1/12/2015

التوزيع ثنائي الحدين في الاحتمالات The Binomial Distribution

التوزيع ثنائي الحدين في الاحتمالات The Binomial Distribution

يستخدم هذا التوزيع في الحالات التي يكون فيها للظاهرة محل الدراسة نتيجتان فقط ومتنافيتان , ونسمي النتيجة محل الاهتمام بحالة النجاح , والأخرى بحالة الفشل .

ونأخذ بعض الأمثلة على ذلك :

- نتيجة الطالب في الاختبار ( نجاح , رسوب )
- رمي القطعة المعدنية ( كتابة , صورة )
إذا كررت محاولة n من المرات , بحيث أن كل محاولة لها نتيجتان فقط  متنافيتان هما :
· النتيجة محل الاهتمام ( حالة نجاح ) وتتم باحتمال ثابت في كل محاولة هو P
· النتيجة الأخرى حالة فشل وتتم باحتمال ثابت أيضا هو q= 1-p)).
وبافتراض أن هذه المحاولات مستقلة , بمعنى أن نتيجة كل محاولة ليس لها علاقة بنتيجة المحاولة الأخرى , وإذا كان المتغير العشوائي X يعبر عن عدد حالات النجاح في ال n محاولة , فإن مدى المتغير العشوائي X والذي يعبر عن عدد حالات النجاح هو :
X : {x=0,1,2,3,……,n} , ومن ثم يحسب الاحتمال : P(X = x) = f (x) بتطبيق المعادلة التالية :

http://www.ar-science.com/

مثال (1)

إذا كان من المعلوم أن نسبة الشفاء من مرض معين باستخدام نوع معين من العقاقير الطبية هو
0,60، إذا تناول هذا العقار 5 مصابين ذا المرض. إذا عرف المتغير العشوائي X , بإنة عدد المستجيبين (حالات الشفاء ) لهذا العقار .
المطلوب :
أ‌-        ماهو نوع المتغير ؟
ب‌-    أكتب شكل دالة الاحتمال  f (x) لهذا المتغير ؟
ت‌-    احسب الاحتمالات التالية :
·         ما احتمال استجابة ثلاثة مرضى لهذ العقار ؟
·         ماهو احتمال استجابة مريض واحد على الأقل ؟
·         ماهو احتمال استجابة اثنين مرضى على الأكثر ؟
ث‌-    حدد شكل التوزيع .

الحل :

أ‌-        عدد حالات الاستجابة  Xمتغير كمي منفصل ، ومدى هذا المتغير في هذه الحالة هو:
: X :{x = 0,1,2,3,4,5}

http://www.ar-science.com/
  
ج‌-      حدد شكل التوزيع .
يتحدد شكل التوزيع ثنائي الحدين وفقا لقيمة احتمال النجاح  pكما يلي:
 إذا كان p = 0.5 فإن التوزيع الاحتمالي ثنائي الحدين يكون متماثل.
إذا كان p < 0.5 فإن التوزيع الاحتمالي ثنائي الحدين يكون موجب الالتواء
إذا كان p >0.5 فإن التوزيع الاحتمالي ثنائي الحدين يكون سالب الالتواء .
وحيث أن  p=0.6 >0.5 فإن توزيع عدد حالات الإستجابة  يكون سالب الالتواء .

مثال(2)
أطلق صياد 3  رصاصات على هدف , فإذا كان احتمال إصابة الهدف هو 0.6 أوجد أحتمال :
a)      إصابة الهدف ثلاث مرات
b)      إصابة الهدف مره واحدة فقط .
c)       عدم إصابة الهدف مره واحدة فقط
d)      إصابة الهدف مرتين على الأقل .
الحل :
 شكل دالة الاحتمال:  n=3   ,   q = 1- p = 0.4   ، p = 0.6    إذا :

http://www.ar-science.com/

 مثال(3)
كم مرة على الأقل يجب قذف قطعة نقود حتى يكون إحتمال ملاحظة وجة الكتابة مرة واحدة على الأقل أكبر من 0.9 ؟
الحل :
حيث أن ظهور الكتابة مرة واحدة على الأقل (إحتمال نجاح واحد على الأقل ) = 1-qn

0,9 < 1-qn  qn < 0.1
ولذلك يجب أن نبحث على اصغر عدد ) n ) بحيث يكون :
qn < 0.1
P(H) = P(T) = 0.5
∴  P = q = 0.5
أي أن احتمال النجاح يساوي أحتمال الفشل .
ونوجد pn   :  بجعل قيم n= 1 , 2 , …….. إلى أن نحصل على pn < 0.1 .



قد يهمك أيضا :

التوزيع ثنائي الحدين في الاحتمالات The Binomial Distribution
4/ 5
Oleh