معادلات تفاضليه تؤول إلى تامه أوعامل التكاملI(x,y)
إذا كانت المعادلة التفاضلية :
P(x,y)
dx +Q(x,y)dy=0
غير تامة , فإنة يمكن جعلها تامة بضربها في
داله مناسبة I(x,y),
وتكون هذه الداله عادة في المتغيرين y , x على الأكثر
.
أي أن المعادله :
I P dx
+ I Qdy=0
تصبح تامة , حيث أن I ,P, Q
دوال في (x,y)
.
وبالتالي يتحقق الشرط :
الحالات الخاصة لعامل التكامل I (x,y)
الحاله الأولى :
إذا كانت الداله I (x,y) داله في x فقط , فإن المعادلة (1) تختزل للصورة التالية :
إذا كانت الداله I (x,y) داله في x فقط , فإن المعادلة (1) تختزل للصورة التالية :
وبتكامل المعادله
الأخيرة نجد أن :
وهذا يتضمن كتابة العامل التكاملي بالشكل :
الحاله الثانية :
إذا كانت الداله I (x,y) داله في y فقط , فإن المعادلة (1) تختزل للصورة التالية :
أمثلة :
مثال (1)
أوجد الحل العام للمعادلة التالية :
y(2x+y)dx + (3x2 + 4xy-y)dy=0
الحل :
P= y(2x+y) , Q=3x2 + 4xy-y
وبضرب طرفي المعادلة في y2
تصبح بالشكل :
y3(2x+y)dx +y2
(3x2 + 4xy-y)dy=0
p= 2xy3 + y4 , Q
= 3x2 y2 + 4xy3
–y3
مثال(2)
أوجد حل المعادلة التفاضلية التالية :
(xy+y-1)
dx +xdy = 0
الحل:
(u(x,y)=
xyex + f(x
ولكن :
المشتقة للمعادلة الأخيرة f(x,y)=
xyex + f(x) بالنسبة للمتغير x تصبح :
ux
= yex + xyex +
f'(x) = xyex + yex
- ex
ومنه نجد أن :
f'(x)
= -ex وهذا يتضمن أن f(x) =-ex
ومنه يكون الحل العام :
U(x,y)
= xyex – ex=c