المعكوس الضربي للمصفوفاتInverted Aldharba arrays
قبل أن نبدأ حساب المعكوس الضربي نود التعرف
على مفهوم مهم في أيجاد المعكوس الضربي :
منقول المصفوفة
منقول مصفوفه a من الرتبه m × n
هو المصفوفه At من الرتبة m ×
n , بحيث صفوف
الثانية هي أعمدة الأولى وأعمدة الثانية هي صفوف الأولى .
مثال :
أحسب منقول كلا من المصفوفات التالية :
الحل :
مقلوب المصفوفة
مقلوب مصفوفة مربعة A هو المصفوفة المربعة A-1 إن وجدت – بحيث حاصل ضربهما هو مصفوفة الوحدة .
AA-1
= A-1 A = I
والجدير بالذكر أن أنه لايوجد
معكوس ضربي للمصفوفة المربعة التي محددتها تساوي صفرا .
كيف إيجاد المعكوس الضربي لمصفوفة ما :
أولا المصفوفة من الرتبة الثانية :
إذا كانت , a
,b,c,d أربعة أعداد حقيقية وكان :
بحيث أن ad - bc≠0 لا يساوي الصفر فإنا نوجد
المعكوس الضربي للمصفوفة كالتالي :
1-
نوجد
محدد المصفوفة Δ=|A| بحيث أن Δ≠0
2-
نبدل
عناصر القطر الرئيسي ونعكس إشارات عناصر القطر الثانوي :
أوجد المعكوس الضربي للمصفوفه التالية :
وللتأكد من صحة الإجابه نتحقق من أن AA-1 = A-1 A = I كمايلي :
ثانيا :المصفوفة من الرتبة الثالية :
-
لتكن :
فلإيجاد x-1 نتبع الخطوات التاليه :
1-
نوجد قيمة المحدد Δ
بحيث ان0 ≠Δ , فإذا
كانت قيمة المحدد تساوي الصفر فلايوجد معكوس ضربي للمصفوفه .
2-
نوجد مصفوفة المرافقات ويكون ذلك باستبدال كل عنصر في
المصفوفة بالمرافق المناظر لهذا العنصر ويحدد مرافق العنصر كالتالي :
- نحدد إشارة
المرافق بإشارة العنصر في نشر محدد المصفوفة كمايلي :
- نحسب مصفوفة المرافقات :
3- نوجد منقول المصفوفه أو مايسمى مدور المصفوفة وتسمى أيضا المصفوفة المساعدة :
4-
نقسم المصفوفة المساعدة على قيمة المحدد للمصفوفة أي
يكون :
مثال :
أوجد المعكوس الضربي للمصفوفه التاليه :
الحل :
خصائص معكوس المصفوفة :
1-
معكوس المصفوفة وحيد
2-
حاصل ضرب المصفوفة في معكوسها يعطي مصفوفة الوحده
3-
معكوس معكوس المصفوفة يساوي المصفوفة الأصلية
4-
معكوس حاصل ضرب مصفوفتين يساوي حاصل ضرب المعكوسين
بترتيب عكسي أي أن :
(x.y)-1=
(x-1. y-1)
5-
معكوس مدور أو منقول مصفوفة يساوي معكوس المصفوفة أي أن
(x')-1= (x-1)'