معادلات تفاضليه تؤول إلى تامه أوعامل التكاملI(x,y)

    معادلات تفاضليه تؤول إلى تامه أوعامل التكاملI(x,y)

    إذا كانت المعادلة التفاضلية :

    P(x,y) dx +Q(x,y)dy=0                    
    غير تامة , فإنة يمكن جعلها تامة بضربها في داله مناسبة I(x,y), وتكون هذه الداله عادة في المتغيرين y , x على الأكثر .
    أي أن المعادله :
    I P dx + I Qdy=0                    
    تصبح تامة , حيث أن I ,P, Q دوال في (x,y) .
    وبالتالي يتحقق الشرط  :    



    الحالات الخاصة لعامل التكامل I (x,y)

    الحاله الأولى :
    إذا كانت الداله
    I (x,y) داله في x فقط , فإن المعادلة (1) تختزل للصورة التالية :


    وبتكامل المعادله الأخيرة نجد أن :


    وهذا يتضمن كتابة العامل التكاملي بالشكل :                                                
     

    الحاله الثانية :

    إذا كانت الداله
    I (x,y) داله في y فقط , فإن المعادلة (1) تختزل للصورة التالية :

    وهذا يتضمن كتابة العامل التكاملي بالشكل :

    أمثلة :

    مثال (1)
    أوجد الحل العام للمعادلة التالية :
    y(2x+y)dx + (3x2 + 4xy-y)dy=0
    الحل :
    P= y(2x+y)  , Q=3x2 + 4xy-y















    وبضرب طرفي المعادلة في y2 تصبح بالشكل :
    y3(2x+y)dx +y2 (3x2 + 4xy-y)dy=0

    p= 2xy3 + y4   ,   Q =  3x2 y2 + 4xy3 –y3

    مثال(2)
    أوجد حل المعادلة التفاضلية التالية :
    (xy+y-1) dx +xdy = 0
    الحل:



    (u(x,y)= xyex + f(x

    ولكن :
    المشتقة للمعادلة الأخيرة f(x,y)= xyex + f(x)  بالنسبة للمتغير x تصبح :

    ux =  yex + xyex + f'(x) =  xyex + yex - ex
    ومنه نجد أن :
    f'(x) =  -ex  وهذا يتضمن أن f(x) =-ex
    ومنه يكون الحل العام :
    U(x,y) = xyex – ex=c


    شارك المقال

    قد يهمك أيضا :