المجموعات المنتهية وغير المنتهية

    المجموعة المنتهية

    ويمكن تعريفها بأنها المجموعة التي يمكن تحديد عناصرها , أوهي التي تحتوي على عدد منته من العناصر

    المجموعة غير المنتهية

    وتعرف بأنها  المجموعة التي لايمكن تحديد عناصرها , أوهي التي تحتوي على عدد غير محدود أو غير منته من العناصر
    أمثلة :
    بين أي المجموعات التالية منتهية  وأيهما غير منتهية ؟
    1)     مجموعة دول العالم
    2)     مجموعة الأعداد الزوجية
    3)     مجموعة صور القرآن الكريم
    4)     مجموعة أشجار النخيل في اليمن
    5)     مجموعة مضاعفات العدد 4
    6)     مجموعة الدول العربية في العالم
    7)     مجموعة الأعداد الزوجية الأكبر من 18 
    الحل :
     من ماسبق نلاحظ ان المجموعات   ( 1 ,  3 , 6 ) مجموعات منتهية لأن كل منها لها نهاية محددة وعناصر محددة .
    أما المجموعات  (  2 , 4  ,  5  ,7 )  فإنها تعد مجموعات غير منتهية وذلك لأنها ليس لها قيم محددة  وعناصرها غير محددة .

    المجموعة الخالية

    وهي المجموعة التي لاتحتوي على أي عنصر ويرمز لها بالرمز    ø ويقرأ  (فاي) أو بالرمز {  }.

    أمثلة:
    1)     مجموعة الدول العربية في قارة أوروبا
    2)     مجموعة الأشهر التي أيامها تزيد عن 35
    3)     مجموعة الأعداد الفردية التي تقبل القسمة  على 6
    من الأمثلة الثلاثة السابقة نلاحظ  بأن المجموعات السابق غير موجودة لذلك نسميها مجموعة خالية
    v     بين نوع المجموعات فيما يلي :
    1)     مجموعة الأعداد الأولية المحصورة بين  5  , 10 .
    2)     مجموعة الأعداد الأعداد الطبيعية .
    3)     مجموعة المثلثات التي لها أربعة أضلاع .
         الحل :
    1)     مجموعة منتهية حيث أن الأعداد الأولية المحصورة بين 5 , 10هي { 7 } .
    2)     مجموعة غير منتهية لأن الأعداد الطبيعية ليس لها نهاية={ 1 , 2 ,3 ,...............................................,}
    3)     مجموعة خالية ø  لأنة لايوجد مثلثات لها أربعة أضلاع.
    هل من الممكن أن تحتوي المجموعة على مجموعات أخرى بحيث نعتبرها عناصر ؟
    نعم ومثال ذلك :  غ = {  { 1 , 2} , 3 }  نقول أن المجموعة غ منتهية وتحتوي على العنصرين
     { 1 ,2 } , 3  .

    تساوي المجموعات

    س =ص إذا كان كل عنصر في س ينتمي إلى ص وكل عنصر في ص ينتمي إلى س .
    تتساوى مجموعتين إذا احتويتا على نفس العناصر  .
    مثال 1) :
    إذا كانت س مجموعة أرقام العدد 4686 , أي أن س = { 4 , 6 ,8 }
    وكانت م مجموعة الأعداد الزوجية المحصورة بين 3 , 9
    أي أن م = {4 ,6 , 8 } .
    نلاحظ أن كل عنصر في المجموعة   س  ينتمي  إلى المجموعة م وكل عنصرفي المجموعة م ينتمي إلى المجموعة   س  .
    أي أن المجموعتين لهما نفس العناصر
    إذن نقول أن :  س , م مجموعتان متساويتان 
    وبالتالي فإن { 4, 6 , 8 }  = { 4, 6 , 8 } 
    مثال 2 ) :
    إذا كانت  أ = { 2 , 3 }   ,    ل = { 2 , 3 , 4}  هل     س = ص  ؟ ولماذا ؟
    الحل :
    س ص    ,لأن    4 ل   ,  4 أ  .
    مثال 3 ) :
    إذا كانت  ك= مجموعة حروف كلمة     حامد  , أكتب مجموعة تساوي هذه المجموعة ؟
    الحل :
    م = { أ , م , ح , د }

    المجموعة الجزئية

    لأي مجموعتين  س , ص  إذا كان كل عنصر في  س  ينتمي إلى  ص  فإن   « س مجموعة جزئية  من
      « ص  أو س »  محتواه في  ص » ونكتب ذلك   رمزيا  :    «  س     ص »
    أمثلة
    إذا كانت   س = { 7 , 5 , 4 }        ,     ع = { 7  , 5  , 4 , 3 }
    نلا حظ أن   س       ع    وذلك لأن كل عنصر في   س  ينتمي  إلى    ع  ,  لكن  ع  ليست جزئية من   س   لأن   3    ع  , لكن 3   س   .
    من المثال السابق :
    هل    س  س ؟
    من تعريف المجموعة الجزئية  نلاحظ أن كل عنصر من عناصر س ينتمي إلى س .
    وبالتالي فإن س     س ,   ونستنتج من ذلك أن :
    كل مجموعة هي مجموعة جزئية من نفسها
    مثال 2 ) 
    إذا كانت   س     مجموعة طلاب فصلك  ,
    ص   مجموعة طلاب فصلك الذين ليس لديهم إدوات هندسية .
    هل ص   س  ؟ ولماذا ؟
    نعم لأن كل طالب داخل الفصل لايمتلك أدوات فهو ينتمي إلى طلاب الفصل  .
    وإذا كان طلاب الفصل ليس لديهم أدوات هندسية ستكون    س = ص , وبالتالي فإن المجموعة س هي جزئية من نفسها
    أما إذا قلنا جميع الطلاب لديهم أدوات هندسية فإن المجموعة ص   تكون خالية   أي أن   ص =  ø
    وبما ان ص   س  , فإن ø س ومن ذلك نستنتج أن :
     المجموعة الخالية هي مجموعة جزئية من أي مجموعة  
    مثال :
     أكتب كل المجموعات الجزئية للمجموعة   { 2  , 3 } ؟
    الحل :
    المجموعات الجزئية للمجموعة  هي :
    -          المجموعة الخالية
    -          المجموعات ذات العنصر الواحد  : { 2 } , { 3 }
    -          المجموعات ذات العنصرين {2 , 3}
    إذن المجموعات الجزئية للمجموعة    {2 , 3}  , هي :  ø  ,  { 2 } , { 3 } , {2 , 3} .
    من المثال  السابق نستنتج أن :
    لأي مجموعة عدد عناصرها ( ن) فإن عددالمجموعات الجزئية لها = 2ن (2 أس ن) .
    مثال :
    كم عدد المجموعات الجزئية لكل من :
    أ‌)        مجموعة ذات ثلاثة عناصر    ب) مجموعة ذات ستة عناصر
    الحل :
    أ ) عدد المجموعات الجزئية للمجموعة التي عناصرها ثلاثة هي   23 = 2 ×2 ×2 = 8
                8 مجموعات جزئية  .
    ب‌)       عدد المجموعات الجزئية للمجموعة التي عناصرها ستة عناصر = 2 6 =2×2×2×2×2×2
    = 64 مجموعة جزئية .
    وهناك العديد من المجموعات وكثيرا ما نستخدم بعض المجموعات المعروفة والخاصة في الرياضيات, سوف نذكر منها:
    ¢     مجموعة الاعداد الطبيعية  ط  حيث: ط = { 1 , 2 , 3 , .....................}
    ¢     مجموعة الأعداد الصحيحة ص حيث:  
    ص = {................... , 2 , 1 ,0, -1 , -2 , -3 , .....................}
    ¢     مجموعة الأعداد النسبية   ن  حيث: ن  مجموعة الأعداد التي يمكن كتابتها بصورة  ( أ / ب ) ,
    ب 0   &  أ , ب ص  .
    ¢     مجموعة الأعداد غير النسبية    :
    و هي مجموعة الأعداد التي لا يمكن صياغتها على صورة الأعداد النسبية.

    بحيث أن  :      ط 
    شارك المقال

    قد يهمك أيضا :