الحوادث المستقلة
يقال عن حادثتين A ,B انهما حادثتان مستقلتان إذا كان حدوث أحدهما لا يتأثر بحدوث او عدم حدوث الأخرى , أي أن استقلال حادثتين A ,B يعني أن :
P(A\B)=P(A) or P(B\A)=P(B)
وبالتعويض في قانون حاصل الضرب نحصل على القانون :
P(AB)=P(A)ⅹP(B)
وهو أيضا شرط أساسي لكون A,B حادثتين مستقلتين .
تعريف :
إذا كانت A, B حادثتين مستقلتين فإن :
P(AB)=P(A)ⅹP(B)
مثال 1):
إذا كان : P(A∪B)=P(A) P(B̅) + P(B)
أثبت أن : A ,B حادثتان مستقلتان ؟
الحل :
نبحث في تحقق الشرط : P(AB)=P(A) P(B)
فإذا تحقق : كانت A , B حادثتين مستقلتين , و إذا لم يتحقق : كانت A , B حادثتين غير مستقلتين .
∵P(A∪B)=P(A) P(B̅) + P(B) ……………(1)
∵P(A∪B)=P(A) + P(B) – P(AB)………(2)
بمساواة (1) و (2) يصبح :
∴P(A) + P(B) – P(AB)= P(A) P(B̅) + P(B)
=P(A)[1- P(B)] + P(B)
=P(A) - P(A)P(B) + P(B)
∴P(A) + P(B) – P(AB) =P(A) - P(A)P(B) + P(B)
وبحذف المتشابة من الطرفين :
– P(AB)= - P(A)P(B) ⇒ P(AB)= P(A)P(B)
∴ A , B حادثتان مستقلتان .
مثال 2) :
إذا كانت : A⊂B وكان :
فهل A , B حادثتين مستقلتين ؟
الحل :
نبحث في تحقق الشرط :
P(AB)= P(A) P(B)
أولا: نوجد قيمة الطرف الأيمن في الشروط كمايلي :
ثانيا : نوجد قيمة الطرف الأيسر من الشرط كمايلي :
ثالثا : نقارن بين ما تم إيجاده أولا وثانيا فنجد أن :
أي أن :
P(AB)≠ P(A) P(B)
∴ لم يتحقق شرط الاستقلال
∴ A , B حادثتان غير مستقلتين