مجموعة تعريف الدوال ومدى كل داله- الجزءالثاني
دالة القيمة المطلقة
مجال ومدى دالة القيمة المطلقة
مجال دالة القيمة المطلقة( مجموعة التعريف) R , أما مدى الدالة يساوي مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة [0,∞[
مثال :
أوجد مجموعة تعريف الداله ومداها :
مثال :
أوجد مجموعة تعريف الداله ومداها :
f(x)
=|x-2|+|2x-1|
الحل :
نوجد أصفار كل من x-2 , 2x-1 كمايلي
:
x-2=0 ⇒ x=2
2x-1=0
⇒ x=1/2
ولإيجاد مجموعة تعريف هذه الداله نكون جدولا
مبينا على خط الأعداد وبحيث نضع القيم الموجبة للداله
x-2|| يمين العدد 2 والقيم
السالبه يساره .
كما في الجدول التالي :
x≥2
|
2≥x≥1/2
|
X ≤ 1/2
|
|
إشارة (x-2)
|
x-2
|
2-x
|
2-x
|
إشارة (2x-1)
|
2x-1
|
2x-1
|
1- 2x
|
إشارة [(2x-1)
(x-2)]
|
3x-3
|
X+3
|
3 - 3x
|
أو من الممكن دراسة الإشارة كالتالي :
∞
|
2
|
1/2
|
- ∞
|
|
++++
|
--------
|
-------
|
x-2
|
|
++++
|
+++++
|
--------
|
2x-1
|
|
+++++
|
------------
|
++++++
|
(x-2)( 2x-1)
|
|
محققة
|
ومن الممكن أن نفسر الجدول الأخير كالتالي :
في السطر الأول للإشارة ل x-2 نعوض من عند سالب مالانهاية في المعادلة x-2 سنجد النتيجة سالبة لذلك كتبنا أمام سالب مالانهاية إشارة سالبة وبشكل عام في حال عوضنا بعدد أصغرمن 2 ستكون الإشارة سالبه كما نشاهد تحت 1/2 وفي حال قمنا بالتعويض في المعادله x-2 بأي عدد أكبر أويساوي 2 سنجد أن الناتج موجب , ولذلك كانت الإشارة تحت الرقم 2 موجبة .
وبنفس التفسير نفسر إشارة المعادلة 2x-1 .
ثم في المربعات الإخيرة في الأسفل نجمع أشارتي المربعين في الأعلى وعندها تكون الإشارة الموجبة هي الحل .
ولإكمال الحل :
نعيد تعريف الداله من أحد الجداول كالتالي :
وبالتالي فالداله ذات ثلاث قواعد , مجموعة
تعريفها :
]-∞ , 1/2]∪[1/2 , 2]∪[2, ∞]
ولإيجاد المدى من الجدول الأول نتبع مايلي :
]-∞ , 1/2]
نبين الداله : f(x)= 3 - 3x
نبين الداله : f(x)= 3 - 3x
X ≤ 1/2
وبضرب الطرفين في العدد 3
نجد أن :
3X
≤
3/2 ⇒ - 3X ≥
- 3/2 ⇒
3- 3x ≥
3/2
أي أن : f(x)≥3/2
نبين الداله : f(x)= 3 - 3x
X ≤ 1/2
وبضرب الطرفين في العدد 3
نجد أن :
3X ≤ 3/2 ⇒ - 3X ≥ - 3/2 ⇒ 3- 3x ≥ 3/2
f(x)≥3/2
ولإيجاد المدى من
الجدول الأول نتبع مايلي :
]-∞ , 1/2]
نبين الداله : f(x)= 3 - 3x
نبين الداله : f(x)= 3 - 3x
X ≤ 1/2
وبضرب الطرفين في
العدد 3 نجد أن :
3X
≤ 3/2 ⇒ - 3X ≥ - 3/2 ⇒ 3- 3x ≥ 3/2
f(x)≥3/2
∴ المدى = ]∞ , 3/2]
وفي الفترة [1/2 , 2] تكون f(x)= x+1
عندما:
⇒3/2 ≤x+1≤3 ⇒3/2 ≤f(x)≤3 1/2 ≤x≤2
∴ المدى = [3/2 , 3]
وفي الفترة [2 , ∞] تكون f(x)= 3x - 3
عندما:
⇒ 3x≥6 ⇒ 3x – 3 ≥ 3 ⇒ f(x)≥3 x ≥ 2
∴ المدى = [3 , ∞ [
وبالتالي فإن مدى
الداله هو :
[
3/2 , ∞ [∪[3/2, 3 ] ∪[3 , ∞[= [ 3/2 ,∞ [
- الدالة الدراجية أو دالة الصحيح
يرمز لها بالرمز [X] , وقاعدتها f(x)=[x] حيث [X] هو أكبر عدد صحيح يكون أقل من أو يساوي Xأي أن :
[X] =n ⇔ n ≤ x < n-1 , n-1
ويسمى n بالجزء الصحيح في X أي أن :
[X]= [X]+ ɑ , 0 ≤ɑ<1
وشكل هذا المعادلة البياني :
أمثلة على الدالة :
[ 0.3]=0 , [5]=5 , [-4.3]=-5
مجال ومدى دالة الصحيح
مجال دالة الصحيح هو مجموعة الأعداد الحقيقية R ومداها مجموعة الأعداد الصحيحة I .
مثال :
أوجد مجموعة تعريف ومدى الداله التالية :
الحل :
مجموعة تعريف الداله هي مجموعة الأعداد الحقيقيقة , أما مدى الداله فيساوي مجموعة الأعداد الصحيحة I >
الدالة الأسية
وهذه الدالة هي الأكثر إستخداما في التطبيقات ولتسهيل الكثير من الحسابات , فهي تستخدم في الفيزياء والبيولوجيا والكيمياء والعلوم الهندسية , والحاسبات .
وقاعدة الدالة تعرف كالأتي :
f(x)=ax ,a > 0 , a ≠1
حيث a عدد حقيقي موجب .
مجال ومدى الدالة الأسية
مجالها مجموعة الأعداد الحقيقية
أما مدى الدالة يساوي مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة ]0,∞[ ( وهذا يعني أن نجعل الداله أكبر من أو يساوي الصفر أثناء حلها )
حاله خاصة
وهي حاله ذات أهمية كبيرة لدى علماء الرياضيات وهي عندما a =eوتسمى ( الدالة الأسية ذات الأساس الطبيعي , ويسمى بالأساس الطبيعي للوغاريتمات وله قيمة تقريبية تساوي 2.71828
بيان الدالة :
مثال
أوجد
مجموعة تعريف ومدى الداله التالية :
f(x)=3x
الحل :
مجالها مجموعة الأعداد الحقيقية ]-∞,∞[
أما مدى الدالة يساوي مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة ]0,∞[
3x>0 ⇒ x ln3 >0 ⇒ x>0
3x>0 ⇒ x ln3 >0 ⇒ x>0
الداله اللوغاريتمية
وتعرف هذه الداله بالقاعدة التالية :y = Loga x , a > 0 , a ≠
وعندما a =e تكتب الداله على الصورة الأتية :
y = Loga x or y = Ln x
مجال ومدى الداله الدالة
هو مجموعة الاعداد الحقيقية الموجبة ]0,∞[ ( وهذا يعني أن نجعل الداله أكبر من أو يساوي الصفر أثناء حلها ).
أما مدى الداله مجموعة الأعداد الحقيقية ]-∞,∞[
ونستنتج من ماسبق أن الدالة اللوغاريتمية هي الدالة العكسية للداله الأسية .
أي أن :Ln b =x ⇔ ax=b
بيان الداله
مثال :
أوجد مجموعة
تعريف ومدى
الداله التالية :
y =
Ln( x2-9)
الحل
:
y معرفة عندما :
x2-9>0 ⇒x2>9 ⇒ |x| >3 ⇒
x>3 or x<-3
∴مجموعة تعريف الداله
هي :
]-∞ , -3[ ∪ ] 3 , ∞[
وبالتالي
أما مداها فهو مجموعة الأعداد الحقيقية بالكامل .
الداله الكسرية
هي الدالة التي يمكن كتابتها والتعبير عنها بخارج قسمة كثيرتي حدود الصورة :
حيث أن :
P(x) , q(x) كثيرتي حدود .
مجال ومدى الداله
مجال الداله هو جميع الأعداد الحقيقية ماعدا التي تجعل المقام يساوي صفرا (q(x) =0 ) , حيث أن القسمة على الصفر كمية غير معرفة .
مداها هو حسب التعويض فى المعادلة اى مجموعة جزئية من مجموعة الاعداد الحقيقة .
مثال :
أوجد مجموعة تعريف ومدى الداله الأتية :
الحل :
الحل :
من المعروف لدينا أن مجموعة تعريف الدوال
الكسرية هي الأعداد الحقيقية ماعدا أصفارالمقام .
لكن في مثل هذه المعادله مقامها لا يمكن أن يكون
صفرا في أي حال من الأحوال , لذامجموعة تعريفها مجموعة الأعداد الحقيقية .
ولإيجاد مداها كالتالي :
مثال أخر :
أوجد مجموعة تعريف الداله التاليه :
الحل :
مجموعة تعريف الداله :
مثال :
مثال :
أوجد مجموعة تعريف الداله التالية :
أوجد مجموعة تعريف الداله التاليه :
الحل :
مجموعة تعريف الداله :
مجموعة تعريف الداله كل الأعداد الحقيقية ماعدا أصفار المقام .
نوجد اصفار المقام :
x2 – 1=0 ⇒ x2 = 1 ⇒ x =∓1
وبالتالي فإن
مجموعة التعريف تكون :
Df=R-{-1,1}
مدى الداله يمكن أيجادة كاالتالي :مثال :
أوجد مجموعة تعريف الداله التالية :
الحل :
الداله
كسرية ,
ولكي تكون الداله
معرفة يج أن
يكون مقامها لايساوي
الصفر , أي
أن مجموعة تعريفها مجموعة الأعداد الحقيقية ماعدا الصفر .
الدوال الجذرية
وهي تكتب على الصورة :
مجال ومدى الداله :
مجال الداله مجموعة الأعداد الحقيقية التي تجعل ماتحت الجذر أكبر أو يساوي صفر , أما مداها هو حسب التعويض فى المعادلة اى مجموعة جزئية من مجموعة الاعداد الحقيقة .
مثال :
مثال :
أوجد مجموعة تعريف ومدى الداله الأتية :
الحل :
-x2-2x+3≥0⇒
(-x+1)(x+3) ≥0
عندما 0 =(x+1) (x+3-)
إما x=1 or x=-3
∴ مجموعة
التعريف هي :
[ 3,1
- ] Df =
ولإيجاد المدى :
نربع طرفي المعادله فتصبح :
y2 =-x2-2x+3 ⇒ x2+2x-3+ y2=0
a= 1
, b=2 , c=-3+ y2
∴∆ = b2-4ac
=4-4×1(-3+
y2)
=4+12-4y2 ≥ 0
∆≥0 ⇒16-4y2 ≥ 0 ⇒-4y2 ≥ 16
⇒y2 ≤ 4
⇒|y| ≤ 2
⇒ -2≤y ≤ 2
∴ المدى هو :
[-2 , 2]
- الدوال المثلثية
هي الدوال المعداة بواسطة علاقات حساب المثلثات وهي :
y=sinx , y = cosx , y = tanx
وهناك دوال أخرى ممكن نعرفها كالتالي :
بيان الداله
مجال الداله ومداها
مجال الداله هو مجموعة الاعداد الحقيقية , ومداها هو [-1 , 1]
مثال :
أوجد مجموعة تعريف ومدى الداله التالية :
y=sinx
مثال :
أوجد مجموعة تعريف ومدى الداله التالية :