الاحتمال الشرطيConditional probability

    الاحتمال الشرطيConditional probability

    من المسائل المهمة في حساب الاحتمال دراسة العلاقات الاحتمالية مابين الأحداث , فإذا كان A ,B حدثين متعلقين بتجربة معينة فإن وقوع أحد هذين الحدثين قد يؤثر على احتمال وقوع الحدث الآخر .
    وكثيرا مايصادفنا في حياتنا اليومية حسابات وقوع حادثة بشرط تحقق وقوع حادثة اخرى كحادثة دخول الطالب الجامعة إذا حصل على معدل %75 على الأقل , أو حصول عبدالله على سيارة إذا حصل على شهادة البكالوريوس من الجامعة .

    ويسمى مثل هذا الاحتمال بالاحتمال الشرطي , فإذا افترضنا أن A هي حادثة حصول عبدالله على سيارة , B هي حصول عبدالله على شهادة البكالوريوس , فإن احتمال حصول عبدالله عل سيارة في حالة حصولة على شهادة البكالوريوس من الجامعة يكون :
    P(A\B)
    وهو رمز الاحتمال الشرطي ويقرأ أحتمال وقوع (A) بشرط وقوع (B).
    تعريف



    ممكن نكتب P(AB)  باختصار P(AB)
    وسنوضح ذلك في مايلي :
    -         في اختبار رمي حجر نرد مرة واحدة , نعلم أن
    W={1,2,3,4,5,6}
    لتكن الاحداث  :
    A={1,3,5,6}     ,   B = { 1 , 2, 3 , 4}  ,  C= { 3,4,6} .
    فيكون لدينا :





    فإذا ألفي حجر النرد مرة واحدة , وعلمنا أن الحدث B قد وقع أي :
    r B ={1,2,3,4}
    فيكون عدد الحالات الممكنة في هذه الحالة بعد وقوع الحدث B هو =4(n(B
    وكي يكون الحدث A قد وقع يجب أن يكون rA
    وهذا يعني أنة كي يكون الحدث A قد وقع بعد إجراء التجربة وقوع الحدث B , يجب أن يكون: rAB , لذلك يصبح عدد الحالات المواتية لوقوع الحدث A هو :
    n(AB)= n{1,3}=2
    ويكون أحتمال وقوع الحدث A بعد وقوع الحدث  B هو :




    ويقرأ احتمال A علما أن B قد وقع .
    ·        نلاحظ أن احتمال الحدث A   قد تغير بعد وقوع الحدث B .
    ·        لنكرر الحساب ذاتة من أجل الحدث C نجد أن :



    ونلاحظ ان احتمال الحدث C لم يتغير بعد وقوع الحدث B .
    وبما أن الفضاء متساوي الاحتمال فبقسمة حدي الكسر :


    على  n(W)  يكون :

    نتائج :
    1)    نلاحظ أن  P(A\B) أو PB(A) ( الرمزين لهما نفس المعنى ) تشكل دالة احتمال حيث أنها تنطبق  جميع خواص دالة الأحتمال  ومنها :
    1)  PB(A̅) = 1 - PB(A)
    2) PB(A1A2) = PB(A1) + PB(A2) - PB(A1A2)
    2) إذا كان A, B  حدثين من فضاء احتمالي  ( W, P(W), P ) وكان P(B)0 فإن:
    ·        إذا كان AB=Ø فإن :





    ·        إذا كان BA فإن :



    مثال :

    إذا كان:
    0.2     = 0.1             ,         P(B) =  = 0.4              ,         P(AB) P(AB)
    فأوجد :
    1)  P(A\ B)              2 ) P(B\A)               3) P(B\A̅)            4) P(A̅  B̅ )

    الحل :

    1)  P(A\ B)
         




    نوجد قيمة P(A)  كما يلي :
     P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)
    0.4 = P(A) + 0.2 – 0.1
    P(A) = 0.3   …………………………(2)
    وبالتعويض عن P(A) من (2) في (1) نجد أن :


    شارك المقال

    قد يهمك أيضا :