العمليات على المصفوفات-جمع المصفوفات
أولا : جمع المصفوفات :
تعريف
لتكن A , B مصفوفتين كلا منهما من الشكل m×n ,
فإن مجموعهما هي المصفوفة c
وهي أيضا من الشكل m×n .
ويلاحظ من التعريف أنه لكي يمكن جمع مصفوفتين
يجب أن تكونا من الشكل نفسة , وبذلك كل عنصر في مصفوفة الجمع هو مجموع العنصرين
المناظرين في المصفوفتين .
مبرهنة
إذا كانت x مجموعة
المصفوفات من الشكل m×n
, فإن النظام (x , +)
زمرة أبدالية , حيث (+) هي عملية جمع المصفوفات .
البرهان :
-
(+) عملية إبدالية لأنه :
∀ A , B ∈ x ⇒ A+B = [Aer+ Ber]
=[ Ber+ Aer]=B+A
أي أن :
A+B= B+A
Aer (e
تعني ترتيب الصفوف في المصفوفة , r تعني ترتيب
الأعمدة في المصفوفة )
-
(+) عملية تجميعية لأنه :
∀ A , B, C ∈ x ⇒( A+B)+C = [(Aer+
Ber)+ Cer] =[ Aer+( Ber + Cer)]=
A+(B+C)
أي أن :
( A+B)+C =
A+(B+C)
-
يوجد
عنصر محايد في x هو المصفوفة الصفرية (0)
, ومن الشكل نفسة أي أن :
∀ A ∈
x ⇒ A+0 = 0+A =
A
-
∀ A ∈
x يوجد نظير -A ∈ x بحيث أن :
A+(-A ) =
(-A )+A = 0
( يسمى
-A النظير الجمعي للمصفوفة A)
وبالتالي فإن
النظام (x , +)
زمرة تبديلية .
مثال :
لتكن :
أوجد :
A+B , B+A
الحل :
ومنه نلاحظ أن :