العمليات على المصفوفات-جمع المصفوفات

    العمليات على المصفوفات-جمع المصفوفات

    أولا : جمع المصفوفات :

    تعريف
    لتكن A , B   مصفوفتين كلا منهما من الشكل m×n  , فإن مجموعهما هي المصفوفة c  وهي أيضا من الشكل m×n .
    ويلاحظ من التعريف أنه لكي يمكن جمع مصفوفتين يجب أن تكونا من الشكل نفسة , وبذلك كل عنصر في مصفوفة الجمع هو مجموع العنصرين المناظرين في المصفوفتين  .

    مبرهنة

    إذا كانت x مجموعة المصفوفات من الشكل m×n , فإن النظام (x , +) زمرة أبدالية , حيث (+) هي عملية جمع المصفوفات .
    البرهان :
    -          (+) عملية إبدالية لأنه :
    A , B x   A+B = [Aer+ Ber] =[ Ber+ Aer]=B+A
    أي أن :
    A+B= B+A

    Aer (e تعني ترتيب الصفوف في المصفوفة , r تعني ترتيب الأعمدة في المصفوفة )
    -          (+) عملية تجميعية لأنه :
    A , B, C x   ( A+B)+C = [(Aer+ Ber)+ Cer] =[ Aer+( Ber + Cer)]= A+(B+C)
    أي أن :
    ( A+B)+C = A+(B+C)
    -          يوجد عنصر محايد في x هو المصفوفة الصفرية (0) , ومن الشكل نفسة أي أن :

    A   x   A+0 = 0+A =  
    -          A   x يوجد نظير -A   x بحيث أن :
    A+(-A ) = (-A )+A = 0
    ( يسمى  -A النظير الجمعي للمصفوفة A)
    وبالتالي فإن النظام (x , +) زمرة تبديلية  .
    مثال :
    لتكن :


    أوجد :   
    A+B    ,  B+A

    الحل :

    ومنه نلاحظ أن :


    A+B  = B+A

    مثال أخر:
    أوجد المصفوفة x التي تحقق :





    الحل :
     X  يجب أن تكون من الشكل 2×3  , أي أن : 


      المصفوفتان متساويتان
    -1+x11=4 x11=5
    5+x12=1 x12= -4
    2+x13=3 x13= -5
    4+x21=3 x21= -1
    7+x22=2 x22= -5
    -6+x23=1 x23= 7
    وبالتالي فإن :
    شارك المقال

    قد يهمك أيضا :