حل المعادلة التربيعية بطريقة إكمال المربع
لدينا :
(X+c)2=
x2 + 2cx +c2
في الطرف الإيمان من المقدار السابق نجد أن
الحد المطلق C
هو عبارة عن مربع نصف معامل X
, وفي حال كان لدينا مقدار جبري حده المطلق يساوي مربع نصف معامل x , فإن هذا المقدار الجبري يكون مربعا كاملا.
والفكرة الرئيسية في هذا التحليل :
إضافة مربع نصف معامل x ( الحد
الأوسط ) وطرحة من المعادلة ثم تجميع الحدود المتشابهة .
مثال 1)
حلل المقدار التالي بطريقة أكمال المربع :
x2
+ 2x -8=0
الحل :
من الواضح أن المقدار x2 + 2x -8 ليس مربعا كاملا .
لتحليل المقدار نجعلة أو نكملة إلى مربع كامل
كالأتي :
-
معامل x هو 2
-
نصف معامل x : 1
-
مربع نصف معامل x = 2(1)
= 1
نضيف الواحد
ونطرحة من المعادلة السابقة كالتالي :
x2
+ 2x+1 - 1 -8 = x2 + 2x -8
=
(x2 + 2x+1) – 9= (x+1)2 - 9
=[ (x+1)
- 3][ (x+1) + 3]
=(x-2)(x+4)
مثال 2)
أكمل المقدار (x2- 4x) التالي إلى
مربع كامل ؟
الحل :
نضيف نصف معامل x لكي يتحول
المقدار إلى مربع كامل .
-
معامل x هو 4
-
نصف معامل x : 2
-
مربع نصف معامل x = 2(2)
= 4
نضيف العدد 4
ونطرحة من المعادلة السابقة كالتالي :
x2- 4x+4-4 = (x2-
4x+4)-4
= (x+2)2-4=[ (x+2) - 2][ (x+2) + 2]
=x (x+2).
مثال 3)
حل المعادلة الآتية باستخدام طريقة إكمال
المربع :
3x2
- 8x + 4=0
الحل :
صيغة أخرى للحل نتبعها في هذا المثال :
نكتب المعادلة كالتالي :
3x2 - 8x = - 4
نقسم طرفي المعادلة على معامل x2 وهو العدد 3
تصبح المعادلة بالشكل :
x2
- (8/3)x = - 4/3
نلاحظ أن معامل x يساوي 8/3 , ولذلك
نصفه يساوي 4/3
وبتربيع هذا العدد يصبح :
(4/3)2
=16/9
بإضافة العدد 16/9 لطرفي
المعادلة x2 - (8/3)x
= - 4/3
تصبح :
x2
- (4/3)x +16/9 = - 4/3 + 16/9
⇒ (
x - 4/3)2 = - 4/9
بأخذ الجذر التربيعي للمعادلة :
( x - 4/3)=∓ 2/3
إما2/3 ⇒ x =2/3 +4/3 = 6/3=2 = (x - 4/3)
أو -2/3 ⇒
x = -2/3 + 4/3 = 2/3 = (x - 4/3)