2/06/2015

العمليات على المصفوفات-جمع المصفوفات

العمليات على المصفوفات-جمع المصفوفات

أولا : جمع المصفوفات :

تعريف
لتكن A , B   مصفوفتين كلا منهما من الشكل m×n  , فإن مجموعهما هي المصفوفة c  وهي أيضا من الشكل m×n .
ويلاحظ من التعريف أنه لكي يمكن جمع مصفوفتين يجب أن تكونا من الشكل نفسة , وبذلك كل عنصر في مصفوفة الجمع هو مجموع العنصرين المناظرين في المصفوفتين  .

مبرهنة

إذا كانت x مجموعة المصفوفات من الشكل m×n , فإن النظام (x , +) زمرة أبدالية , حيث (+) هي عملية جمع المصفوفات .
البرهان :
-          (+) عملية إبدالية لأنه :
A , B x   A+B = [Aer+ Ber] =[ Ber+ Aer]=B+A
أي أن :
A+B= B+A

Aer (e تعني ترتيب الصفوف في المصفوفة , r تعني ترتيب الأعمدة في المصفوفة )
-          (+) عملية تجميعية لأنه :
A , B, C x   ( A+B)+C = [(Aer+ Ber)+ Cer] =[ Aer+( Ber + Cer)]= A+(B+C)
أي أن :
( A+B)+C = A+(B+C)
-          يوجد عنصر محايد في x هو المصفوفة الصفرية (0) , ومن الشكل نفسة أي أن :

A   x   A+0 = 0+A =  
-          A   x يوجد نظير -A   x بحيث أن :
A+(-A ) = (-A )+A = 0
( يسمى  -A النظير الجمعي للمصفوفة A)
وبالتالي فإن النظام (x , +) زمرة تبديلية  .
مثال :
لتكن :


أوجد :   
A+B    ,  B+A

الحل :

ومنه نلاحظ أن :


A+B  = B+A

مثال أخر:
أوجد المصفوفة x التي تحقق :





الحل :
 X  يجب أن تكون من الشكل 2×3  , أي أن : 


  المصفوفتان متساويتان
-1+x11=4 x11=5
5+x12=1 x12= -4
2+x13=3 x13= -5
4+x21=3 x21= -1
7+x22=2 x22= -5
-6+x23=1 x23= 7
وبالتالي فإن :