التفاضل Calculus–الدوال Function

التفاضل Calculus–الدوال Function

يحتوي التفاضل على مايلي :
الدوال Function وندرس فيها :- تعريف الدالة - شروطها - مجال ومدى الدالة - اختبار مدى اتصال الدالة النهايات والاتصال - دالة الدالة - الاشتقاق
1- حدود الدالة واتصالها Functions Limits and Continuity
2- الاشتقاق Derivatives
3- المحددات Integration
4- المتتابعات والمتواليات
5- اختبار التقارب والتباعد

تعريف

لتكن A , B فئتين فإن العلاقة f : A⊂B تسمى داله من A إلى B إذا تحقق الشرطين :
2)  (a ,b₁)∈f  ∧  (a,b₁) ∈f   ⇒b₁ = b₂                                                                                                       
الدوال
· الدالة هى علاقة بين مجموعتين
ونعبر عنها بالشكل f : A→B حيث أن y=f(x) تعبر عن القاعدة التي تعطينا صورة أي عنصر x في A .
ويمكن أن نعرف f بأنها داله مجالها هو مجموعة كل العناصر x∈ R التي من أجلها y∈ R وتسمى مجموعة صور المجال Aمدى الداله (B) .
· وبالتالي فإن الداله f علاقه تحقق الشروط التالية :
- وجود عنصر مقابل ووحيد من عناصر المجموعة الثانية لكل عنصر من عناصر المجموعة الاولى.
أو نستطيع أن نقول ان يرتبط كل عنصر من عناصر الفئة X عنصرا واحدا من عناصر الفئة Y .
- إذا كانت f علاقة من المجموعة A إلى المجموعة Bفإن مجال الداله f هو x .
- مدى الداله f هو مجموعة الصور {y∈Y :(x,y)∈ R} .
- يسمى x المتغير المستقل و y المتغير التابع .
· ملحوظة :اذا فقط واذا كانت دالة الفئة الثانية لعنصرين من عناصر الفئة الاولى متساوية فان العنصر الاول يساوى العنصر الثانى
If y₁ = f ( x₁ ) ; y₂ = f ( x ₂) ; y₁ = y₂

So x₁=x₂

مجموعة تعريف (مجال) الدالة والمدى

· مجال الدالة :
هو مجموعة عناصر الفئة الاولى ويسمى Domain ويرمز له رياضيا Dom.f
· المجال المساعد ( المصاحب )(المجال المقابل) Codomain :
ويسمى ايضا مجال الدالة المقابل وهو مجموعة عناصر الفئة الثانية .
· مدى الدالة
هو مجموعة العناصر فى المجال المقابل ( عناصر الفئة الثانية ) والتى يكون لكل منها اصل فى مجموعة المجال ( عناصر الفئة الاولى ) ويسمى Range وهو دائما مجموعة جزئية من المجال المساعد.

مثال

ابحث هل المجموعات التالية دوال ام لا؟ثم اوجد المجال والمجال المساعد والمدى للدوال منها.
1- X={1,b,c) ,Y={2,n,o,3) where f(1)={2,n} & f(b)=o & f( c ) =3
2- X={a,2,4,d) ,Y={m , n , o , p) where f(a)=m & f(2)=o & f( 4 ) =p
3- X={a,b,c,d) ,Y={m,n,o,p) where f(a)=m & f(b)=o & f( c ) =p & f(d) =n
4- X={a,3,c,5) ,Y={m,6,o,7) where f(a)=m & f(3)=6 & f( c ) =m & f(5) = 7

الحل :-

1- المجموعتين ليس بينهما علاقة فليست دالة حيث ان عنصر واحد من الفئة المجموعة الاولى له اكثر من عنصر مقابل فى الفئة الثانية ( لا يتوفر شرط لكل عنصر فى المجموعة الاولى عنصر وحيد فى المجموعة الثانية ).
2- المجموعتين ليس بينهما علاقة فليست دالة حيث انه يوجد عنصر من عناصر الفئة الاولى ليس له عنصر مقابل فى الفئة الثانية ( لا يتوفر شرط لكل عنصر فى المجموعة الاولى عنصر مقابل فى المجموعة الثانية ).
3-المجموعتين بينهما علاقة فهى دالة حيث ان شروط الدالة متوفرة وهى ان لكل عنصر من عناصر الفئة الاولى له عنصر( 1- مقابل2- وحيد ) من عناصر الفئة الثانية.
{Domain ={a,3,c,5
{Co-domain ={m,6,o,7
{Range = {m;n;o.p
4-المجموعتين بينهما علاقة فهى دالة حيث ان شروط الدالة متوفرة وهى ان لكل عنصر من عناصر الفئة الاولى له عنصر( 1- مقابل2- وحيد ) من عناصر الفئة الثانية ، حتى ولو كان هذا العنصر ممثلا من قبل لعنصر اخر من عناصر الفئة الاولى وكذلك حتى ولو كانت بعض عناصر الفئة الثانية ليست ممثلة فى مدى الدالة.
{Domain = {a;b;c;d
{Co-domain = { m;n;o;p
{Range = {m;7

مثال :

لتكن :

A= { 1,2,3}   , B={a,b,c,d} 

على النحو التالي :  معطاه B إلى  A علاقة من المجموعة f

f={(1,d) , (2,a), (3,a)}

فهل f داله ؟

الحل :

نجد أن  f تمثل داله من المجموعة A إلى المجموعة B حيث أن كل عنصر من A أرتبط بعنصر وحيد من B

حيث نلاحظ أن عناصر المسقط الأول A لم تتكرر بل هي عناصر مختلفة فالواحد أرتبط بعنصر   dوكذلك بقية العناصر ويمكن أن نكتب ذلك كالتالي :

f(1)=d  , f(2)=a , f(3)=a

ومن ذلك فإن :

المجال هو A= { 1,2,3}  , أما المدى فهو { d , a} . ويوضح ذلك المخطط السهمي 

أنواع الدوال

- الدالة الثابتة : Constant Function

- الدالة الخطية : Linear Function

- الدالة التربيعية : Quadratic Function

- الدالة كثيرات الحدود : Polynanid Function

- الدالة الجذرية

- الدالة الكسرية

-الداله اللوغاريتمية
- الداله الأسية

- دوال القيمة المطلقة