مجموعة تعريف الدوال ومدى كل داله- الجزءالثاني

دالة القيمة المطلقة

ويكتب هذا النوع من الدوال كالتالي :

مجال ومدى دالة القيمة المطلقة

مجال دالة القيمة المطلقة( مجموعة التعريف) R , أما مدى الدالة يساوي مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة [0,∞[

مثال :

أوجد مجموعة تعريف الداله ومداها :

f(x) =|x-2|+|2x-1|

الحل :

نوجد أصفار كل من x-2 , 2x-1 كمايلي :

x-2=0 ⇒ x=2

2x-1=0 ⇒ x=1/2

ولإيجاد مجموعة تعريف هذه الداله نكون جدولا مبينا على خط الأعداد وبحيث نضع القيم الموجبة للداله

x-2|| يمين العدد 2 والقيم السالبه يساره .

كما في الجدول التالي :

	x≥2	2≥x≥1/2	X ≤ 1/2
إشارة (x-2)	x-2	2-x	2-x
إشارة (2x-1)	2x-1	2x-1	1- 2x
إشارة [(2x-1) (x-2)]	3x-3	X+3	3 - 3x

أو من الممكن دراسة الإشارة كالتالي :

∞	2	1/2	- ∞
	++++	--------	-------	x-2
	++++	+++++	--------	2x-1
	+++++	------------	++++++	(x-2)( 2x-1)
	محققة	غير محققة	محققة

ومن الممكن أن نفسر الجدول الأخير كالتالي :

في السطر الأول للإشارة ل x-2 نعوض من عند سالب مالانهاية في المعادلة x-2 سنجد النتيجة سالبة لذلك كتبنا أمام سالب مالانهاية إشارة سالبة وبشكل عام في حال عوضنا بعدد أصغرمن 2 ستكون الإشارة سالبه كما نشاهد تحت 1/2 وفي حال قمنا بالتعويض في المعادله x-2 بأي عدد أكبر أويساوي 2 سنجد أن الناتج موجب , ولذلك كانت الإشارة تحت الرقم 2 موجبة .

وبنفس التفسير نفسر إشارة المعادلة 2x-1 .

ثم في المربعات الإخيرة في الأسفل نجمع أشارتي المربعين في الأعلى وعندها تكون الإشارة الموجبة هي الحل .

ولإكمال الحل :

نعيد تعريف الداله من أحد الجداول كالتالي :

وبالتالي فالداله ذات ثلاث قواعد , مجموعة تعريفها :

]-∞ , 1/2]∪[1/2 , 2]∪[2, ∞]

ولإيجاد المدى من الجدول الأول نتبع مايلي :

]-∞ , 1/2]
نبين الداله : f(x)= 3 - 3x

X ≤ 1/2

وبضرب الطرفين في العدد 3 نجد أن :

3X ≤ 3/2 ⇒ - 3X ≥ - 3/2 ⇒ 3- 3x ≥ 3/2

أي أن : f(x)≥3/2

نبين الداله : f(x)= 3 - 3x

X ≤ 1/2

وبضرب الطرفين في العدد 3 نجد أن :

3X ≤ 3/2 ⇒ - 3X ≥ - 3/2 ⇒ 3- 3x ≥ 3/2

f(x)≥3/2

ولإيجاد المدى من الجدول الأول نتبع مايلي :

]-∞ , 1/2]
نبين الداله : f(x)= 3 - 3x

X ≤ 1/2

وبضرب الطرفين في العدد 3 نجد أن :

3X ≤ 3/2 ⇒ - 3X ≥ - 3/2 ⇒ 3- 3x ≥ 3/2

f(x)≥3/2

∴ المدى = ]∞ , 3/2]

وفي الفترة [1/2 , 2] تكون f(x)= x+1

عندما:

⇒3/2 ≤x+1≤3 ⇒3/2 ≤f(x)≤3 1/2 ≤x≤2

∴ المدى = [3/2 , 3]

وفي الفترة [2 , ∞] تكون f(x)= 3x - 3

عندما:

⇒ 3x≥6 ⇒ 3x – 3 ≥ 3 ⇒ f(x)≥3 x ≥ 2

∴ المدى = [3 , ∞ [

وبالتالي فإن مدى الداله هو :

[ 3/2 , ∞ [∪[3/2, 3 ] ∪[3 , ∞[= [ 3/2 ,∞ [

- الدالة الدراجية أو دالة الصحيح

يرمز لها بالرمز [X] , وقاعدتها f(x)=[x] حيث [X] هو أكبر عدد صحيح يكون أقل من أو يساوي Xأي أن :

[X] =n ⇔ n ≤ x < n-1 , n-1

ويسمى n بالجزء الصحيح في X أي أن :

[X]= [X]+ ɑ , 0 ≤ɑ<1

وشكل هذا المعادلة البياني :

أمثلة على الدالة :

[ 0.3]=0 , [5]=5 , [-4.3]=-5

مجال ومدى دالة الصحيح

مجال دالة الصحيح هو مجموعة الأعداد الحقيقية R ومداها مجموعة الأعداد الصحيحة I .

مثال :
أوجد مجموعة تعريف ومدى الداله التالية :

3=[x+11]
الحل :
مجموعة تعريف الداله هي مجموعة الأعداد الحقيقيقة , أما مدى الداله فيساوي مجموعة الأعداد الصحيحة I >

الدالة الأسية

وهذه الدالة هي الأكثر إستخداما في التطبيقات ولتسهيل الكثير من الحسابات , فهي تستخدم في الفيزياء والبيولوجيا والكيمياء والعلوم الهندسية , والحاسبات .

وقاعدة الدالة تعرف كالأتي :

f(x)=a^x ,a > 0 , a ≠1

حيث a عدد حقيقي موجب .

مجال ومدى الدالة الأسية

مجالها مجموعة الأعداد الحقيقية

أما مدى الدالة يساوي مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة ]0,∞[ ( وهذا يعني أن نجعل الداله أكبر من أو يساوي الصفر أثناء حلها )

حاله خاصة

وهي حاله ذات أهمية كبيرة لدى علماء الرياضيات وهي عندما a =eوتسمى ( الدالة الأسية ذات الأساس الطبيعي , ويسمى بالأساس الطبيعي للوغاريتمات وله قيمة تقريبية تساوي 2.71828

بيان الدالة :

مثال

أوجد مجموعة تعريف ومدى الداله التالية :

f(x)=3^x

^{الحل :}

مجالها مجموعة الأعداد الحقيقية ]-∞,∞[

أما مدى الدالة يساوي مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة ]0,∞[
3^x>0 ⇒ x ln3 >0 ⇒ x>0

الداله اللوغاريتمية

وتعرف هذه الداله بالقاعدة التالية :y = Log_a x , a > 0 , a ≠

وعندما a =e تكتب الداله على الصورة الأتية :

y = Log_a x or y = Ln x

مجال ومدى الداله الدالة

هو مجموعة الاعداد الحقيقية الموجبة ]0,∞[ ( وهذا يعني أن نجعل الداله أكبر من أو يساوي الصفر أثناء حلها ).

أما مدى الداله مجموعة الأعداد الحقيقية ]-∞,∞[

ونستنتج من ماسبق أن الدالة اللوغاريتمية هي الدالة العكسية للداله الأسية .

أي أن :Ln b =x ⇔ a^x=b

بيان الداله

^{مثال :}

^{أوجد مجموعة
تعريف}ومدى الداله التالية :

y = Ln( x²-9)

الحل :

y معرفة عندما :

x²-9>0 ⇒x²>9 ⇒ |x|>3 ⇒ x>3 or x<-3

∴مجموعة تعريف الداله هي :

]-∞ , -3[ ∪ ] 3 , ∞[

وبالتالي

أما مداها فهو مجموعة الأعداد الحقيقية بالكامل .

الداله الكسرية

هي الدالة التي يمكن كتابتها والتعبير عنها بخارج قسمة كثيرتي حدود الصورة :

حيث أن :

P(x) , q(x) كثيرتي حدود .

مجال ومدى الداله

مجال الداله هو جميع الأعداد الحقيقية ماعدا التي تجعل المقام يساوي صفرا (q(x) =0 ) , حيث أن القسمة على الصفر كمية غير معرفة .

مداها هو حسب التعويض فى المعادلة اى مجموعة جزئية من مجموعة الاعداد الحقيقة .

مثال :

أوجد مجموعة تعريف ومدى الداله الأتية :

الحل :

من المعروف لدينا أن مجموعة تعريف الدوال الكسرية هي الأعداد الحقيقية ماعدا أصفارالمقام .

لكن في مثل هذه المعادله مقامها لا يمكن أن يكون صفرا في أي حال من الأحوال , لذامجموعة تعريفها مجموعة الأعداد الحقيقية .

ولإيجاد مداها كالتالي :

مثال أخر :
أوجد مجموعة تعريف الداله التاليه :

الحل :
مجموعة تعريف الداله :

مجموعة تعريف الداله كل الأعداد الحقيقية ماعدا أصفار المقام .

نوجد اصفار المقام :

x² – 1=0 ⇒ x² = 1 ⇒ x =∓1

وبالتالي فإن مجموعة التعريف تكون :

D_f=R-{-1,1}

مدى الداله يمكن أيجادة كاالتالي :

مثال :

مثال :
أوجد مجموعة تعريف الداله التالية :

الحل :

الداله كسرية , ولكي تكون الداله معرفة يج أن يكون مقامها لايساوي الصفر , أي

أن مجموعة تعريفها مجموعة الأعداد الحقيقية ماعدا الصفر .

الدوال الجذرية

وهي تكتب على الصورة :

مجال ومدى الداله :

مجال الداله مجموعة الأعداد الحقيقية التي تجعل ماتحت الجذر أكبر أو يساوي صفر , أما مداها هو حسب التعويض فى المعادلة اى مجموعة جزئية من مجموعة الاعداد الحقيقة .

مثال :

أوجد مجموعة تعريف ومدى الداله الأتية :

الحل :

-x²-2x+3≥0⇒ (-x+1)(x+3) ≥0

عندما 0 =(x+1) (x+3-)

إما x=1 or x=-3

∴ مجموعة التعريف هي :

[ 3,1 - ] D_f =

ولإيجاد المدى :

نربع طرفي المعادله فتصبح :

y² =-x²-2x+3 ⇒ x²+2x-3+ y²=0

a= 1 , b=2 , c=-3+ y²

∴∆ = b²-4ac

=4-4×1(-3+ y²)

=4+12-4y² ≥ 0

∆≥0 ⇒16-4y² ≥ 0 ⇒-4y² ≥ 16

⇒y² ≤ 4 ⇒|y| ≤ 2

⇒ -2≤y ≤ 2

∴ المدى هو :

[-2 , 2]

- الدوال المثلثية

هي الدوال المعداة بواسطة علاقات حساب المثلثات وهي :

y=sinx , y = cosx , y = tanx

وهناك دوال أخرى ممكن نعرفها كالتالي :

بيان الداله

مجال الداله ومداها

مجال الداله هو مجموعة الاعداد الحقيقية , ومداها هو [-1 , 1]

مثال :
أوجد مجموعة تعريف ومدى الداله التالية :

y=sinx
الحل :

مجال الداله هو مجموعة الاعداد الحقيقية ,

ومداها هو [-1 , 1] أي أن -1 ≤ sinx ≤1

Tags: رياضيات

مجموعة تعريف الدوال ومدى كل داله- الجزءالثاني