العمليات على المصفوفات-جمع المصفوفات
أولا : جمع المصفوفات :
تعريف
لتكن A , B مصفوفتين كلا منهما من الشكل m×n ,
فإن مجموعهما هي المصفوفة c
وهي أيضا من الشكل m×n .
ويلاحظ من التعريف أنه لكي يمكن جمع مصفوفتين
يجب أن تكونا من الشكل نفسة , وبذلك كل عنصر في مصفوفة الجمع هو مجموع العنصرين
المناظرين في المصفوفتين .
مبرهنة
إذا كانت x مجموعة
المصفوفات من الشكل m×n
, فإن النظام (x , +)
زمرة أبدالية , حيث (+) هي عملية جمع المصفوفات .
البرهان :
-
(+) عملية إبدالية لأنه :
∀ A , B ∈ x ⇒ A+B = [Aer+ Ber]
=[ Ber+ Aer]=B+A
أي أن :
A+B= B+A
Aer (e
تعني ترتيب الصفوف في المصفوفة , r تعني ترتيب
الأعمدة في المصفوفة )
-
(+) عملية تجميعية لأنه :
∀ A , B, C ∈ x ⇒( A+B)+C = [(Aer+
Ber)+ Cer] =[ Aer+( Ber + Cer)]=
A+(B+C)
أي أن :
( A+B)+C =
A+(B+C)
-
يوجد
عنصر محايد في x هو المصفوفة الصفرية (0)
, ومن الشكل نفسة أي أن :
∀ A ∈
x ⇒ A+0 = 0+A =
A
-
∀ A ∈
x يوجد نظير -A ∈ x بحيث أن :
A+(-A ) =
(-A )+A = 0
( يسمى
-A النظير الجمعي للمصفوفة A)
وبالتالي فإن
النظام (x , +)
زمرة تبديلية .
مثال :
لتكن :
أوجد :
A+B , B+A
الحل :
ومنه نلاحظ أن :
A+B = B+A
مثال أخر:
أوجد
المصفوفة x
التي تحقق :
الحل :
X يجب أن تكون من الشكل 2×3 , أي أن :
∵
المصفوفتان متساويتان
-1+x11=4 ⇔x11=5
5+x12=1 ⇔ x12= -4
2+x13=3 ⇔ x13= -5
4+x21=3 ⇔ x21= -1
7+x22=2
⇔ x22= -5
-6+x23=1 ⇔ x23= 7
وبالتالي فإن :
