المعكوس الضربي للمصفوفاتInverted Aldharba arrays

قبل أن نبدأ حساب المعكوس الضربي نود التعرف على مفهوم مهم في أيجاد المعكوس الضربي :

منقول المصفوفة

منقول مصفوفه a من الرتبه m × n هو المصفوفه A^tمن الرتبة m × n , بحيث صفوف الثانية هي أعمدة الأولى وأعمدة الثانية هي صفوف الأولى .

مثال :

أحسب منقول كلا من المصفوفات التالية :

الحل :

AA^-1 = A^-1 A = I

والجدير بالذكر أن أنه لايوجد معكوس ضربي للمصفوفة المربعة التي محددتها تساوي صفرا .

إذا كانت , a ,b,c,d أربعة أعداد حقيقية وكان :

بحيث أن ad - bc≠0 لا يساوي الصفر فإنا نوجد المعكوس الضربي للمصفوفة كالتالي :

1- نوجد محدد المصفوفة Δ=|A| بحيث أن Δ≠0

2- نبدل عناصر القطر الرئيسي ونعكس إشارات عناصر القطر الثانوي :

3- نضرب ناتج الخطوه السابقة في 1/Δ فتصبح :

مثال :

أوجد المعكوس الضربي للمصفوفه التالية :

الحل :

وللتأكد من صحة الإجابه نتحقق من أن AA^-1 = A^-1 A = I كمايلي :

ثانيا :المصفوفة من الرتبة الثالية :

- لتكن :

فلإيجاد x^-1 نتبع الخطوات التاليه :

1- نوجد قيمة المحدد Δ بحيث ان0 ≠Δ , فإذا كانت قيمة المحدد تساوي الصفر فلايوجد معكوس ضربي للمصفوفه .

2- نوجد مصفوفة المرافقات ويكون ذلك باستبدال كل عنصر في المصفوفة بالمرافق المناظر لهذا العنصر ويحدد مرافق العنصر كالتالي :

- نحدد إشارة المرافق بإشارة العنصر في نشر محدد المصفوفة كمايلي :

- نحسب مصفوفة المرافقات :

3- نوجد منقول المصفوفه أو مايسمى مدور المصفوفة وتسمى أيضا المصفوفة المساعدة :

4- نقسم المصفوفة المساعدة على قيمة المحدد للمصفوفة أي يكون :

مثال :

أوجد المعكوس الضربي للمصفوفه التاليه :

الحل :

1- معكوس المصفوفة وحيد

2- حاصل ضرب المصفوفة في معكوسها يعطي مصفوفة الوحده

3- معكوس معكوس المصفوفة يساوي المصفوفة الأصلية

4- معكوس حاصل ضرب مصفوفتين يساوي حاصل ضرب المعكوسين بترتيب عكسي أي أن :

(x.y)^-1= (x^-1. y^-1)

5- معكوس مدور أو منقول مصفوفة يساوي معكوس المصفوفة أي أن

(x')^-1= (x^-1)'