العمليات على الحوادث
بما أن الحوادث هي عبارة عن مجموعات جزئية من فضاء العينة W, لذلك أصبح من الممكن التحدث عن أتحاد حادثين وتقاطعها , ومتممتها والفرق بينهما ومتممة حادثة , وكل ما يتعلق بالعمليات على المجموعات , أي أصبح بإمكاننا الربط بين الحوادث لكي نكون حوادث جديدة باستعمال العمليات المختلفة الخاصة بالمجموعات .
- بفرض أن W فضاء العينة المرتبط بتجربة ما , وبفرض P(W) مجموعة الأحداث المرتبطة بتلك التجربة .
ونعرف العمليات على الأحداث كما يأتي :
1- التقاطع Intersection (∩)
يعتبر تقاطع الحادثان B , A عن وقوع الاثنان في آن واحد ( وقوع الحادثين معا ) ، ويشمل كل النتائج المشتركة بين الحادثين، ويعبر عن ذلك رياضيا A ∩B)) أو
(A and B) .
وبصورة أخرى نقول إذا كان ( r ) أحد عناصر فضاء العينة فإننا نقول أن A ∩B)) قد وقع إذا كان :
r ∈A and r∈B
ويظهر ذلك في شكل فن في مايلي :
2-الاتحاد Union ( ∪ )
يعبر اتحاد الحادثان B , A عن (وقوع أحدها على الأقل)، وبمعنى آخر وقوع الأول أو الثاني أو كلاهما , ويعبر عن ذلك رياضيا (A∪ B)أو (A or B).
وبصورة أخرى نقول إذا كان ( r ) أحد عناصر فضاء العينة فإننا نقول أن A ∪B)) قد وقع إذا كان :
r ∈ A or r∈B
ويمكن الاستعانة بشكل "فن" كمايلي :
ومثال على ذلك ، عند إلقاء زهرة نرد متزنة مرة واحدة ، وعرف الحادث A بأنه ظهور
وجه يقبل القسمة على 3 , والحادث B بأنة ظهور عدد فردي , يلاحظ أن :
W= {1,2,3,4,5,6} , A = { 3, 6 } , B ={ 1,3,5 }
ويكون اتحاد الحادثان A , B هو :
A ∪ B = { 1 ,3, 5 ,6 }
ويعبر عن ذلك في شكل فن كما يلي :
3-الفرق بين حادثتين
إذا كانت A , B حادثتين في S فإن ( A – B) هي المجموعة التي عناصرها تنتمي إلى A ولا تنتمي إلى B , وعلى ذلك فإن A - B يعني :
وقوع الحادثة "A" وعدم وقوع "B"
وبصورة أخرى نقول إذا كان ( r ) أحد عناصر فضاء العينة فإننا نقول أن A \ B)) قد وقع إذا كان :
r ∈A and r∉B
4-الحادثة المتممة ( المكمل Compliment Event)
الحادث المكمل أو المتمم للحادث A هو الذي ينفي وقوعة , وبمعنى أخر هو الحادث الذي يشمل كل نتائج التجربة باستثناء النتائج المكونة للحادث A , أو بمعنى ثالث الحادثة التي تقع إذا لم تقع A , ويرمز لة بالرمز( A̅) ونقرأها متممة A .
وبصورة أخرى نقول إذا كان ( r ) أحد عناصر فضاء العينة فإننا نقول أن A̅)) قد وقع إذا كان :
r ∉A and r∈A̅
ملاحظة : A - B = AB̅
نتائج :
1- الحادثة المستحيلة
A ∩ A̅ = Ø
2- إذا كانت A , B حادثتين في W فإن :
A̅ ∩ B̅ = (A ∪ B) ̅
وهذا يعني :
عدم وقوع أي من الحادثتين
3- إذا كانت A , B حادثتين في W فإن :
A̅ ∪ B̅ = (A ∩ B) ̅
وهذا يعني :
عدم وقوع الحادثتين معا
وتعرف العلاقتين 2 و 3 بقانوني دي مورجان
4- إذا كانت A , B حادثتين في W فإن :
A - B ∪ (B- A) = A ∪ B - (A ∩ B) or
A̅B ∪ (B A̅) = (A ∪ B ) - (AB)
وهذا يعني وقوع إحدى الحادثتين فقط
مثال :
- تم رمي قطعة نقود وحجر نرد مرة واحدة , وتمت ملاحظة الوجة الظاهر لقطعة النقود والعدد الظاهر على الوجة العلوي لحجر النرد , فإذا كانت :
i. Aحادثة ظهور الكتابة وعدد زوجي
ii. B حادثة ظهور الكتابة عدد أولي
أكتب كلا من الحوادث التالية :
1- وقوع إحدى الحادثتين على الأقل
2- وقوع الحادثتين معا
3- وقوع الحادثة B دون A
الحل :
فضاء العينة هو :
W = {(H,1) , (H,2), (H,3) , (H,4), (H,5) , (H,6),
(T,1),(T,2) , (T,3),(T,4), (T,5),(T,6)}
i. Aحادثة ظهور الكتابة وعدد زوجي ( ونرمزلها بالرمز A) هي :
A= { (T,2),( T,4),( T,6)}
ii. B حادثة ظهور عدد أولي
A= {(H,2),(H,3),(H,5), (T,2),( T,3),( T,5)}
1- وقوع إحدى الحادثتين على الأقل
A∪B= { (T,2),( T,4),( T,6), (H,2),(H,3),(H,5), (T,3),(T,5) }
2- وقوع الحادثتين معا
A∩B= { (T,2)}
3- وقوع الحدثة B دون A
B-A={(H,2),(H,3),(H,5), (T,3),(T,5)}