خواص التناسب :
1) الخاصية الأولى :
1) الخاصية الأولى :
إذا كان أ / ب = ﺠ / د فإن ب / أ = د / ﺠ
مثال :
إذا كان 1 / 3 = 2/ 6 فإن 3 / 1 = 6 / 2
2) الخاصية الثانية :
إذا كان أ / ب = ﺠ / د فإن أ / ﺠ = ب / د
مثال :
إذا كان 2 /3 = 4 / 6 فإن 2 /4 = 3 / 6
3) الخاصية الثالثة :
إذا كان أ / ب = ﺠ / د فإن أ + ب / ب = ﺠ + د / د
مثال 1) :
إذا كان 2 / 3 = 4 / 6 فإن 2 + 3 / 3 = 4 + 6 / 6 , أي ان
5 / 3 = 10 / 6
مثال 2) أوجد قيمة ( س , ص ) إذاكانت :
س / 3ص = 4 / 6 , س +3 ص = 10 ؟
(س + 3ص ) / 3ص = ( 4 + 6) / 6 , 10 / 3ص = 10 / 6 وبضرب الوسطين في الطرفين ينتج أن :
30 ص = 60 وبقسمة الطرفين على 30 , نحصل على ( ص = 2 ).
وكذلك لايجاد قيمة س نعوض بقيمة ( ص = 2) في واحدة من هذة المعادلات (نفس السؤال )
س / 3ص = 4 / 6 , س +3 ص = 10 .
اي ان س / (3 × 2) = 4 / 6 , بضرب الوسطين في الطرفين
إذن 6س = 6 × 4 وبقسمة الطرفين على 6 تكون ( س = 4 )
4) الخاصية الرابعة :
إذا كان أ / ب = ﺠ / د فإن أ – ب / ب = ﺠ - د / د
مثال 1) :
إذا كان 9 / 7 = 18 / 14 فإن 9 -7 / 7 = 18 -14 /14 ,
أي ان 2 /7 = 4 / 14
مثال 2) أوجد قيمة ( س , ص ) إذاكانت
س / 3ص = 10 / 6 , س - 3 ص = 10 ؟
س - 3ص / 3ص = (10 - 6) / 6 , 10 / 3ص = 4 / 6
وبضرب الوسطين في الطرفين ينتج أن :
12 ص = 60 وبقسمة الطرفين على 12 , نحصل على ( ص = 5 ).
وكذلك لايجاد قيمة س نعوض بقيمة ( ص = 5 ) في واحدة من هذة المعادلات
(الموجودة في نفس السؤال )
س / 3ص = 10 / 6 , س - 3 ص = 10 .
اي ان س / 3 × 5 = 10 / 6 , بضرب الوسطين في الطرفين
إذن 6س = 150 وبقسمة الطرفين على 6 تكون ( س = 25 ).
5) الخاصية الخامسة :
إذا كان أ / ب = ﺠ / د = ك فإن أ + ﺠ / ب + د = أ - ﺠ / ب - د = ك
مثال 1) : إذا كان 1 / 5 = 2 / 10 ,
فإن (1 +2) /( 5 + 10) = (1 - 2) / (5 - 10)أي أن 3 / 15 = -1 / - 5
ومنة 1 / 5 = 2 / 10 = 3 / 15 = -1 / - 5 .
مثال 2 ) : إذا كان 2 أ + 9 / 4ب -7 = أ / ب+2 = 3 فأوجد قيمة أ ,ب ؟
الحل : -
باستخدام الخاصية (5) نجد أن :
(2أ + 9 – أ )/ (( 4ب – 9) – (ب+2 )= أ / ب +2 = 3
أ + 9 / 3ب – 9 = أ / ب + 2 = 3
أي أن (أ +9 – أ) / ((3ب – 9 ) – ( ب + 2)) = 3
9 / (2ب -11) = 3
6ب – 33 = 9
6 ب = 42
ب = 7
وبالتعويض عن قيمة ب في التناسب : أ / ب +2 =3 نجد أن :
أ / 7+2 = 3
إذن أ = 27
6) الخاصية السادسة :
إذا كان
أذا كان أ / ب = ﺠ / د = ﻫ / و = ك , فإن (أ + ﺠ + ﻫ) / (ب+ د+و) = ك
مثال 1) :
أوجد قيمتي س , ص , حيث أن :
س / 2ص = 3س / (8 – 2ص) = 5 / 2 .
الحل :-
بما أن س / 2ص = 3س / (8 – 2ص) = 5 / 2 ,
( س + 3 س + 5 ) / ( 2 ص + 8 – 2 ص+ 2 ) = 5/ 2 ( الخاصية السادسة )
ومنه (4س + 5 ) / 10 = 5 /2
2 (4س + 5 ) = 5 × 10
8س + 10 = 50
8س = 50 – 10
س = 40 / 8 , س= 5
بما أن س / 2 ص = 5 / 2 إذن 5 / 2 ص = 5 / 2
إذن 10 ص = 10 ومنة ص = 1