مبرهنات أساسية في الاحتمال
ونعرف دالة الاحتمال :
- لتكن W فضاء العينة لتجربة عشوائية , P(W) مجموعة أحداث هذا الفضاء ( منطلق الدالة ) , R مجموعة الأعداد الحقيقية( مستقر الدالة ) فإن الدالة P : P(W) ® R تسمى دالة احتمال إذا توفرت فيها المسلمات التالية :
1- P(A) ³ 0 " A∈P(W)
2- P(W) = 1
3- If A,B⊂W , (A ∩ B = Ø) ⇒P(AUB)= P(A) + P(B)
أي إذا كان A , B ⊂ W , وكانت A , B حادثتين متنافيتين فإن :
P(A) + P(B) = ( P(A U B
مبرهنة (1)
احتمال وقوع الحادثة المستحيلة يساوي صفرا , أي أن: P(Ø)= 0
البرهان :
W …………………………………….(1) = W U Ø ∵
\P(W U Ø ) = P(W)
) ∵ Ø ∩ W = Ø متنافيتان)
P(W U Ø ) = P(W) + P(Ø)……………………………………(2)
From (1) , (2) :
P(W) = P(W ) + P(Ø)
⇒ P(Ø) = P(W)-P(W) =0
⇒ P(Ø) = 0 #
مبرهنة (2)
إذا كانت هي A̅ الحادثة المكملة للحادثة A في فضاء العينة W فإن : P(A̅)=1-P(A)
البرهان :
∵ الحدثان A, A̅ متنافيان لأن :
∵ الحدثان A, A̅ متنافيان لأن :
A U A̅ = W , A∩A̅ = Ø
\ P(A U A̅ )= P(A) + P(A̅)
∵ A U A̅ = W
\ P(W) = P(A) + P(A̅)
ومن تعريف دالة الاحتمال لدينا
P(W) = 1 Define
\ P(A) + P(A̅) =1 ⇒ P(A̅) = 1- P(A)
مبرهنة (3)
لأي حادثتين A , B ∈ W يكون : P(AB̅)= P(A) - P(AB)
البرهان:
من الشكل المرسوم سابقا نلاحظ أن :
AB̅ U AB =A
وعلية ( P(AB̅ U AB) =P(A
∵ AB̅ ∩AB = Ø
\ P(A)=P(AB̅ )+P( AB) ⇒P(AB̅ )=P(A)-P( AB)
نتيجة (1)
إذا كانت A , Bحادثتين متنافيتين فإن :
P( AB̅ ) = P( A) , P(BA̅ ) = P(B)
نتيجة (2)
لأي حادثتين A , B ∈ W , B ⊆ A :
1) P( AB̅ ) = P( A)- P(B)
2) P(B) £P(A)
البرهان :
1) P( AB̅ ) = P( A)- P(B)
∵ B⊆ A , \ AB =B
\ P( AB) = P(B)
مبرهنة (3) ∵ P( AB̅ )=P( A)-P(AB)
مبرهنة (3) ∵ P( AB̅ )=P( A)-P(AB)
\ P( AB̅ ) = P( A) -P(B)
2) P(B) £ P(A)
الحدثان A\B , B حدثان متنافيان وكذلك B U (A\B) = A ومنة :
P(A)= P(B U (A\B)) ⇒ P(A)= P(B)+P(A\B)
⇒P(A) - P(B)= P(A\B) ³0 ⇒ P(A) -P(B) ³0
⇒ P(A) ³ P(B)
مبرهنة (4)
في الفضاء الاحتمالي ( W , P(W) ,P) أيا كان الحدثان A,B فإن :
P(A\B)= P(A) – P(A∩B)
البرهان :
الحدثان , A\B A∩B حدثان متنافيان وكذلك (A∩B) U (A\B) = A ومنة :
P(A)=P[(A∩B)U(A\B)]⇒P(A)= P(A∩B)+P(A\B)
⇒P(A\B) =P(A) – P(A∩B)
مبرهنة (5)
لأي حادثتان A,B ∈ W فإن : P(AUB)= P(A)+P(B)-P(A∩B)
البرهان :
بالاستفادة من الشكل المرسوم :
الحدثان , (A\B=AB̅ ) B حدثان متنافيان وكذلك (A U B) =(A\B ) U B ومنة :
P(A U B) =P[(A\B ) U B] ⇒ P(A U B) =P (A\B ) +P( B)
لكن P(A\B) = P(A) _ P(A∩B) نعوض فنجد :
P(A U B) = P(A)+P(B) – P(A ∩ B)
ويمكن تعميم المبرهنة في حال ثلاث أحداث (A , B,C) فتكون :
P(A U B U C) = P(A)+P(B)+P(C)
– P(A ∩ B)- P(A ∩ C)- P(B ∩ C)+ P(A∩B∩C)
مثال :
إذا كان :
P(A)= 0.4 , P(B)= 0.2 , P(A U B)= 0.5 , P(AB)= 0.4
فأوجد أحتمال :
1) عدم وقوع الحادثة A 2) وقوع الحادثة A دون وقوع الحادثة B
3) وقوع إحدى الحادثتين A أو B على الأكثر 4) عدم وقوع أي من الحادثتين A أو B
الحل :
1) إحتمال عدم وقوع الحادثة Aهو P( A̅ )
∵P( A̅ ) = 1- P( A ) =1 – 0.4 = 0.6
2) أحتمال وقوع الحادثة A دون وقوع الحادثة B هو P( AB̅ )
P( AB̅ ) = P( A)- P(AB)= 0.4 -0.1=0.3
3) وقوع إحدى الحادثتين A أو B على الأكثر يكافئ عدم وقوعهما معا ويكون بذلك الاحتمال المطلوب P(AB)̅
\ P(AB)̅ = 1 - P(AB) = 1 - 0.1 = 0.9
4) عدم وقوع أي من الحادثتين A أو B أي أن :
P( A̅ B̅ ) = P(A U B)̅ = 1 – 0.5 = 0.5