الوسط الحسابي المرجح ( الموزون )لأوساط حسابية :
إذا كان لدينا مجموعة N1 من القيم ووسطها الحسابي̅C1ومجموعة ثانية N2 من القيم ووسطها الحسابي يساوي ̅C2 فإن الوسط الحسابي للمجموعة N2+N1 من القيم الناتجة من دمج المجموعتين يكون :
( N1 C̅1+ N2C̅2 ) / N1 + N2 = C̅ وهذا هو الوسط الحسابي المرجح لأوساط حسابية
ويفضل في حالة تكون القيمة المعبرة عن الوسط الحسابي غير دقيقة .
مثال :
ماهو الوسط الحسابي المرجح في حال هناك اختبار في مادة الاحصاء , وعدد الطلبة في المجموعة الاولي 27 طالب ومتوسط علاماتهم 78 وعدد الطلبة في المجموعة الثانية 32 ومتوسطهم 75 ماهو الوسط الحسابي ( المعدل ) للطلبة في الشعبتين ؟
الحل :
باستخدام القانون المذكور سابقا :
الوسط الحسابي المرجح =
( N1 C̅1+ N2C̅2 ) / N1 + N2 = C̅
= ( 27 x 78 + 32 x 75 ) ⁄ 27 + 32
= ( 2106 +2400 ) ⁄ 59
=4506 ⁄ 59 = 76.4 .
مثال أخر :
من الجدول الموجود امامك لدينا خمسة طلاب , ودرجاتهم في مقرر الرياضيات , وعدد ساعات الدراسة :
- مجموع الدرجات للطلاب بالكامل = 140
- مجموع ساعات الدراسة للطلاب = 9
- مجموع حاصل ضرب الساعات في درجات المواد = 260 .
وبالتالي من الجدول لوأردنا حساب الوسط الحسابي غيرالمرجح للدرجة الحاصل عليها الطالب هي :
= مجموع الدرجات ÷ عدد الطلاب =
= 140 ⁄ 5 = 28 degre
أما الوسط المرجح فيمكن ايجادة من هذة المعادلة :
degre 260 ⁄ 9 = 32.22 =
ونلاحظ ان هناك فرق كبير بين الوسط والوسط المرجح فالوسط المرجح هو الافضل في مثل هذة البيانات .
بعض خصائص الوسط الحسابي
1- مجموع انحرافات القيم عن وسطها الحسابي يساوي صفرا أي ان :
ولوأخذنا مثال على ذلك :
من الجدول التالي والذي يمثل درجات الطلاب 34, 32, 42, 37, 35, 40,36,40 ، والوسط الحسابي للدرجة هو = 37 c̅
2- الوسط الحسابي لمقدار ثابت يكون نفسة العدد الثابت .
مثال :
إذا تم اختيار مجموعة من طلاب فصلك وعددهم 6 , طولهم متساو تماما ويساوي 150 سم , فإذا طلب منك ايجاد المتوسط الحسابي لذلك سيكون هو العدد نفسة 150 سم , حتى باستخدام قانون المتوسط .
3- في حال وجود عدد من البيانات او المشاهدات للمتغير x ولتكن تلك المشاهدات x1, x2 ,..., xn عند ضرب هذة المشاهدات في اي عدد حقيقي ثابت وليكن a فإن متوسط القيم الجديدة يساوي المتوسط مضروبا في a أي ان :
مثال :
إذا كانت هذة بيانات لدرجات مجموعة من الطلبة 34, 32, 42, 37, 35, 40,36,40 ، فإن الوسط الحسابي للدرجة هو = 37 c̅ .
لو طبقنا الخاصية السابقة على هذا المثال بأخذقيمة العدد الثابت a = 2 سنجد أن
ax̅ = 2(37) = 74
كذلك نستطيع تطبيق الجهة الاخرى وتكون بنفس الناتج :
بضرب قيمة الثابت a= 2 في كل نتيجة من النتائج السابقة
Ax1= 2x40 , ax2= 2x36 ,………………………………………………,ax8=2 x34
ثم نوجد المتوسط الحسابي لهذة القيم سيكون الناتج 74 .
4- عند إضافة مقدار ثابت إلى كل قيمة من القيم , فإن الوسط الحسابي لتلك القيم الناتجة بعد الإضافة , يساوي الوسط الحسابي للقيم الاصلية قبل الإضافة مضافا إليها ذلك المقدار الثابت .
فإذا كانت لدينا القيم x1 , x2,..., xn وتم إضافة العدد او المقدار الثابت a سيكون القيمة الجديدة
y = x+ a فإن الوسط الحسابي لقيم y ( القيم الجديدة الناتجة بعد الاضافة ) هو ̅y = x̅ + a
مثال :
من المثال في الخاصية السابقة إذا قرر المعلم ان يضيف مثلا خمس درجات لكل طالب , سيتغير الوسط الحسابي ويصبح
37+5 ) =42 )، والجدول التالي يبين ذلك .
يتضح لنا من الجدول ان مجموع القيم الجديدة هو 336 , ومن ثم يكون الوسط الحسابي للقيم الجديدة هو
5- مجموع مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي أقل ما يمكن , أي أن
مميزات الوسط الحسابي
- سهل الحساب
- يحتوي على كافة وحدات التوزيع التكراري
- أفضل مقياس لتمثيل النزعة المركزية
عيوب الوسط الحسابي
- يتأثر بالقيم الشاذة والمتطرفة
- صعوبة حسابة في البيانات الوصفية
- صعوبة حسابة في الجداول التكرارية المفتوحة .