مبرهنات أساسية في الاحتمال

    مبرهنات أساسية في الاحتمال

    ونعرف دالة الاحتمال :
    -         لتكن W فضاء العينة لتجربة عشوائية , P(W) مجموعة أحداث هذا الفضاء ( منطلق الدالة ) , R مجموعة الأعداد الحقيقية( مستقر الدالة ) فإن الدالة P : P(W® R     تسمى دالة احتمال إذا توفرت فيها المسلمات التالية :
            1- P(A)  ³ 0  " AP(W)
            2-   P(W)  = 1
            3-  If   A,BW  , (A  B = ØP(AUB)= P(A) + P(B)         
    أي إذا كان  A  ,  B     W  ,  وكانت  A  ,  B حادثتين متنافيتين فإن :
    P(A) + P(B) = ( P(A U B

    مبرهنة (1)

    احتمال وقوع الحادثة المستحيلة يساوي صفرا , أي أن:    P(Ø)= 0
    البرهان :
    W …………………………………….(1) =  W U Ø ∵       
        \P(W U Ø ) = P(W)
    )  ∵  Ø    W = Ø  متنافيتان)       
         P(W U Ø ) = P(W) + P(Ø)……………………………………(2)
         From     (1) , (2) :
         P(W) = P(W ) + P(Ø) 
          P(Ø) = P(W)-P(W) =0   
         P(Ø) = 0                           #    

    مبرهنة (2)

     إذا كانت هي A̅ الحادثة  المكملة للحادثة A في فضاء العينة W فإن :   P(A̅)=1-P(A)

    http://www.ar-science.com

    البرهان :
     الحدثان A, A̅ متنافيان لأن :
                A U A̅ = W  ,  AA̅  = Ø
             \ P(A U A̅ )= P(A) + P(A̅)
              ∵ A U A̅ = W 
               \ P(W) =   P(A) + P(A̅)
    ومن تعريف دالة الاحتمال لدينا             
                  P(W) = 1                  Define    
              \  P(A) + P(A̅) =1    P(A̅) = 1- P(A)

     مبرهنة (3)

    لأي حادثتين  A , B  W  يكون  :  P(AB̅)= P(A)  -  P(AB)

    http://www.ar-science.com

    البرهان:
    من الشكل المرسوم سابقا نلاحظ أن :
               AB̅ U AB =A     
    وعلية      (            P(AB̅ U AB) =P(A
              ∵ AB̅ AB  =  Ø
             \ P(A)=P(AB̅  )+P( AB)  P(AB̅  )=P(A)-P( AB)
    نتيجة (1)
    إذا كانت    A , Bحادثتين متنافيتين فإن :
    P(  AB̅  )  =   P( A)                    ,                   P(BA̅  )  = P(B)
    نتيجة (2)
    لأي حادثتين A , B  W      ,       B  A    :
    1) P( AB̅  ) =  P( A)- P(B)
    2) P(B) £P(A)          
    البرهان :
      1) P( AB̅  ) =  P( A)- P(B)
    ∵ B A  ,   \ AB =B
    \ P( AB)  = P(B)   
       مبرهنة (3)   ∵ P( AB̅  )=P( A)-P(AB)   
                  \  P( AB̅  ) =  P( A)  -P(B)    
         2) P(B) £ P(A)
    http://www.ar-science.com
             

    الحدثان A\B  ,    B      حدثان متنافيان وكذلك B U (A\B) = A ومنة :
    P(A)= P(B U (A\B))  P(A)= P(B)+P(A\B)          
         ⇒P(A) -  P(B)= P(A\B) ³ P(A) -P(B) ³0         
     P(A)  ³  P(B)

    مبرهنة (4)

    في الفضاء الاحتمالي ( W , P(W) ,P) أيا كان الحدثان  A,B فإن :
    P(A\B)= P(A) – P(AB)                     
    البرهان :
    الحدثان  ,  A\B  AB  حدثان متنافيان وكذلك  (AB) U (A\B) = A ومنة :
    P(A)=P[(AB)U(A\B)]P(A)= P(AB)+P(A\B)          
    P(A\B) =P(A) – P(AB)                               
    http://www.ar-science.com
                                 



    مبرهنة (5)

    لأي حادثتان A,B   W   فإن : P(AUB)= P(A)+P(B)-P(AB)
    البرهان :
    بالاستفادة من الشكل المرسوم  :
    الحدثان  ,  (A\B=AB̅  )  B  حدثان متنافيان وكذلك  (A U B) =(A\B ) U B  ومنة :
    P(A U B) =P[(A\B ) U B]  P(A U B) =P (A\B ) +P( B)
    لكن  P(A\B) = P(A) _ P(AB)   نعوض فنجد :
    P(A U B) = P(A)+P(B) – P(A  B)
    ويمكن تعميم المبرهنة في حال ثلاث أحداث (A , B,C) فتكون :
    P(A U B U C) = P(A)+P(B)+P(C)                              
                – P(A  B)- P(A  C)- P(B  C)+ P(ABC)        



    http://www.ar-science.com

    مثال :

    إذا كان :
    P(A)= 0.4      ,  P(B)= 0.2    ,     P(A U B)= 0.5     ,   P(AB)= 0.4    
    فأوجد أحتمال :
    1)    عدم وقوع الحادثة A                         2) وقوع الحادثة A دون وقوع الحادثة B
    3) وقوع إحدى الحادثتين A أو B على الأكثر   4) عدم وقوع أي من الحادثتين A أو B
    الحل :
    1)    إحتمال عدم وقوع الحادثة  Aهو P( A̅  )
    ∵P( A̅  )  = 1- P( A ) =1 – 0.4 = 0.6                
    2)    أحتمال وقوع الحادثة A دون وقوع الحادثة B هو  P(  AB̅  )
    P( AB̅  ) =  P( A)- P(AB)= 0.4 -0.1=0.3    
    3)     وقوع إحدى الحادثتين A أو B على الأكثر يكافئ عدم وقوعهما معا ويكون بذلك الاحتمال المطلوب   P(AB)̅  
    \ P(AB)̅  =   1 -  P(AB) = 1 - 0.1 = 0.9    
    4)     عدم وقوع أي من الحادثتين A أو B أي أن :
    P( A̅ B̅  ) = P(A U B)̅ = 1 – 0.5 = 0.5 

    شارك المقال

    قد يهمك أيضا :