1/01/2015

مبرهنات أساسية في الاحتمال

مبرهنات أساسية في الاحتمال

ونعرف دالة الاحتمال :
-         لتكن W فضاء العينة لتجربة عشوائية , P(W) مجموعة أحداث هذا الفضاء ( منطلق الدالة ) , R مجموعة الأعداد الحقيقية( مستقر الدالة ) فإن الدالة P : P(W® R     تسمى دالة احتمال إذا توفرت فيها المسلمات التالية :
        1- P(A)  ³ 0  " AP(W)
        2-   P(W)  = 1
        3-  If   A,BW  , (A  B = ØP(AUB)= P(A) + P(B)         
أي إذا كان  A  ,  B     W  ,  وكانت  A  ,  B حادثتين متنافيتين فإن :
P(A) + P(B) = ( P(A U B

مبرهنة (1)

احتمال وقوع الحادثة المستحيلة يساوي صفرا , أي أن:    P(Ø)= 0
البرهان :
W …………………………………….(1) =  W U Ø ∵       
    \P(W U Ø ) = P(W)
)  ∵  Ø    W = Ø  متنافيتان)       
     P(W U Ø ) = P(W) + P(Ø)……………………………………(2)
     From     (1) , (2) :
     P(W) = P(W ) + P(Ø) 
      P(Ø) = P(W)-P(W) =0   
     P(Ø) = 0                           #    

مبرهنة (2)

 إذا كانت هي A̅ الحادثة  المكملة للحادثة A في فضاء العينة W فإن :   P(A̅)=1-P(A)

http://www.ar-science.com

البرهان :
 الحدثان A, A̅ متنافيان لأن :
            A U A̅ = W  ,  AA̅  = Ø
         \ P(A U A̅ )= P(A) + P(A̅)
          ∵ A U A̅ = W 
           \ P(W) =   P(A) + P(A̅)
ومن تعريف دالة الاحتمال لدينا             
              P(W) = 1                  Define    
          \  P(A) + P(A̅) =1    P(A̅) = 1- P(A)

 مبرهنة (3)

لأي حادثتين  A , B  W  يكون  :  P(AB̅)= P(A)  -  P(AB)

http://www.ar-science.com

البرهان:
من الشكل المرسوم سابقا نلاحظ أن :
           AB̅ U AB =A     
وعلية      (            P(AB̅ U AB) =P(A
          ∵ AB̅ AB  =  Ø
         \ P(A)=P(AB̅  )+P( AB)  P(AB̅  )=P(A)-P( AB)
نتيجة (1)
إذا كانت    A , Bحادثتين متنافيتين فإن :
P(  AB̅  )  =   P( A)                    ,                   P(BA̅  )  = P(B)
نتيجة (2)
لأي حادثتين A , B  W      ,       B  A    :
1) P( AB̅  ) =  P( A)- P(B)
2) P(B) £P(A)          
البرهان :
  1) P( AB̅  ) =  P( A)- P(B)
∵ B A  ,   \ AB =B
\ P( AB)  = P(B)   
   مبرهنة (3)   ∵ P( AB̅  )=P( A)-P(AB)   
              \  P( AB̅  ) =  P( A)  -P(B)    
     2) P(B) £ P(A)
http://www.ar-science.com
         

الحدثان A\B  ,    B      حدثان متنافيان وكذلك B U (A\B) = A ومنة :
P(A)= P(B U (A\B))  P(A)= P(B)+P(A\B)          
     ⇒P(A) -  P(B)= P(A\B) ³ P(A) -P(B) ³0         
 P(A)  ³  P(B)

مبرهنة (4)

في الفضاء الاحتمالي ( W , P(W) ,P) أيا كان الحدثان  A,B فإن :
P(A\B)= P(A) – P(AB)                     
البرهان :
الحدثان  ,  A\B  AB  حدثان متنافيان وكذلك  (AB) U (A\B) = A ومنة :
P(A)=P[(AB)U(A\B)]P(A)= P(AB)+P(A\B)          
P(A\B) =P(A) – P(AB)                               
http://www.ar-science.com
                             



مبرهنة (5)

لأي حادثتان A,B   W   فإن : P(AUB)= P(A)+P(B)-P(AB)
البرهان :
بالاستفادة من الشكل المرسوم  :
الحدثان  ,  (A\B=AB̅  )  B  حدثان متنافيان وكذلك  (A U B) =(A\B ) U B  ومنة :
P(A U B) =P[(A\B ) U B]  P(A U B) =P (A\B ) +P( B)
لكن  P(A\B) = P(A) _ P(AB)   نعوض فنجد :
P(A U B) = P(A)+P(B) – P(A  B)
ويمكن تعميم المبرهنة في حال ثلاث أحداث (A , B,C) فتكون :
P(A U B U C) = P(A)+P(B)+P(C)                              
            – P(A  B)- P(A  C)- P(B  C)+ P(ABC)        



http://www.ar-science.com

مثال :

إذا كان :
P(A)= 0.4      ,  P(B)= 0.2    ,     P(A U B)= 0.5     ,   P(AB)= 0.4    
فأوجد أحتمال :
1)    عدم وقوع الحادثة A                         2) وقوع الحادثة A دون وقوع الحادثة B
3) وقوع إحدى الحادثتين A أو B على الأكثر   4) عدم وقوع أي من الحادثتين A أو B
الحل :
1)    إحتمال عدم وقوع الحادثة  Aهو P( A̅  )
∵P( A̅  )  = 1- P( A ) =1 – 0.4 = 0.6                
2)    أحتمال وقوع الحادثة A دون وقوع الحادثة B هو  P(  AB̅  )
P( AB̅  ) =  P( A)- P(AB)= 0.4 -0.1=0.3    
3)     وقوع إحدى الحادثتين A أو B على الأكثر يكافئ عدم وقوعهما معا ويكون بذلك الاحتمال المطلوب   P(AB)̅  
\ P(AB)̅  =   1 -  P(AB) = 1 - 0.1 = 0.9    
4)     عدم وقوع أي من الحادثتين A أو B أي أن :
P( A̅ B̅  ) = P(A U B)̅ = 1 – 0.5 = 0.5 

قد يهمك أيضا :

مبرهنات أساسية في الاحتمال
4/ 5
Oleh