التوزيع ثنائي الحدين في الاحتمالات The Binomial Distribution
يستخدم هذا التوزيع في الحالات التي يكون فيها للظاهرة محل الدراسة نتيجتان فقط ومتنافيتان , ونسمي النتيجة محل الاهتمام بحالة النجاح , والأخرى بحالة الفشل .ونأخذ بعض الأمثلة على ذلك :
- نتيجة الطالب في الاختبار ( نجاح , رسوب )- رمي القطعة المعدنية ( كتابة , صورة )
إذا كررت محاولة n من المرات , بحيث أن كل محاولة لها نتيجتان فقط متنافيتان هما :
· النتيجة محل الاهتمام ( حالة نجاح ) وتتم باحتمال ثابت في كل محاولة هو P
· النتيجة الأخرى حالة فشل وتتم باحتمال ثابت أيضا هو q= 1-p)).
وبافتراض أن هذه المحاولات مستقلة , بمعنى أن نتيجة كل محاولة ليس لها علاقة بنتيجة المحاولة الأخرى , وإذا كان المتغير العشوائي X يعبر عن عدد حالات النجاح في ال n محاولة , فإن مدى المتغير العشوائي X والذي يعبر عن عدد حالات النجاح هو :
X : {x=0,1,2,3,……,n} , ومن ثم يحسب الاحتمال : P(X = x) = f (x) بتطبيق المعادلة التالية :
مثال (1)
إذا كان من المعلوم أن نسبة الشفاء من مرض معين باستخدام نوع معين من العقاقير الطبية هو
0,60، إذا تناول هذا العقار 5
مصابين ذا المرض. إذا عرف المتغير العشوائي X , بإنة عدد المستجيبين
(حالات الشفاء ) لهذا العقار .
المطلوب :
أ-
ماهو نوع
المتغير ؟
ب-
أكتب شكل
دالة الاحتمال f
(x) لهذا المتغير ؟
ت-
احسب
الاحتمالات التالية :
·
ما
احتمال استجابة ثلاثة مرضى لهذ العقار ؟
·
ماهو
احتمال استجابة مريض واحد على الأقل ؟
·
ماهو
احتمال استجابة اثنين مرضى على الأكثر ؟
ث-
حدد شكل التوزيع
.
الحل :
أ-
عدد حالات الاستجابة
Xمتغير كمي منفصل ، ومدى هذا المتغير في هذه الحالة هو:
: X :{x
= 0,1,2,3,4,5}
ج-
حدد شكل التوزيع
.
يتحدد شكل التوزيع ثنائي الحدين وفقا لقيمة احتمال النجاح pكما يلي:
إذا كان p
= 0.5 فإن التوزيع الاحتمالي ثنائي الحدين يكون متماثل.
إذا كان
p < 0.5 فإن التوزيع الاحتمالي ثنائي الحدين يكون موجب الالتواء
إذا كان
p >0.5 فإن التوزيع الاحتمالي ثنائي الحدين يكون سالب
الالتواء .
وحيث أن p=0.6
>0.5 فإن توزيع عدد حالات الإستجابة يكون سالب
الالتواء .
مثال(2)
أطلق صياد 3 رصاصات على هدف , فإذا كان احتمال إصابة الهدف
هو 0.6
أوجد أحتمال :
a)
إصابة الهدف ثلاث مرات
b)
إصابة الهدف مره واحدة فقط .
c)
عدم إصابة الهدف مره واحدة فقط
d)
إصابة الهدف مرتين على الأقل .
الحل :
شكل دالة الاحتمال: n=3
, q
= 1- p = 0.4 ، p = 0.6
إذا
:
مثال(3)
كم مرة على الأقل يجب قذف قطعة نقود حتى يكون إحتمال
ملاحظة وجة الكتابة مرة واحدة على الأقل أكبر من 0.9 ؟
الحل :
حيث أن ظهور الكتابة مرة واحدة على الأقل (إحتمال نجاح
واحد على الأقل ) = 1-qn
0,9 < 1-qn ⇒ qn < 0.1 ∴
ولذلك يجب أن نبحث على اصغر عدد ) n
) بحيث يكون :
qn < 0.1
P(H) = P(T) = 0.5
∴ P = q = 0.5
أي أن احتمال
النجاح يساوي أحتمال الفشل .
ونوجد pn : بجعل قيم n= 1 , 2 , ……..
إلى أن نحصل على pn
< 0.1
.
