السحب في الإحتمالات

السحب في الإحتمالات

السحب مع الإعادة

وهو السحب مرة أخرة بعد إعادة الشيء المسحوب في المرة السابقة بحيث لا تتأثر أي سحبة بالتي قبلها , عندئذ تصبح الحوادث مستقلة عن بعضها بعضا .
وفي هذه الحالة يمكن أن نستخدم ما قد درسناة في متتالية التكرارات المستقلة وقانون الاحتمال الثنائي .

مثال 1)
صندوق يحتوي على 6 كرات حمراوات , 4 كرات بيضاوات , وسحبت منه – عشوائيا – 3 كرات مع الإعادة .
احسب احتمال كل من الحوادث التالية :
- الثلاث كرات المسحوبة حمراوات .
- كره واحدة حمراء .
- كره واحدة على الأقل بيضاء .
الحل :
مجموع الكرات في الصندوق يساوي 10 كرات ,
نفرض ان Aهي حادثة سحب كرة حمراء :

وإذا اعتبرنا أن : p=P(A)=0.6 ⇒ q= 1-p=1- 0.6=0.4 وحيث ان السحب من الصندوق هو 3كرات سيكون : n=3
- نفرض ان : b هي حادثة الكرات الثلاث المسحوبة حمراوات أي أن (x=3)


- نفرض ان c هي حادثة سحب كرة واحدة حمراء أي أن ( x=1 )

- نفرض أن d هي حادثة سحب كرة واحدة على الأقل بيضاء ∴ حادثة سحب كرة واحدة على الأقل بيضاء = 1 – حادثة الجميع حمراوات
∴p(d) = 1 –p(a) = 1- 0.216= 0.784

مثال (2)
صندوق بة 10 كرات حمراوات , 5 كرات سوداوات , سحبت منه عشوائيا كرتان مع الإعادة ,
أحسب إحتمال كل من الحوادث التالية :
1 – الحصول على كرتين حمراوين
2 – الأولى حمراء والأخرى سوداء
3- واحدة حمراء وواحدة سوداء
4- الكرتان من لون واحد
5- واحدة على الأكثر سوداء .
6- واحدة على الأقل سوداء
الحل :
نفرض أن : R حادثة سحب كرة حمراء وتمثل نجاحا , بينما K حادثة سحب كرة سوداء .

أي أن احتمال كرة سوداء يكون ثلث .
1 – الحصول على كرتين حمراوين
نفرض أن A هي حادثة الحصول على كرتين حمراوين (x=2)

2 – الأولى حمراء والأخرى سوداء
نفرض أن b هي حادثة سحب الكرة الأولى حمراء والأخرى سوداء , وعلية يكون( b(R , K

3- واحدة حمراء وواحدة سوداء
نفرض ان : c حادثة سحب كرة واحدة حمراء وواحدة سوداء تكافئ سحب الكرتين من لونين مختلفين وعلية يكون :
(C =(R,K) or (K,R

4- الكرتان من لون واحد نفرض أن dهي حادثة سحب الكرتين من لون واحد تكافئ إما الكرتين حمراوين أو الكرتين سوداوين
(C =(R,R) or (K,K

5- واحدة على الأكثر سوداء . نفرض ان h هي حادثة سحب فيها على الأكثر كرة سوداء أي أن (x= 1 or 2)

6- واحدة على الأقل سوداء نفرض أن حادثة سحب كرة واحدة على الأقل سوداء تكافئ إما أن نحصل على كرة واحدة سوداء ((x=1) أو نحصل على كرتين سوداوين ( (x=0) وعلى ذلك يكون :

ثانيا السحب بدون الإعادة 

ويقصد بة السحب مرة أخرى بدون إعادة الشيء المسحوب وبذلك تصبح كل سحبة متأثرة بالتي قبلها , وعندئذ تصبح الحوادث غير مستقلة عن بعضها , ولذلك نستنتج قانون لايجادها وهو :
بفرض ان لدينا صندوقا يحتوي على (n) شيئا منها n₁ من النوع الأول ,= n - n₁ n₂ من النوع الثاني وإذا سحبنا عشوائيا وبدون إعادة r)) .
فماهو إحتمال الحصول على ((X شيئا من النوع الأول ؟
ولحساب هذا الأحتمال نوجد :
- عدد الحالات الممكنة

- عدد الحالات الملائمة هو

وعلية يكون احتمال الحصول على (x) شيئا من النوع n₁ هو :


مثال (2)
صندوق يحتوي على 25 كرة منها 17 حمراوات , 8 بيضاوات , سحبت من الصندوق – عشوائيا - 3 كرات معا بدون إعادة , فما أحتمال أن تكون كرتان منها حمراواين ؟
الحل :
نفرض ان : a هي حادثة كرتين حمراوين :

مثال(2) صندوق يحتوي على 3 كرات بيضاوات وكرتين حمراوين , سحبت منه عشوائيا – كرتان دون إعادة , أحسب إحتمال أن تكون :
- الأولى بضاء والأخرى حمراء -أحداهما بيضاء والأخرى حمراء
الحل :
- الأولى بضاء والأخرى حمراء
نفرض ان : a حادثة كرتين الأولى بيضاء والأخرى حمراء

- أحداهما بيضاء والأخرى حمراء نفرض ان : b هي حادثة كرتين أحداهما بيضاء والأخرى حمراء .

                                                 وصلى الله على نبينا محمد