12/20/2014

حل معادلات الدرجة الثانية في متغير واحد بطريقة القانون العام

حل معادلات الدرجة الثانية في متغير واحد بطريقة القانون العام

تصادفنا الكثير من المعادلات التي يصعب حلها باستخدام التحليل وقد تأخذ منا وقتا أطول من اللازم في حلها بإكمال المربع ,مثل المعادلة التالية :

X2 – 8X  + 2 = 0
ومن ذلك كانت الحاجة إلى قانون يسهل حل مثل هذه المعادلات وقد تم اكتشاف ما يسمى بالقانون العام لحل مثل تلك المعادلات .

القانون العام


يعتبر هذا القانون العام لحل معادلة الدرجة الثانية ذات المجهول الواحد بشكل عام سواء كانت من النوع الذي ذكرنا سابقا أو من النوع السهل وسنستعرض مجموعة من الأمثلة لتوضيح ذلك .

وقبل البدء بأمثلة سنستخدم خطوة بسيطة تجعل القانون سهل جدا وأسهل حلا في المعادلات وهذه الخطوه هي التعرف على المميز .

ماهو المميز ؟

المميز هو ماتحت الجذر في القانون العام  ويرمز له ب(  ) ويقرأ ( دلتا )
                                                ∆ = b2 – 4ac
حيث ان المعادلة تكون بالصيغة :
aX2 ∓ bX∓C=0
a هي معامل X2
B  هي معامل X
C  الحد المطلق
 وتوجد ثلاث حالات في المميز هي :
1 ) إذا كانت 0 >   أي إذا كان الدلتا عددا موجب أكبر من الصفر فإن المعادلة لها حلان حقيقيان  غير متساويين .
 2 ) إذا كانت  = 0  أي إذا كان الدلتا تساوي الصفر فإن المعادلة لها حلان حقيقيان  متساويين .
3 ) إذا كانت < 0   أي إذا كان الدلتا عددا سالب أصغر من الصفر فإن المعادلة ليس لها حل .

أمثلة

حل المعادلات التالية باستخدام القانون العام
1 ) x2 – 4x+ 6 =0                                       2) x2 – 4x – 5 =0
3)  x2 – 4x + 4=0                                        4 ) 12 x2 + 5x -2 =0
الحل :
1 ) x2 – 4x+ 6 =0

a = 1   ,   b = -4  ,  c = 6
    كما ذكرت سابقا نبدأ بإيجاد  المميز للمعادلة :
                                             ∆ = b2 – 4ac = (-4)2 - 4×1×6 =16-24<0   
 ∆ < 0 وبالتالي كما ذكرنا سابقا إذا كانت الدلتا أصغر من الصفر فلايوجد حل للمعادلة .
 المعادلة ليس لها حل .
وهنا يتجلى لنا مدى أهمية أيجاد الدلتا 
                         
    2) x2 – 4x – 5 =0

a = 1   ,   b = -4  ,  c = -5
    كما ذكرت سابقا نبدأ بإيجاد  المميز للمعادلة :
                                             ∆ = b2 – 4ac = (-4)2 - 4×1×-5 =16+24= 40 > 0
 المعادلة لها حلان  غير متساويين
لأيجاد الحل نستخدم القانون العام كمايلي :

http://www.ar-science.com


مجموعة الحل : {-1,5}

3)  x2 – 4x + 4=0

a = 1   ,   b = -4  ,  c = 4
    كما ذكرت سابقا نبدأ بإيجاد  المميز للمعادلة :
                                             ∆ = b2 – 4ac = (-4)2 - 4×1×4 =16 - 0= 0 = 0
 المعادلة لها حلان  متساويان
لأيجاد الحل نستخدم القانون العام كمايلي :


http://www.ar-science.com

مجموعة الحل : {2} .

4 ) 12 x2 + 5x -2 =0 

a = 12   ,   b = +5  ,  c = -2
    كما ذكرت سابقا نبدأ بإيجاد  المميز للمعادلة :
                                             ∆ = b2 – 4ac = (5)2 - 4×12×-2 =25 + 96 = 121
 المعادلة لها حلان  غير متساويين لأن   > 0

لإيجاد الحل نستخدم القانون العام كمايلي :
http://www.ar-science.com


9 التعليقات

شكراااااااااااااااااااااا

شرح مميز جزاكم الله خيراً

ياجماعه ليش بأول مسأله حطينا جذر الدلتا ب ٣٦ والناتج ٤٠

الشرح مرررررره حلو شكرا كثير



في المسالة الأخيرة، السطر الثالث من الآخر:
X1= كذا كذا
تم جمع سالب 5 مع موجب 11 ليكون الناتج موجب 12 والصحيح هو موجب 6 ، لكن الجواب النهائي صحيح وهو واحد على أربعة

شكرا على التنبيه :) ،، كلامك كان صحيحا هو خطأ غير مقصود

ممكن لينك تحميل الكتاب و فين باقي الابواب و شرح جميل جدا و افادني برجاء الرد ضروري و جزاكم الله كل خير

شكرا جزيلا