2/02/2015

معادلات تفاضليه تؤول إلى تامه أوعامل التكاملI(x,y)

معادلات تفاضليه تؤول إلى تامه أوعامل التكاملI(x,y)

إذا كانت المعادلة التفاضلية :

P(x,y) dx +Q(x,y)dy=0                    
غير تامة , فإنة يمكن جعلها تامة بضربها في داله مناسبة I(x,y), وتكون هذه الداله عادة في المتغيرين y , x على الأكثر .
أي أن المعادله :
I P dx + I Qdy=0                    
تصبح تامة , حيث أن I ,P, Q دوال في (x,y) .
وبالتالي يتحقق الشرط  :    



الحالات الخاصة لعامل التكامل I (x,y)

الحاله الأولى :
إذا كانت الداله
I (x,y) داله في x فقط , فإن المعادلة (1) تختزل للصورة التالية :


وبتكامل المعادله الأخيرة نجد أن :


وهذا يتضمن كتابة العامل التكاملي بالشكل :                                                
 

الحاله الثانية :

إذا كانت الداله
I (x,y) داله في y فقط , فإن المعادلة (1) تختزل للصورة التالية :

وهذا يتضمن كتابة العامل التكاملي بالشكل :

أمثلة :

مثال (1)
أوجد الحل العام للمعادلة التالية :
y(2x+y)dx + (3x2 + 4xy-y)dy=0
الحل :
P= y(2x+y)  , Q=3x2 + 4xy-y















وبضرب طرفي المعادلة في y2 تصبح بالشكل :
y3(2x+y)dx +y2 (3x2 + 4xy-y)dy=0

p= 2xy3 + y4   ,   Q =  3x2 y2 + 4xy3 –y3

مثال(2)
أوجد حل المعادلة التفاضلية التالية :
(xy+y-1) dx +xdy = 0
الحل:



(u(x,y)= xyex + f(x

ولكن :
المشتقة للمعادلة الأخيرة f(x,y)= xyex + f(x)  بالنسبة للمتغير x تصبح :

ux =  yex + xyex + f'(x) =  xyex + yex - ex
ومنه نجد أن :
f'(x) =  -ex  وهذا يتضمن أن f(x) =-ex
ومنه يكون الحل العام :
U(x,y) = xyex – ex=c