2/03/2015

المحددات Determinants

المحدداتDeterminants

يبدو أن أول استخدام للمصفوفات كان في الكتاب الصيني تسعة كتب في الحساب قبيل بداية التاريخ الميلادي , بينما أول المحددات استخدمت من طرف الياباني Seki kowa سنة 1683 م .
وتعد المحددات والمصفوفات موضوعا رئيسيا في أحد فروع الرياضيات المسمى بالجبر الخطي .
ومن تطبيقاتها حل المعادلات الخطية وحل المسائل باستخدام الحاسوب .

تعريف المحددات :

تعريف 1:
المحدد من الرتبة n×n هو عدد حقيقي نتحصل علية من قائمة أعداد حقيقية , تسمى عناصرة , ومرتبة على شكل صفوف وأعمدة بحيث عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة ويساوي n , وذلك باستخدام قواعد حسابية معينة .
يمكن الإشارة إلى أن قيمة المحددات 1×1 تساوي عناصرها ..........

مثال 1 :
حدد رتب المحددات التالية :



 



الحل :
-          المحدده الأولى من الرتبة
-          المحدده الأولى من الرتبة  2×2 ,
-          المحدده الثانية من الرتبة 3×3  ,
-          المحدده الثالثة من الرتبة 4×4  .

حساب المحددات


المحدد 2×2

تعريف
المحدد 2×2 هو حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي (النازل ) ناقص حاصل ضرب عناصر القطر غيرالرئيسي (الصاعد) , أي أن :






حساب المحدد 3×3

تعريف
هناك طريقتان لحساب المحددة من الرتبة الثالثة والتي على الصورة :



أولا : طريقة الصفوف والأعمدة (بيزوت)


وهذه الطريقة عبارة عن حاصل مجموع ضرب عناصر أحد الصفوف أو الأعمدة في مرافقاتها ,على أن تراعى الإشارة لكل عنصر من عناصر المحدد كما هو موضح أعلاه , وتكتب كالتالي :




مثال :
أوجد قيمتي المحددتين التاليتين :




الحل :
-          ملاحظة :
بما أن نشر أي محدد حسب أي صف أو أي عمود يعطي النتيجة نفسها لذلك يفضل  1حسب الصف أو العمود الذي يحتوي على أصغر الأعداد أو أسهلها ضربا (مثلا يحتوي أصفار ) , وذلك لسهولة حسابها وهنا سنبدأ بالصف الثاني ونلاحظ أننا سنبدأ بإشارة السالب ( لإننا حسب قاعدة الإشارة سنأخذ إشارة الصف الثاني

نبدأ الآن بإيجاد 1 :




= (9+1) +0+(-2-9)=10-11=  -1


ثانيا : نوجد 2




= (1-10)-3(2-15)+4(4-3)= -9 + 39+4=34

ثانيا :

طريقة فروق الأقطار (طريقة سيروس ) :

وهي طريقة سهلة ولكن لاتصلح إلا للمصفوفة من الرتبة الثالثة فقط , وتتخلص بالأتي :
الخطوه الأولى :
بإعادة كتابة العمودين : الأول والثاني على يسار المحدده كالتالي :

الخطوه الثانية :
نحسب جداءات العناصر الثلاثه المكونةللقطر الرئيسي والقطرين الموازيين له , ونحسب مجموعها حسب اتجاه الأسهم كماهو موضح بالشكل السابق :
a11 ×  b22 × c33 ) + ( b12 × c23 ×  a31 ) + ( c31× a21 ×  b32 )…………………..(1))
الخطوه الثالثة  :
نحسب جداءات العناصر الواقعة على القطر الثانوي (الفرعي ) والقطرين الموازيين له ونحسب مجموعهما حسب اتجاه الاسهم  كمايلي :
a11 ×  b22 × c33 ) + ( b12 × c23 ×  a31 ) + ( c31× a21 ×  b32 )…………………..(1))

c13 ×  b22 × a31 ) + ( a11 × c23 ×  b32 ) + ( b12× a21 ×  c33 )…………………..(2))
الخطوه الرابعة :
نوجد فرق المجموعتين في الخطوتين الثانية والثالثة أي :
= مجموع (1) – مجموع (2)

مثال :باستخدام طريقة سيروس أوجد 1 للمحدده التاليه :



الحل :



1=[(2×0×3)+ (3×-1×3)+(1×-1×-1)] – [(1×0×3)+(2×-1×-1)+(3×-1×3)]

=(0-9+1) –(0+2-9)=-8+7=-1