التناسب وتطبيقاتة (مقياس الرسم , التقسيم التناسبي)

التناسب وتطبيقاته (مقياس الرسم , التقسيم التناسبي)

تعريفة : هو تساوي كميتين أو اكثر (نسبتين أو اكثر )
ويمكن كتابتة بالصورة ( أ : ب = ﺠ : د )وتقرأ ( أ إلى ب تساوي ﺠ إلى د ) ويسمى ( أ , ب طرفي التناسب) , ( ب , ﺠ وسطي التناسب).
وممكن أن نعرف وجود التناسب بالأختصار للنسبتين (إذا كانت بعد الأختصار متساويتين ).
أمثلة :-
بين أياً من أزواج النسب التالية تمثل تناسبا (بالاختصار) :-
1) 2 : 4 , 3 : 6 2) 9 : 12 , 2 : 3
الحل :-
1) 2 : 4 = 1 : 2 ( بقسمة كل من حدي النسبة على 2 )
3 : 6 = 1 : 2 ( بقسمة كل من حدي النسبة على 3 )
إذن 2 : 4 , 3 : 6 يمثل تناسباً
2 ) 9 : 12= 3 : 4 (بقسمة كل من حدي النسبة على 3 )
2 : 3 = 2 : 3 ( في أبسط صورة )
3 : 4 ≠ 2 : 3 إذن 9 : 12 , 2 : 3 لا تشكل تناسباً.
قاعدة الضرب التبادلي :
 أوجد حاصل ضرب الطرفين , وحاصل ضرب الطرفين في الآتي :
( 2 : 4 , 3 : 6 ) حاصل ضرب الطرفين 2 × 6 = 12
حاصل ضرب الوسطين 4 × 3 = 12
ماذا تستنتج ؟
مما سبق نجد أن في كل تناسب :
حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين
إي إذا كان أ : ب = ﺠ : د فإن أ × د = ب × ﺠ ونسمي ذلك بقاعدة الضرب التبادلي
مثال 1) :
أي زوج من النسب التالية يشكل تناسبا ً ؟ ولماذا ؟
1) 3 : 6 , 4 : 8 2) 0,1 : 6 , 0,2 : 12 3) 0,1 : 0,7 , 0,2 : 1,4 .
الحل :
1) 3 : 6 , 4 : 8 , بضرب الطرفين 3 × 8 = 24 ,
بضرب الوسطين 6 × 4 = 24 ,
ومنه ( 24 = 24 ) لذلك فإن 3 : 6 = 4 : 8, إذن تشكل تناسباً .
لأن حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين
2) 0,1 : 6 , 0,2 : 12
بضرب الطرفين 0٫1 × 12 = 1٫2 ,
بضرب الوسطين 0٫2 × 6 = 1٫2 ,
ومنه ( 1٫2 = 1٫2 ) لذلك فإن 0,1 : 6 = 0,2 : 12 , إذن تشكل تناسباً .
لأن حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين.
3) 0,1 : 0,7 , 0,2 : 1,4
بضرب الطرفين 0٫1 × 1٫4 = 0٫14 ,
بضرب الوسطين 0٫7 × 0٫2 = 0٫14 ,
ومنه (0٫14 = 0٫14 ) لذلك فإن 0,1 : 0,7 =0,2 : 1,4 , إذن تشكل تناسباً .
لأن حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين
مثال 2) :
أوجد قيمة ( س ) فيما يلي :
1) س : 4 = 20 : 8 2) 3 : 3 + س= 4 : 12
الحل :
1) س : 4 = 20 : 8 باستخدام قاعدة الضرب التبادلي نجد أن :
8 × س = 4 × 20
8س = 80 بالقسمة على 8 ( معامل س ) ينتج أن :
س = 10 .
2) 3 : 3 + س= 4 : 12 باستخدام قاعدة الضرب التبادلي نجد أن :
3 × 12 =( 3+ س) × 4 بالضرب
36 = 12 + 4س نقلب 12 باتجاة ال 36 مع تغيير الإشارة
36 – 12 = 4س بالطرح
24 = 4س بالقسمة على 4 ( معامل س ) ينتج أن
س = 6.

تطبيقات على التناسب

أولا ً : مقياس الرسم

عند رسم خريطة لدولة ما , أو رسم مخطط هندسي لقطعة أرض على الورقة , نلجأ إلى تصغير الأبعاد الحقيقية بنسبة تصغير معينة , أي رسم صورة مصغرة لقطعة الأرض على الورقة , لأننا لا نستطيع رسم أي مخطط خارطة بنفس الأبعاد الحقيقة لقطعة الأرض على الورق .
مثال 1 ) :-
إذا أراد أحد المهندسين وضع مخطط لبناء مسجد على قطعة أرض مستطيلة الشكل , أبعادها 80 م , 70 م , فعلية أولاً البحث عن نسبة تصغير مناسبة فإذا أخذ النسبة ( 1 /10 ) , أي أن كل متر في المخطط يقابلة 10 أمتار في الواقع لتصبح أبعاد ورقة المخطط 8 م , 7 م , وهذة أبعاد غير مناسبة على الورق .
وإذا أخذ النسبة ( 1 /100) , فإن كل 1 سم في المخطط يقابلة 100سم في الواقع لتصبح أبعاد المخطط 80 سم , 70 سم , وهذة أبعاد مناسبة إلى حد ما .
وإذا أخذ النسبة ( 1 /1000) فإن كل 1سم في المخطط يقابلة 1000سم في الواقع لتصبح أبعاد المخطط 8 سم , 7 سم , وهذة أبعاد مناسبة .
لذلك فإن الشكل بالصفحة السابقة يمثل مخططاً أبعادة 8 سم , 7 سم بعد تصغير أبعاد قطعة الأرض بنسبة تصغير ( 1 / 1000) .
إذن فنسبة التصغير 1 / 10 , 1 / 100 , 1 / 1000 , ...., ...... , ........
لذلك يمكن القول أن النسبة التي تمثل البعد بين أي نقطتين على الرسم ( المخطط ) إلى البعد الحقيقي بينهما في الواقع , تسمى مقياس الرسم .
مقياس الرسم = البعد بين أي نقطتين على الرسم ÷ البعد الحقيقي بينهما
مثال 2) :-
رسمت غرفة مستطيلة الشكل طولها 8 م وعرضها 6 م , بمقياس رسم
3 : 1000 , إحسب طول وعرض الغرفة في الرسم ؟
الحل :- 1) إيجاد الطول :-
مقياس الرسم = طول الغرفة في الرسم ÷ طول الغرفة الحقيقي
أي أن 3 : 1000 = الطول في الرسم : 8 م
( 8م = 8× 100 = 800 سم )
وباستخدام التناسب تصبح :
3 × 800 = 1000 × الطول على الرسم
( بالقسمة على 1000 )
الطول في الرسم = ( 3 × 800) / 1000
إذن الطول في الرسم = 2400 / 1000 =2,4 سم

2) إيجاد العرض :

مقياس الرسم =عرض الغرفة في الرسم ÷ عرض الغرفة الحقيقي
أي أن 3 : 1000 = العرض في الرسم : 6 م
( 6م = 6× 100 = 600 سم )
وباستخدام التناسب تصبح :
3 × 600 = 1000 × الطول على الرسم
( بالقسمة على 1000 )
العرض في الرسم = ( 3 × 600) / 1000
إذن العرض في الرسم = 1800 / 1000 =1,8 سم

ثانياً : التقسيم التناسبي

إذا أردنا تقسيم 150 ريالاً على شخصين , بالتساوي فيأخذ كل منهما 75 ريالاَ , وفي هذة الحالة تكون نسبة التقسيم 1 : 1 .
اما إذا أردنا تقسيم المبلغ المذكور على الشخصين بنسبة 2 : 3 , فكم يكون نصيب كل واحد ؟
يمكنك إجراء عملية التقسيم هذة على النحو التالي :
عندما يعطي الشخص الأول ريالين فإن الشخص الثاني يعطي 3 ريالات وبهذا نكون قد وزعنا 5 ريالات من أصل المبلغ .
لنأخذ 5 ريالات , ونوزعها كما سبق :
ريالان للشخص الأول , و 3 ريالات للشخص الثاني وعند الاستمرار في ذلك سنجد أن :
نصيب الأول = ( 2 / 5 ) المبلغ , وهو 60 ريالاً .
ونصيب الثاني = ( 3 / 5 ) المبلغ , وهو 90 ريالاً .