المجموعة المنتهية
ويمكن تعريفها بأنها المجموعة التي يمكن تحديد عناصرها , أوهي التي تحتوي على عدد منته من العناصر
وتعرف بأنها المجموعة التي لايمكن تحديد عناصرها , أوهي التي تحتوي على عدد غير محدود أو غير منته من العناصر
أمثلة :
بين أي المجموعات التالية منتهية وأيهما غير منتهية ؟
1) مجموعة دول العالم
2) مجموعة الأعداد الزوجية
3) مجموعة صور القرآن الكريم
4) مجموعة أشجار النخيل في اليمن
5) مجموعة مضاعفات العدد 4
6) مجموعة الدول العربية في العالم
7) مجموعة الأعداد الزوجية الأكبر من 18
الحل :
من ماسبق نلاحظ ان المجموعات ( 1 , 3 , 6 ) مجموعات منتهية لأن كل منها لها نهاية محددة وعناصر محددة .
أما المجموعات ( 2 , 4 , 5 ,7 ) فإنها تعد مجموعات غير منتهية وذلك لأنها ليس لها قيم محددة وعناصرها غير محددة .
المجموعة الخالية
وهي المجموعة التي لاتحتوي على أي عنصر ويرمز لها بالرمز ø ويقرأ (فاي) أو بالرمز { }.
أمثلة:
1) مجموعة الدول العربية في قارة أوروبا
2) مجموعة الأشهر التي أيامها تزيد عن 35
3) مجموعة الأعداد الفردية التي تقبل القسمة على 6
من الأمثلة الثلاثة السابقة نلاحظ بأن المجموعات السابق غير موجودة لذلك نسميها مجموعة خالية
v بين نوع المجموعات فيما يلي :
1) مجموعة الأعداد الأولية المحصورة بين 5 , 10 .
2) مجموعة الأعداد الأعداد الطبيعية .
3) مجموعة المثلثات التي لها أربعة أضلاع .
الحل :
1) مجموعة منتهية حيث أن الأعداد الأولية المحصورة بين 5 , 10هي { 7 } .
2) مجموعة غير منتهية لأن الأعداد الطبيعية ليس لها نهاية={ 1 , 2 ,3 ,...............................................,∞}
3) مجموعة خالية ø لأنة لايوجد مثلثات لها أربعة أضلاع.
هل من الممكن أن تحتوي المجموعة على مجموعات أخرى بحيث نعتبرها عناصر ؟
نعم ومثال ذلك : غ = { { 1 , 2} , 3 } نقول أن المجموعة غ منتهية وتحتوي على العنصرين
{ 1 ,2 } , 3 .
تساوي المجموعات
س =ص إذا كان كل عنصر في س ينتمي إلى ص وكل عنصر في ص ينتمي إلى س .
تتساوى مجموعتين إذا احتويتا على نفس العناصر .
مثال 1) :
إذا كانت س مجموعة أرقام العدد 4686 , أي أن س = { 4 , 6 ,8 }
وكانت م مجموعة الأعداد الزوجية المحصورة بين 3 , 9
أي أن م = {4 ,6 , 8 } .
نلاحظ أن كل عنصر في المجموعة س ينتمي إلى المجموعة م وكل عنصرفي المجموعة م ينتمي إلى المجموعة س .
أي أن المجموعتين لهما نفس العناصر
إذن نقول أن : س , م مجموعتان متساويتان
وبالتالي فإن { 4, 6 , 8 } = { 4, 6 , 8 }
مثال 2 ) :
إذا كانت أ = { 2 , 3 } , ل = { 2 , 3 , 4} هل س = ص ؟ ولماذا ؟
الحل :
س ≠ ص ,لأن 4 ∈ ل , 4 ∉ أ .
مثال 3 ) :
إذا كانت ك= مجموعة حروف كلمة حامد , أكتب مجموعة تساوي هذه المجموعة ؟
الحل :
م = { أ , م , ح , د }
المجموعة الجزئية
لأي مجموعتين س , ص إذا كان كل عنصر في س ينتمي إلى ص فإن « س مجموعة جزئية من
« ص أو س » محتواه في ص » ونكتب ذلك رمزيا : « س ⊃ ص »
أمثلة
إذا كانت س = { 7 , 5 , 4 } , ع = { 7 , 5 , 4 , 3 }
نلا حظ أن س ⊃ ع وذلك لأن كل عنصر في س ينتمي إلى ع , لكن ع ليست جزئية من س لأن 3 ∈ ع , لكن 3 ∉ س .
من المثال السابق :
هل س ⊃ س ؟
من تعريف المجموعة الجزئية نلاحظ أن كل عنصر من عناصر س ينتمي إلى س .
وبالتالي فإن س ⊃ س , ونستنتج من ذلك أن :
كل مجموعة هي مجموعة جزئية من نفسها
مثال 2 )
إذا كانت س مجموعة طلاب فصلك ,
ص مجموعة طلاب فصلك الذين ليس لديهم إدوات هندسية .
هل ص ﬤ س ؟ ولماذا ؟
نعم لأن كل طالب داخل الفصل لايمتلك أدوات فهو ينتمي إلى طلاب الفصل .
وإذا كان طلاب الفصل ليس لديهم أدوات هندسية ستكون س = ص , وبالتالي فإن المجموعة س هي جزئية من نفسها
أما إذا قلنا جميع الطلاب لديهم أدوات هندسية فإن المجموعة ص تكون خالية أي أن ص = ø
وبما ان ص ⊃ س , فإن ø ﬤ س ومن ذلك نستنتج أن :
المجموعة الخالية هي مجموعة جزئية من أي مجموعة
مثال :
أكتب كل المجموعات الجزئية للمجموعة { 2 , 3 } ؟
الحل :
المجموعات الجزئية للمجموعة هي :
- المجموعة الخالية
- المجموعات ذات العنصر الواحد : { 2 } , { 3 }
- المجموعات ذات العنصرين {2 , 3}
إذن المجموعات الجزئية للمجموعة {2 , 3} , هي : ø , { 2 } , { 3 } , {2 , 3} .
من المثال السابق نستنتج أن :
لأي مجموعة عدد عناصرها ( ن) فإن عددالمجموعات الجزئية لها = 2ن (2 أس ن) .
مثال :
كم عدد المجموعات الجزئية لكل من :
كم عدد المجموعات الجزئية لكل من :
أ) مجموعة ذات ثلاثة عناصر ب) مجموعة ذات ستة عناصر
الحل :
أ ) عدد المجموعات الجزئية للمجموعة التي عناصرها ثلاثة هي 23 = 2 ×2 ×2 = 8
8 مجموعات جزئية .
ب) عدد المجموعات الجزئية للمجموعة التي عناصرها ستة عناصر = 2 6 =2×2×2×2×2×2
= 64 مجموعة جزئية .
وهناك العديد من المجموعات وكثيرا ما نستخدم بعض المجموعات المعروفة والخاصة في الرياضيات, سوف نذكر منها:
¢ مجموعة الاعداد الطبيعية ط حيث: ط = { 1 , 2 , 3 , .....................}
¢ مجموعة الأعداد الصحيحة ص حيث:
ص = {................... , 2 , 1 ,0, -1 , -2 , -3 , .....................}
¢ مجموعة الأعداد النسبية ن حيث: ن مجموعة الأعداد التي يمكن كتابتها بصورة ( أ / ب ) ,
ب ≠ 0 & أ , ب ∈ ص .
¢ مجموعة الأعداد غير النسبية :
و هي مجموعة الأعداد التي لا يمكن صياغتها على صورة الأعداد النسبية.