مجموعة تعريف الدوال ومدى كل داله- الجزءالثاني

    مجموعة تعريف الدوال ومدى كل داله- الجزءالثاني

    دالة القيمة المطلقة

    ويكتب هذا النوع من الدوال كالتالي :
       




    مجال ومدى دالة القيمة المطلقة 


    مجال دالة القيمة المطلقة( مجموعة التعريف) R , أما مدى الدالة يساوي مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة [0,∞[

    مثال :


    أوجد مجموعة تعريف الداله ومداها :

    f(x) =|x-2|+|2x-1|
    الحل :
    نوجد أصفار كل من x-2 , 2x-1  كمايلي :
    x-2=0 ⇒ x=2
    2x-1=0 ⇒ x=1/2
    ولإيجاد مجموعة تعريف هذه الداله نكون جدولا مبينا على خط الأعداد وبحيث نضع القيم الموجبة للداله
    x-2|| يمين العدد 2  والقيم السالبه يساره .
    كما في الجدول التالي :




    x2
    2≥x≥1/2
    X ≤ 1/2
    إشارة  (x-2)
    x-2
    2-x
    2-x
    إشارة  (2x-1)
    2x-1
    2x-1
    1- 2x
    إشارة  [(2x-1) (x-2)]
    3x-3
    X+3
    3 - 3x

    أو من الممكن دراسة الإشارة كالتالي :
    2
    1/2
    - ∞


    ++++
    --------
    -------
    x-2

    ++++
    +++++
    --------
    2x-1

    +++++
    ------------
    ++++++
    (x-2)( 2x-1)

     محققة 
    غير محققة 
    محققة 









    ومن الممكن أن نفسر الجدول الأخير كالتالي :
    في السطر الأول للإشارة ل x-2 نعوض من عند سالب مالانهاية في المعادلة x-2 سنجد النتيجة سالبة لذلك كتبنا أمام سالب مالانهاية إشارة سالبة وبشكل عام في حال عوضنا بعدد أصغرمن 2 ستكون الإشارة سالبه كما نشاهد تحت 1/2 وفي حال قمنا بالتعويض في المعادله  x-2  بأي عدد أكبر أويساوي 2 سنجد أن الناتج موجب , ولذلك كانت الإشارة تحت الرقم 2 موجبة .
    وبنفس التفسير نفسر إشارة المعادلة 2x-1 .
    ثم في المربعات الإخيرة في الأسفل نجمع أشارتي المربعين في الأعلى وعندها تكون الإشارة الموجبة هي الحل .

    ولإكمال الحل :
    نعيد تعريف الداله من أحد الجداول كالتالي :

    وبالتالي فالداله ذات ثلاث قواعد , مجموعة تعريفها :
    ]- , 1/2][1/2 , 2]∪[2, ∞]
    ولإيجاد المدى من الجدول الأول  نتبع مايلي :
    ]- , 1/2]
    نبين  الداله  :  
    f(x)= 3 - 3x
    X 1/2
    وبضرب الطرفين في العدد 3 نجد أن :
    3X 3/2 ⇒ - 3X - 3/2 3- 3x 3/2  
    أي أن  :  f(x)≥3/2
    نبين  الداله  :   f(x)= 3 - 3x
    X 1/2
    وبضرب الطرفين في العدد 3 نجد أن :
    3X 3/2 ⇒ - 3X - 3/2 3- 3x 3/2  
    f(x)≥3/2
    ولإيجاد المدى من الجدول الأول  نتبع مايلي :
    ]- , 1/2]
    نبين  الداله  :  
    f(x)= 3 - 3x
    X 1/2
    وبضرب الطرفين في العدد 3 نجد أن :
    3X 3/2 - 3X - 3/2 3- 3x 3/2  
    f(x)≥3/2
    المدى = ] , 3/2]
    وفي الفترة [1/2 , 2]  تكون f(x)= x+1
    عندما:
    3/2 ≤x+1≤3 3/2 ≤f(x)3  1/2 ≤x2
    المدى = [3/2  ,  3]
    وفي الفترة [2 , ]  تكون f(x)= 3x - 3
    عندما:  
    3x6 3x – 3 ≥ 3   f(x)3  x2
    المدى = [3  ,  [
    وبالتالي فإن مدى الداله هو :
    [ 3/2 , [[3/2, 3 ] [3 , ∞[= [ 3/2 ,∞ [

    -          الدالة الدراجية أو دالة  الصحيح

    يرمز لها بالرمز [X] , وقاعدتها f(x)=[x] حيث [X] هو أكبر عدد صحيح يكون أقل من أو يساوي   Xأي أن :
    [X] =n  n ≤ x < n-1   , n-1
    ويسمى n بالجزء الصحيح في  X أي أن :
    [X]= [X]+ ɑ   ,   0 ≤ɑ<1  
    وشكل هذا المعادلة البياني :




    أمثلة على الدالة :
    [ 0.3]=0    ,   [5]=5    ,    [-4.3]=-5

    مجال ومدى دالة الصحيح

    مجال دالة الصحيح هو مجموعة الأعداد الحقيقية R ومداها مجموعة الأعداد الصحيحة I .

    مثال :

     أوجد مجموعة تعريف ومدى الداله التالية :
        3=[x+11]
    الحل :
     مجموعة تعريف الداله هي مجموعة الأعداد الحقيقيقة , أما مدى الداله فيساوي مجموعة الأعداد الصحيحة I >


    الدالة الأسية


    وهذه الدالة هي الأكثر إستخداما في التطبيقات ولتسهيل الكثير من الحسابات , فهي تستخدم في الفيزياء والبيولوجيا والكيمياء والعلوم الهندسية , والحاسبات .
    وقاعدة الدالة تعرف كالأتي :
    f(x)=ax  ,a > 0  , a 1
    حيث  a عدد حقيقي موجب .

    مجال ومدى الدالة الأسية


    مجالها مجموعة الأعداد الحقيقية 
    أما مدى الدالة يساوي مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة ]0,∞[ ( وهذا يعني أن نجعل الداله أكبر من أو يساوي الصفر أثناء حلها )
    حاله خاصة
    وهي حاله ذات أهمية كبيرة لدى علماء الرياضيات وهي عندما  a =eوتسمى ( الدالة الأسية ذات الأساس الطبيعي , ويسمى بالأساس الطبيعي للوغاريتمات وله قيمة تقريبية تساوي 2.71828
    بيان الدالة :




    مثال

    أوجد مجموعة تعريف ومدى الداله التالية :


    f(x)=3x
    الحل :
    مجالها مجموعة الأعداد الحقيقية   ]-∞,∞[
    أما مدى الدالة يساوي مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة ]0,∞[
    3x>0  x ln3 >0 x>0 


    الداله اللوغاريتمية


    وتعرف هذه الداله بالقاعدة التالية :y = Loga x , a > 0 , a 
    وعندما   a =e  تكتب الداله على الصورة الأتية :
    y = Loga x     or   y = Ln x

    مجال ومدى الداله  الدالة 


    هو مجموعة الاعداد الحقيقية  الموجبة ]0,∞[  ( وهذا يعني أن نجعل الداله أكبر من أو يساوي الصفر أثناء حلها ).
    أما مدى الداله  مجموعة الأعداد الحقيقية ]-∞,∞[
    ونستنتج من ماسبق أن الدالة اللوغاريتمية هي الدالة العكسية للداله الأسية .
    أي أن :Ln b =x    ⇔ ax=b
    بيان الداله





    مثال :

    أوجد مجموعة تعريف ومدى الداله التالية :
    y = Ln( x2-9)
    الحل :
    y معرفة عندما :
    x2-9>0 x2>9 |x| >3  ⇒ x>3  or  x<-3
    مجموعة تعريف الداله هي :
    ]- , -3[ ] 3 , [
    وبالتالي 
    أما مداها فهو مجموعة الأعداد الحقيقية بالكامل  .

    الداله الكسرية

    هي الدالة التي يمكن كتابتها والتعبير عنها بخارج قسمة كثيرتي حدود الصورة :


    حيث أن :
    P(x) , q(x) كثيرتي حدود .

    مجال ومدى الداله

    مجال الداله هو جميع الأعداد الحقيقية ماعدا التي تجعل المقام يساوي صفرا (q(x) =0 ) , حيث أن القسمة على الصفر كمية غير معرفة .
    مداها هو  حسب التعويض فى المعادلة اى مجموعة جزئية من مجموعة الاعداد الحقيقة .

      
    مثال :

    أوجد مجموعة تعريف ومدى الداله الأتية :

    الحل :



    من المعروف لدينا أن مجموعة تعريف الدوال الكسرية هي الأعداد الحقيقية ماعدا أصفارالمقام .
    لكن في مثل هذه المعادله مقامها لا يمكن أن يكون صفرا في أي حال من الأحوال , لذامجموعة تعريفها مجموعة الأعداد الحقيقية .

    ولإيجاد مداها كالتالي :


    مثال أخر : 
    أوجد مجموعة تعريف الداله التاليه :


    الحل :

    مجموعة تعريف الداله :
    مجموعة تعريف الداله كل الأعداد الحقيقية ماعدا أصفار المقام .
    نوجد اصفار المقام :
    x2 – 1=0 x2 = 1 x =1
    وبالتالي فإن مجموعة التعريف تكون :
    Df=R-{-1,1}
    مدى الداله يمكن أيجادة كاالتالي :

    مثال :



    مثال :
     أوجد مجموعة تعريف الداله التالية :

    الحل :

    الداله كسرية  ,  ولكي تكون الداله معرفة يج أن يكون مقامها لايساوي الصفر , أي 
    أن مجموعة تعريفها مجموعة الأعداد الحقيقية ماعدا الصفر .

    الدوال الجذرية

    وهي تكتب على الصورة :

    مجال ومدى الداله :

    مجال الداله مجموعة الأعداد الحقيقية التي تجعل ماتحت الجذر أكبر أو يساوي صفر , أما مداها هو  حسب التعويض فى المعادلة اى مجموعة جزئية من مجموعة الاعداد الحقيقة .
      
    مثال :


    أوجد مجموعة تعريف ومدى الداله الأتية :

    الحل :
    -x2-2x+30⇒ (-x+1)(x+3) 0
    عندما 0    =(x+1) (x+3-)
    إما  x=1          or x=-3 
    مجموعة التعريف هي :
    [ 3,1 - ] Df =
    ولإيجاد المدى :
    نربع طرفي المعادله فتصبح :
    y2 =-x2-2x+3 x2+2x-3+ y2=0
    a= 1   ,   b=2  ,   c=-3+ y2       
    ∴∆ = b2-4ac
    =4-4×1(-3+ y2)
    =4+12-4y2 ≥ 0
    ∆≥0 16-4y2 ≥ 0 -4y2 ≥ 16
    y2 ≤ 4  |y| ≤ 2  
    -2≤y ≤ 2
    المدى هو :
    [-2 , 2]   

    -          الدوال المثلثية

    هي الدوال المعداة بواسطة علاقات حساب المثلثات وهي :
    y=sinx       ,    y = cosx    ,     y = tanx
    وهناك دوال أخرى ممكن نعرفها كالتالي :




    بيان الداله




    مجال الداله ومداها

    مجال الداله هو مجموعة الاعداد الحقيقية ,  ومداها هو [-1 , 1]

    مثال : 

    أوجد مجموعة تعريف ومدى الداله التالية :

    y=sinx 
    الحل :
    مجال الداله هو مجموعة الاعداد الحقيقية ,
      ومداها هو [-1 , 1]  أي أن         -1 ≤ sinx 1


    شارك المقال

    قد يهمك أيضا :