1/06/2015

الوسط الحسابي المرجح ( الموزون )لأوساط حسابية


الوسط الحسابي المرجح ( الموزون )لأوساط حسابية :

إذا كان لدينا مجموعة  N1 من القيم ووسطها الحسابي̅C1ومجموعة ثانية  N2 من القيم ووسطها الحسابي يساوي ̅C2  فإن الوسط الحسابي للمجموعة  N2+N1 من القيم الناتجة من دمج المجموعتين يكون :
(  N1 C̅1+  N2C̅) /  N1 + N2     = C̅    وهذا هو الوسط الحسابي المرجح لأوساط حسابية
ويفضل في حالة تكون القيمة المعبرة عن الوسط الحسابي غير دقيقة .

مثال :

ماهو الوسط الحسابي المرجح في حال هناك اختبار في مادة الاحصاء , وعدد الطلبة في المجموعة الاولي  27 طالب ومتوسط علاماتهم  78  وعدد الطلبة في المجموعة الثانية 32  ومتوسطهم 75   ماهو الوسط الحسابي ( المعدل ) للطلبة في الشعبتين ؟

الحل :
باستخدام القانون المذكور سابقا :
الوسط الحسابي المرجح =
(  N1 C̅1+  N2C̅) /  N1 + N2     = C̅
 = ( 27  x 78 +  32 x 75 ) 27 + 32
= ( 2106 +2400 )  ⁄ 59            
=4506 ⁄  59 = 76.4          .
مثال أخر :
من الجدول الموجود امامك لدينا خمسة طلاب , ودرجاتهم في مقرر الرياضيات , وعدد ساعات الدراسة :

مجموع الدرجات للطلاب بالكامل  =  140
 مجموع ساعات الدراسة للطلاب = 9
- مجموع حاصل ضرب الساعات في  درجات المواد  = 260   .
وبالتالي من الجدول لوأردنا حساب الوسط الحسابي غيرالمرجح للدرجة الحاصل عليها الطالب هي :
= مجموع الدرجات  ÷ عدد الطلاب   =  
=  140  ⁄   5  = 28  degre

أما الوسط المرجح فيمكن ايجادة من هذة المعادلة :
    
      degre 260 ⁄ 9 = 32.22       =



ونلاحظ ان هناك فرق كبير بين الوسط والوسط المرجح فالوسط المرجح هو الافضل في مثل هذة البيانات .

بعض  خصائص الوسط الحسابي

1-     مجموع انحرافات القيم عن وسطها الحسابي  يساوي صفرا  أي ان :


ولوأخذنا مثال على ذلك :
من الجدول التالي والذي يمثل درجات الطلاب  34, 32, 42, 37, 35, 40,36,40  ، والوسط الحسابي للدرجة هو      =  37  c̅

 

2-     الوسط الحسابي لمقدار ثابت يكون نفسة العدد الثابت  .

مثال :
إذا تم اختيار مجموعة من طلاب فصلك وعددهم 6   ,  طولهم متساو تماما ويساوي  150 سم  , فإذا طلب منك ايجاد المتوسط الحسابي لذلك سيكون هو العدد نفسة 150 سم , حتى باستخدام قانون المتوسط .

3-     في حال وجود عدد من البيانات او المشاهدات للمتغير x  ولتكن تلك المشاهدات  x1, x2 ,..., xn  عند ضرب هذة المشاهدات في اي عدد حقيقي ثابت وليكن a فإن متوسط القيم الجديدة يساوي المتوسط مضروبا في a أي ان :


مثال :
إذا كانت هذة بيانات لدرجات مجموعة من الطلبة      34, 32, 42, 37, 35, 40,36,40    ، فإن الوسط الحسابي للدرجة هو      =  37  c̅  .
لو طبقنا الخاصية السابقة على هذا المثال  بأخذقيمة العدد الثابت  a = 2 سنجد أن
ax̅ =   2(37)  = 74
كذلك نستطيع تطبيق  الجهة الاخرى وتكون بنفس الناتج :
بضرب قيمة  الثابت  a= 2  في كل نتيجة من النتائج السابقة
Ax1= 2x40     ,    ax2= 2x36 ,………………………………………………,ax8=2 x34
ثم نوجد المتوسط الحسابي لهذة القيم سيكون الناتج   74 .

4-     عند إضافة مقدار ثابت إلى كل  قيمة من القيم  , فإن الوسط الحسابي لتلك القيم  الناتجة بعد الإضافة , يساوي الوسط الحسابي للقيم الاصلية قبل الإضافة مضافا إليها ذلك المقدار الثابت .

فإذا كانت لدينا القيم  x1 , x2,..., xn  وتم إضافة العدد او المقدار الثابت a   سيكون القيمة الجديدة
y = x+ a  فإن الوسط الحسابي لقيم  y  ( القيم الجديدة الناتجة بعد الاضافة )   هو   ̅y = x̅  + a     
مثال :
 من المثال في الخاصية السابقة إذا قرر المعلم ان يضيف مثلا خمس درجات لكل طالب , سيتغير الوسط الحسابي ويصبح
  37+5 ) =42   )، والجدول التالي يبين ذلك .

يتضح لنا من الجدول  ان مجموع القيم الجديدة هو  336    , ومن ثم يكون الوسط الحسابي للقيم الجديدة هو 

5-     مجموع مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي أقل ما يمكن  , أي أن


مميزات الوسط الحسابي

-          سهل الحساب
-          يحتوي على كافة وحدات التوزيع التكراري
-          أفضل مقياس لتمثيل النزعة المركزية

عيوب الوسط الحسابي 

-          يتأثر بالقيم الشاذة والمتطرفة
-          صعوبة حسابة في البيانات الوصفية

-          صعوبة حسابة في الجداول التكرارية المفتوحة .