التوزيع ثنائي الحدين في الاحتمالات The Binomial Distribution

    التوزيع ثنائي الحدين في الاحتمالات The Binomial Distribution

    يستخدم هذا التوزيع في الحالات التي يكون فيها للظاهرة محل الدراسة نتيجتان فقط ومتنافيتان , ونسمي النتيجة محل الاهتمام بحالة النجاح , والأخرى بحالة الفشل .

    ونأخذ بعض الأمثلة على ذلك :

    - نتيجة الطالب في الاختبار ( نجاح , رسوب )
    - رمي القطعة المعدنية ( كتابة , صورة )
    إذا كررت محاولة n من المرات , بحيث أن كل محاولة لها نتيجتان فقط  متنافيتان هما :
    · النتيجة محل الاهتمام ( حالة نجاح ) وتتم باحتمال ثابت في كل محاولة هو P
    · النتيجة الأخرى حالة فشل وتتم باحتمال ثابت أيضا هو q= 1-p)).
    وبافتراض أن هذه المحاولات مستقلة , بمعنى أن نتيجة كل محاولة ليس لها علاقة بنتيجة المحاولة الأخرى , وإذا كان المتغير العشوائي X يعبر عن عدد حالات النجاح في ال n محاولة , فإن مدى المتغير العشوائي X والذي يعبر عن عدد حالات النجاح هو :
    X : {x=0,1,2,3,……,n} , ومن ثم يحسب الاحتمال : P(X = x) = f (x) بتطبيق المعادلة التالية :

    http://www.ar-science.com/

    مثال (1)

    إذا كان من المعلوم أن نسبة الشفاء من مرض معين باستخدام نوع معين من العقاقير الطبية هو
    0,60، إذا تناول هذا العقار 5 مصابين ذا المرض. إذا عرف المتغير العشوائي X , بإنة عدد المستجيبين (حالات الشفاء ) لهذا العقار .
    المطلوب :
    أ‌-        ماهو نوع المتغير ؟
    ب‌-    أكتب شكل دالة الاحتمال  f (x) لهذا المتغير ؟
    ت‌-    احسب الاحتمالات التالية :
    ·         ما احتمال استجابة ثلاثة مرضى لهذ العقار ؟
    ·         ماهو احتمال استجابة مريض واحد على الأقل ؟
    ·         ماهو احتمال استجابة اثنين مرضى على الأكثر ؟
    ث‌-    حدد شكل التوزيع .

    الحل :

    أ‌-        عدد حالات الاستجابة  Xمتغير كمي منفصل ، ومدى هذا المتغير في هذه الحالة هو:
    : X :{x = 0,1,2,3,4,5}

    http://www.ar-science.com/
      
    ج‌-      حدد شكل التوزيع .
    يتحدد شكل التوزيع ثنائي الحدين وفقا لقيمة احتمال النجاح  pكما يلي:
     إذا كان p = 0.5 فإن التوزيع الاحتمالي ثنائي الحدين يكون متماثل.
    إذا كان p < 0.5 فإن التوزيع الاحتمالي ثنائي الحدين يكون موجب الالتواء
    إذا كان p >0.5 فإن التوزيع الاحتمالي ثنائي الحدين يكون سالب الالتواء .
    وحيث أن  p=0.6 >0.5 فإن توزيع عدد حالات الإستجابة  يكون سالب الالتواء .

    مثال(2)
    أطلق صياد 3  رصاصات على هدف , فإذا كان احتمال إصابة الهدف هو 0.6 أوجد أحتمال :
    a)      إصابة الهدف ثلاث مرات
    b)      إصابة الهدف مره واحدة فقط .
    c)       عدم إصابة الهدف مره واحدة فقط
    d)      إصابة الهدف مرتين على الأقل .
    الحل :
     شكل دالة الاحتمال:  n=3   ,   q = 1- p = 0.4   ، p = 0.6    إذا :

    http://www.ar-science.com/

     مثال(3)
    كم مرة على الأقل يجب قذف قطعة نقود حتى يكون إحتمال ملاحظة وجة الكتابة مرة واحدة على الأقل أكبر من 0.9 ؟
    الحل :
    حيث أن ظهور الكتابة مرة واحدة على الأقل (إحتمال نجاح واحد على الأقل ) = 1-qn

    0,9 < 1-qn  qn < 0.1
    ولذلك يجب أن نبحث على اصغر عدد ) n ) بحيث يكون :
    qn < 0.1
    P(H) = P(T) = 0.5
    ∴  P = q = 0.5
    أي أن احتمال النجاح يساوي أحتمال الفشل .
    ونوجد pn   :  بجعل قيم n= 1 , 2 , …….. إلى أن نحصل على pn < 0.1 .



    شارك المقال

    قد يهمك أيضا :