1/10/2015

قانون ضرب الاحتمالات Probability Multiplying Law

 قانون ضرب الاحتمالات Probability Multiplying Law

ويعكس هذا القانون احتمال وقوع الاحداث معا , أي احتمال التقاطعات , فإذا كان A , B حادثان يمكن وقوعهما معا , فإن الاحتمال P(AB) يمكن حسابة كحاصل ضرب احتمالين , ويساوي حاصل ضرب أحتمال وقوع الحادثة  Aفي احتمال وقوع الحادثة B بشرط وقوع A أ ويساوي حاصل ضرب احتمال وقوع الحادثة B في احتمال وقوع الحادثة A .

تعريف :

P(AB) = P(B)P(A\B)        or       P(AB) = P(A)P(B\A)

      مثال1) :

سحبت عشوائيا بطاقتان من بين أوراق اللعب العادي ( عددها 52 بطاقة ) , ما احتمال الحصول على الباشا ( الشائب ) وعشرة ؟

الحل:

نفرض A هي حادثة الحصول على الباشا وعشرة .
P(A)  عبارة عن  :
حادثة السحبة الأولى والأخرى عشرة        أو   حادثة السحبة الأولى عشرة والأخرى الباشا
وإذا اعتبرنا :



∴P(A) = P(A1A2) + P(C1C2)
∴P(A) = P(A1)P(A2\A1) + P(C1) P(C2\C1)




مثال 2) :

صندوق يحتوي على 3 كرات حمراوات , 7 كرات بيضاوات , سحبت عشوائيا كرة من الصندوق واضيفت إلية كرة من اللون المخالف للكرة المسحوبة , وخلطت مع بقية الكرات الموجودة في الصندوق , ثم سحبت منة عشوائيا كرة .
أولا : أوجد احتمال الحوادث التالية :
1-    ان تكون الكرة المسحوبة الثانية حمراء
2-    أن تكون الكرتان المسحوبتان بيضاوان
3-    ان تكون الكرتان المسحوبتان من لون واحد
ثانيا : إذا كانت الكرتان المسحوبتان من لون واحد , فما احتمال ان تكون الكرتان من اللون الأبيض ؟

الحل :

ولكي نميز بين ألوان الكرات نرمز لسحب كرة حمراء من الصندوق بالرمز (a) ولسحب كرة بيضاء بالرمز (b) مع مراعاة ان الكرة المضافة إلى الصندوق هي من اللون المخالف للكرة المسحوبة منة أولا .
نرسم الشجرة البيانية ليكون الحل أسهل :



نفترض أن
 a : حادثة الكرة الثانية حمراء
b : حادثة الكرتان المسحوبتان بيضاوان
c : حادثة الكرتان المسحوبتان من لون واحد .
d : هي الحادثة (b\c)
1-    احتمال ان تكون الكرة الثانية من اللون الابيض





2-    أن تكون الكرتان المسحوبتان بيضاوان




3-    احتمال ان تكون الكرتان من لون واحد وهو :




ثانيا: احتمال وقوع b بشرط وقوع c وهو :



وحيث إن : P(bc)=P(b) لأن ( c كرتان حمراوان , كرتان بيضاوان )
                (b  = كرتان بيضاوان )