التوزيع ثنائي الحدين في الاحتمالات The Binomial Distribution

التوزيع ثنائي الحدين في الاحتمالات The Binomial Distribution

يستخدم هذا التوزيع في الحالات التي يكون فيها للظاهرة محل الدراسة نتيجتان فقط ومتنافيتان , ونسمي النتيجة محل الاهتمام بحالة النجاح , والأخرى بحالة الفشل .

ونأخذ بعض الأمثلة على ذلك :

- نتيجة الطالب في الاختبار ( نجاح , رسوب )
- رمي القطعة المعدنية ( كتابة , صورة )
إذا كررت محاولة n من المرات , بحيث أن كل محاولة لها نتيجتان فقط  متنافيتان هما :
· النتيجة محل الاهتمام ( حالة نجاح ) وتتم باحتمال ثابت في كل محاولة هو P
· النتيجة الأخرى حالة فشل وتتم باحتمال ثابت أيضا هو q= 1-p)).
وبافتراض أن هذه المحاولات مستقلة , بمعنى أن نتيجة كل محاولة ليس لها علاقة بنتيجة المحاولة الأخرى , وإذا كان المتغير العشوائي X يعبر عن عدد حالات النجاح في ال n محاولة , فإن مدى المتغير العشوائي X والذي يعبر عن عدد حالات النجاح هو :
X : {x=0,1,2,3,……,n} , ومن ثم يحسب الاحتمال : P(X = x) = f (x) بتطبيق المعادلة التالية :

http://www.ar-science.com/

مثال (1)

إذا كان من المعلوم أن نسبة الشفاء من مرض معين باستخدام نوع معين من العقاقير الطبية هو
0,60، إذا تناول هذا العقار 5 مصابين ذا المرض. إذا عرف المتغير العشوائي X , بإنة عدد المستجيبين (حالات الشفاء ) لهذا العقار .
المطلوب :
أ‌-        ماهو نوع المتغير ؟
ب‌-    أكتب شكل دالة الاحتمال  f (x) لهذا المتغير ؟
ت‌-    احسب الاحتمالات التالية :
·         ما احتمال استجابة ثلاثة مرضى لهذ العقار ؟
·         ماهو احتمال استجابة مريض واحد على الأقل ؟
·         ماهو احتمال استجابة اثنين مرضى على الأكثر ؟
ث‌-    حدد شكل التوزيع .

الحل :

أ‌-        عدد حالات الاستجابة  Xمتغير كمي منفصل ، ومدى هذا المتغير في هذه الحالة هو:
: X :{x = 0,1,2,3,4,5}

http://www.ar-science.com/
  
ج‌-      حدد شكل التوزيع .
يتحدد شكل التوزيع ثنائي الحدين وفقا لقيمة احتمال النجاح  pكما يلي:
 إذا كان p = 0.5 فإن التوزيع الاحتمالي ثنائي الحدين يكون متماثل.
إذا كان p < 0.5 فإن التوزيع الاحتمالي ثنائي الحدين يكون موجب الالتواء
إذا كان p >0.5 فإن التوزيع الاحتمالي ثنائي الحدين يكون سالب الالتواء .
وحيث أن  p=0.6 >0.5 فإن توزيع عدد حالات الإستجابة  يكون سالب الالتواء .

مثال(2)
أطلق صياد 3  رصاصات على هدف , فإذا كان احتمال إصابة الهدف هو 0.6 أوجد أحتمال :
a)      إصابة الهدف ثلاث مرات
b)      إصابة الهدف مره واحدة فقط .
c)       عدم إصابة الهدف مره واحدة فقط
d)      إصابة الهدف مرتين على الأقل .
الحل :
 شكل دالة الاحتمال:  n=3   ,   q = 1- p = 0.4   ، p = 0.6    إذا :

http://www.ar-science.com/

 مثال(3)
كم مرة على الأقل يجب قذف قطعة نقود حتى يكون إحتمال ملاحظة وجة الكتابة مرة واحدة على الأقل أكبر من 0.9 ؟
الحل :
حيث أن ظهور الكتابة مرة واحدة على الأقل (إحتمال نجاح واحد على الأقل ) = 1-qn

0,9 < 1-qn  qn < 0.1
ولذلك يجب أن نبحث على اصغر عدد ) n ) بحيث يكون :
qn < 0.1
P(H) = P(T) = 0.5
∴  P = q = 0.5
أي أن احتمال النجاح يساوي أحتمال الفشل .
ونوجد pn   :  بجعل قيم n= 1 , 2 , …….. إلى أن نحصل على pn < 0.1 .



أحدث أقدم