التفاضل Calculus–الدوال Function

    التفاضل Calculus–الدوال Function

    يحتوي التفاضل على مايلي :
    الدوال Function وندرس فيها :- تعريف الدالة - شروطها - مجال ومدى الدالة - اختبار مدى اتصال الدالة النهايات والاتصال - دالة الدالة - الاشتقاق
    1- حدود الدالة واتصالها Functions Limits and Continuity
    2- الاشتقاق Derivatives
    3- المحددات Integration
    4- المتتابعات والمتواليات
    5- اختبار التقارب والتباعد

    تعريف

    لتكن A , B فئتين فإن العلاقة f : A⊂B تسمى داله من A إلى B إذا تحقق الشرطين :

    1)  a∈A , ∃b∈B    : (a,b) ∈f
    2)  (a ,b1)∈f  ∧  (a,b1) ∈f   b1 = b2                                                                                                       
    الدوال
    · الدالة هى علاقة بين مجموعتين
    ونعبر عنها بالشكل f : A→B حيث أن y=f(x) تعبر عن القاعدة التي تعطينا صورة أي عنصر x في A .
    ويمكن أن نعرف f بأنها داله مجالها هو مجموعة كل العناصر x∈ R التي من أجلها y∈ R وتسمى مجموعة صور المجال Aمدى الداله (B) .
    · وبالتالي فإن الداله f علاقه تحقق الشروط التالية :
    - وجود عنصر مقابل ووحيد من عناصر المجموعة الثانية لكل عنصر من عناصر المجموعة الاولى.

    أو نستطيع أن نقول ان يرتبط كل عنصر من عناصر الفئة X عنصرا واحدا من عناصر الفئة Y .
    - إذا كانت f علاقة من المجموعة A إلى المجموعة Bفإن مجال الداله f هو x .
    - مدى الداله f هو مجموعة الصور {y∈Y :(x,y)∈ R} .
    - يسمى x المتغير المستقل و y المتغير التابع .
    · ملحوظة :اذا فقط واذا كانت دالة الفئة الثانية لعنصرين من عناصر الفئة الاولى متساوية فان العنصر الاول يساوى العنصر الثانى
    If y1 = f ( x1 ) ; y2 = f ( x 2) ; y1 = y2
    So x1=x2

    مجموعة تعريف (مجال) الدالة والمدى

    · مجال الدالة :
    هو مجموعة عناصر الفئة الاولى ويسمى Domain ويرمز له رياضيا Dom.f
    · المجال المساعد ( المصاحب )(المجال المقابل) Codomain :
    ويسمى ايضا مجال الدالة المقابل وهو مجموعة عناصر الفئة الثانية .
    · مدى الدالة
    هو مجموعة العناصر فى المجال المقابل ( عناصر الفئة الثانية ) والتى يكون لكل منها اصل فى مجموعة المجال ( عناصر الفئة الاولى ) ويسمى Range وهو دائما مجموعة جزئية من المجال المساعد.

    مثال

    ابحث هل المجموعات التالية دوال ام لا؟ثم اوجد المجال والمجال المساعد والمدى للدوال منها.
    1- X={1,b,c) ,Y={2,n,o,3) where f(1)={2,n} & f(b)=o & f( c ) =3
    2- X={a,2,4,d) ,Y={m , n , o , p) where f(a)=m & f(2)=o & f( 4 ) =p
    3- X={a,b,c,d) ,Y={m,n,o,p) where f(a)=m & f(b)=o & f( c ) =p & f(d) =n
    4- X={a,3,c,5) ,Y={m,6,o,7) where f(a)=m & f(3)=6 & f( c ) =m & f(5) = 7

    الحل :-

    1- المجموعتين ليس بينهما علاقة فليست دالة حيث ان عنصر واحد من الفئة المجموعة الاولى له اكثر من عنصر مقابل فى الفئة الثانية ( لا يتوفر شرط لكل عنصر فى المجموعة الاولى عنصر وحيد فى المجموعة الثانية ).
    2- المجموعتين ليس بينهما علاقة فليست دالة حيث انه يوجد عنصر من عناصر الفئة الاولى ليس له عنصر مقابل فى الفئة الثانية ( لا يتوفر شرط لكل عنصر فى المجموعة الاولى عنصر مقابل فى المجموعة الثانية ).
    3-المجموعتين بينهما علاقة فهى دالة حيث ان شروط الدالة متوفرة وهى ان لكل عنصر من عناصر الفئة الاولى له عنصر( 1- مقابل2- وحيد ) من عناصر الفئة الثانية.
    {Domain ={a,3,c,5
    {Co-domain ={m,6,o,7
    {Range = {m;n;o.p
    4-المجموعتين بينهما علاقة فهى دالة حيث ان شروط الدالة متوفرة وهى ان لكل عنصر من عناصر الفئة الاولى له عنصر( 1- مقابل2- وحيد ) من عناصر الفئة الثانية ، حتى ولو كان هذا العنصر ممثلا من قبل لعنصر اخر من عناصر الفئة الاولى وكذلك حتى ولو كانت بعض عناصر الفئة الثانية ليست ممثلة فى مدى الدالة.
    {Domain = {a;b;c;d
    {Co-domain = { m;n;o;p
    {Range = {m;7

    مثال :

    لتكن :
    A= { 1,2,3}   , B={a,b,c,d} 
    على النحو التالي :  معطاه B إلى  A علاقة من المجموعة f
    f={(1,d) , (2,a), (3,a)}
    فهل f داله ؟
    الحل :
    نجد أن  f تمثل داله من المجموعة A إلى المجموعة B حيث أن كل عنصر من A أرتبط بعنصر وحيد من B
    حيث نلاحظ أن عناصر المسقط الأول A لم تتكرر بل هي عناصر مختلفة فالواحد أرتبط بعنصر   dوكذلك بقية العناصر ويمكن أن نكتب ذلك كالتالي :
    f(1)=d  , f(2)=a , f(3)=a
    ومن ذلك فإن :
    المجال هو A= { 1,2,3}  , أما المدى فهو { d , a} . ويوضح ذلك المخطط السهمي 




    أنواع الدوال

    - الدالة الثابتة : Constant Function
    - الدالة الخطية : Linear Function
    - الدالة التربيعية : Quadratic Function
    - الدالة كثيرات الحدود : Polynanid Function
    - الدالة الجذرية
    - الدالة الكسرية
    -الداله اللوغاريتمية
    - الداله الأسية

    - دوال القيمة المطلقة 
    شارك المقال

    قد يهمك أيضا :