1
(2
الحل :
1)
∴ p{A} ليست دالة احتمال . وبالتالي لا تعرف فضاء
أحتماليا على (, P ((W ,
P(A
2)
∴
P(A)=1
|
||
p{A}= 1 ∵
∴ p{B} تمثل دالة
احتمال . وبالتالي تعرف فضاء أحتماليا على
(, P ( W , P(B) .
مثال
2) :
لتكن A , B حادثتين في فضاء العينة ( W ) , P دالة احتمال معرفة في الفضاء الاحتمالي
(, P (( W , P(W ,
لتكن A , B حادثتين في فضاء العينة ( W ) , P دالة احتمال معرفة في الفضاء الاحتمالي
(, P (( W , P(W ,
أحسب
أحتمال :
1-
وقوع واحدة
على الأقل من الحادثتين A , B
2-
عدم وقوع
الحادثة A
3-
عدم وقوع
الحادثتين A , B معا
4- وقوع الحادثة A أو عدم وقوع الحادثة .B
5- وقوع
الحادثة A أو الحادثة Bوليس كليهما .
الحل :
1- وقوع
حادثة واحدة على الأقل من الحادثتين A,B يعني الحادثة A∪B
2- عدم
وقوع الحادثة A يعني وقوع
المتممة A̅
3- عدم
وقوع الحادثتين معا يعني وقوع الحادثة ̅(A∩B) .
4- وقوع
الحادثة A وعدم وقوع الحادثة B يعني وقوع
الحادثة A-B
5- وقوع
الحادثة A أو الحادثة B وليس كليهما يعني وقوع إحدى الحادثتين
فقط أي وقوع الحادثة (A∪B )-
(A∩B).