الاحتمال الشرطيConditional probability
من
المسائل المهمة في حساب الاحتمال دراسة العلاقات الاحتمالية مابين الأحداث , فإذا
كان A ,B
حدثين متعلقين بتجربة معينة فإن وقوع أحد هذين الحدثين قد يؤثر على احتمال وقوع
الحدث الآخر .
وكثيرا مايصادفنا في حياتنا اليومية حسابات وقوع حادثة
بشرط تحقق وقوع حادثة اخرى كحادثة دخول الطالب الجامعة إذا حصل على معدل %75 على الأقل ,
أو حصول عبدالله على سيارة إذا حصل على شهادة البكالوريوس من الجامعة .
ويسمى مثل هذا الاحتمال بالاحتمال الشرطي , فإذا افترضنا
أن A
هي حادثة حصول عبدالله على سيارة , B هي حصول عبدالله على شهادة البكالوريوس , فإن
احتمال حصول عبدالله عل سيارة في حالة حصولة على شهادة البكالوريوس من الجامعة
يكون :
P(A\B)
وهو رمز
الاحتمال الشرطي ويقرأ أحتمال وقوع (A) بشرط وقوع
(B).
تعريف
ممكن نكتب P(A∩B) باختصار P(AB)
وسنوضح ذلك في مايلي :
-
في اختبار رمي حجر نرد مرة واحدة , نعلم أن
W={1,2,3,4,5,6}
لتكن الاحداث :
A={1,3,5,6} ,
B = { 1 , 2, 3 , 4} , C= { 3,4,6} .
فيكون لدينا :
فإذا ألفي حجر النرد مرة واحدة , وعلمنا أن الحدث B قد وقع أي :
r ∈ B ={1,2,3,4}
فيكون
عدد الحالات الممكنة في هذه الحالة بعد وقوع الحدث B هو =4(n(B
وكي يكون الحدث A قد وقع يجب
أن يكون r∈A
وهذا يعني أنة كي يكون الحدث A قد وقع بعد
إجراء التجربة وقوع الحدث B , يجب أن يكون: r∈A∩B , لذلك يصبح عدد الحالات
المواتية لوقوع الحدث A هو :
n(A∩B)= n{1,3}=2
ويكون
أحتمال وقوع الحدث A بعد وقوع الحدث B هو :
ويقرأ
احتمال A
علما أن B
قد وقع .
·
نلاحظ أن احتمال الحدث A قد تغير بعد وقوع الحدث B .
·
لنكرر الحساب ذاتة من أجل الحدث C نجد أن :
ونلاحظ ان احتمال الحدث C لم يتغير
بعد وقوع الحدث B
.
وبما أن الفضاء متساوي الاحتمال فبقسمة حدي
الكسر :
على n(W) يكون :
نتائج
:
1)
نلاحظ أن
P(A\B)
أو PB(A) ( الرمزين لهما نفس المعنى ) تشكل
دالة احتمال حيث أنها تنطبق جميع خواص
دالة الأحتمال ومنها :
1) PB(A̅) = 1 - PB(A)
2) PB(A1∪A2) = PB(A1) + PB(A2)
- PB(A1∩A2)
2) إذا كان A, B حدثين من فضاء احتمالي ( W, P(W), P ) وكان P(B)≠0
فإن:
·
إذا كان A∩B=Ø فإن :
·
إذا كان B⊆A
فإن :
مثال :
إذا كان:
0.2 = 0.1 , P(B) = = 0.4 , P(AB) P(A∩B)
فأوجد :
1) P(A\ B) 2 ) P(B\A) 3)
P(B\A̅) 4) P(A̅ \ B̅ )
الحل :
1) P(A\ B)
نوجد قيمة P(A) كما يلي :
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(AB)∵
0.4 = P(A) + 0.2 – 0.1 ∴
P(A) = 0.3 …………………………(2)∴
وبالتعويض عن P(A)
من (2)
في (1)
نجد أن :
