1/18/2015

حل المعادلة التربيعية بطريقة إكمال المربع

حل المعادلة التربيعية بطريقة إكمال المربع

لدينا :
(X+c)2= x2 + 2cx +c2
في الطرف الإيمان من المقدار السابق نجد أن الحد المطلق C هو عبارة عن مربع نصف معامل X , وفي حال كان لدينا مقدار جبري حده المطلق يساوي مربع نصف معامل x , فإن هذا المقدار الجبري يكون مربعا كاملا.

والفكرة الرئيسية في هذا التحليل :
إضافة مربع نصف معامل x ( الحد الأوسط ) وطرحة من المعادلة ثم تجميع الحدود المتشابهة .

مثال 1)

حلل المقدار التالي بطريقة أكمال المربع :
x2 + 2x -8=0

الحل :

من الواضح أن المقدار x2 + 2x -8 ليس مربعا كاملا  .
 لتحليل المقدار نجعلة أو نكملة إلى مربع كامل كالأتي :
-          معامل x  هو  2
-          نصف معامل x  :  1
-          مربع نصف معامل x = 2(1) = 1
نضيف الواحد ونطرحة من المعادلة السابقة كالتالي :
x2 + 2x+1 - 1 -8 = x2 + 2x -8
= (x2 + 2x+1) – 9= (x+1)2  - 9
=[ (x+1)  - 3][ (x+1)  + 3]
=(x-2)(x+4)           

 مثال 2)

أكمل المقدار (x2- 4x) التالي إلى مربع كامل ؟
الحل :
نضيف نصف معامل x لكي يتحول المقدار إلى مربع كامل .
-          معامل x  هو  4
-          نصف معامل x  :  2
-          مربع نصف معامل x = 2(2) = 4
نضيف العدد  4 ونطرحة من المعادلة السابقة كالتالي :
x2- 4x+4-4 = (x2- 4x+4)-4
= (x+2)2-4=[ (x+2)  - 2][ (x+2)  + 2]
=x (x+2).

 مثال 3)

حل المعادلة الآتية باستخدام طريقة إكمال المربع :
3x2 - 8x + 4=0

الحل :

صيغة أخرى للحل نتبعها في هذا المثال :
نكتب المعادلة كالتالي :
 3x2 - 8x = - 4
نقسم طرفي المعادلة على معامل x2  وهو العدد 3 تصبح المعادلة بالشكل :
x2 - (8/3)x = - 4/3
نلاحظ أن معامل x  يساوي 8/3 , ولذلك نصفه يساوي 4/3 وبتربيع هذا العدد يصبح :
(4/3)2 =16/9
بإضافة العدد 16/9 لطرفي المعادلة x2 - (8/3)x = - 4/3
تصبح :
x2 - (4/3)x  +16/9 = - 4/3 + 16/9
( x - 4/3)2  = - 4/9
بأخذ الجذر التربيعي للمعادلة :
 ( x - 4/3)= 2/3
إما2/3   x =2/3 +4/3 = 6/3=2    = (x - 4/3)
 أو -2/3   x = -2/3 + 4/3 = 2/3     = (x - 4/3)