حل المعادلة التربيعية بطريقة التحليل Quadratic equation
المعادلة التربيعية Quadratic equation
هي معادلة من الدرجة الثانية لها جذران يمكن الحصول عليهما بثلاث طرق :
- التحليل
- إكمال المربع
- القانون العام
صورة المعادلة التربيعية
يمكن كتابة المعادلة التربيعية على الشكل( الصورة العامة ) :
ax2 + bx + c=0
طريقة التحليل
وتسمى طريقة الأقواس أو المقص وتعتمد على الخطوات التالية :
- وضع المعادلة بصورتها القياسية (الصورة العامة)
- تحليل المقدار الثلاثي في الطرف الأيسر من المعادلة إلى حاصل ضرب مقدارين ,
يشتمل كل منهما على المتغير أوالمجهول الموجود في المعادلة من الدرجة الأولى
(X2∓b)(X1∓b) .
و (X2∓b))(X1∓b) وهذا يعني ان نحلل الحد المطلق (الأخير )
إلى عددين حاصل ضربهما يساوي الحد المطلق وحاصل جمعهما يساوي الحد الأوسط .
- نساوي المقدارين (X2∓b))(X1∓b) بالصفر , ولدينا قاعدة
تنص على أن ( إذا كان حاصل ضرب مقدارين يساوي الصفر , فلابد أن يوجد واحد منهما على
الأقل يساوي صفر ) .
- نساوي كل قوس على حدة من القوسين السابقين بالصفر لنحصل على حل المعادلة (
جذور المعادلة ).
أمثله متنوعة :
مثال1)
باستخدام طريقة التحليل حل المعادلة التالية :
X2 - 8x + 5 =0
الحل :
بإتباع الخطوات السابقة لحل المعادلة السابقة :
- المعادلة بصورتها العامة وبالتالي نتبع الخطوة التالية
- نحلل المقدارالثلاثي X2-8x+5=0 إلى مقدارين كمايلي :
- نكتب المقدارين بين قوسين ونساويهما بالصفر :
x-5) (x – 3)=0)
- نساوي كل مقدار على حدة بالصفر :
x - 5 =0 ⇒ x= 5
أو
x – 3 =0 ⇒ x = 3
وبالتالي فإن جذري المعادلة هما : (3,5)
مثال (2
حل المعادلة التالية باستخدام طريقة التحليل :
3y2 – 4y - 4=0
الحل :
باستخدام طريقة التحليل كما أسلفنا فالمعادلة جاهزة بالصورة العامة :
وبالتالي نستخدم المقص :
3y2 – 4y – 4 = 0
3y+2) (y – 2)=0)
وبالتالي :
إما 3y+2=0 أو y – 2=0
فإن :
y= - 2/3 or y = 2
طريقة أخرى :
معامل الحد الأول = 3
الحد الأخير أو المطلق = -4
وبالتالي فإن حاصل ضرب معامل الحد الأول (y2) في الحد المطلق = 12-
نحلل العدد 12- إلى عاملين مجموعهما يساوي الحد الأوسط 4- وبالتالي فإن العاملان
هما :
(2 , 6- ) .
أي أن(6y + 2y = -4y- ) ونكتب ذلك في المعادلة الأصلية كالتالي :
3y2 – 6y + 2y – 4 = 0
بأخذ العامل المشترك لكل حدين متتالين على حدة:
3y2 – 6y) + (2y – 4) = 0)
بأخذ العامل المشترك من كل حدين متتاليين :
3y(y – 2) +2 (y – 2) = 0
⇒ (3y+2) (y – 2)=0)
وبالتالي :
إما 3y+2=0 أو y – 2=0
فإن :
y= - 2/3 or y = 2
ملاحظة :
- إذا كانت إشارة الحد الثالث موجبة , فإن إشارة العاملين نفس إشارة الحد الأوسط
.
- إذا كانت إشارة الحد الثالث سالبة , فإن إشارة العاملين مختلفتين .
- العامل الأكبر دائما يأخذ إشارة الحد الأوسط في كل الحالات .