12/22/2014

المجموعات المنتهية وغير المنتهية

المجموعة المنتهية

ويمكن تعريفها بأنها المجموعة التي يمكن تحديد عناصرها , أوهي التي تحتوي على عدد منته من العناصر

المجموعة غير المنتهية

وتعرف بأنها  المجموعة التي لايمكن تحديد عناصرها , أوهي التي تحتوي على عدد غير محدود أو غير منته من العناصر
أمثلة :
بين أي المجموعات التالية منتهية  وأيهما غير منتهية ؟
1)     مجموعة دول العالم
2)     مجموعة الأعداد الزوجية
3)     مجموعة صور القرآن الكريم
4)     مجموعة أشجار النخيل في اليمن
5)     مجموعة مضاعفات العدد 4
6)     مجموعة الدول العربية في العالم
7)     مجموعة الأعداد الزوجية الأكبر من 18 
الحل :
 من ماسبق نلاحظ ان المجموعات   ( 1 ,  3 , 6 ) مجموعات منتهية لأن كل منها لها نهاية محددة وعناصر محددة .
أما المجموعات  (  2 , 4  ,  5  ,7 )  فإنها تعد مجموعات غير منتهية وذلك لأنها ليس لها قيم محددة  وعناصرها غير محددة .

المجموعة الخالية

وهي المجموعة التي لاتحتوي على أي عنصر ويرمز لها بالرمز    ø ويقرأ  (فاي) أو بالرمز {  }.

أمثلة:
1)     مجموعة الدول العربية في قارة أوروبا
2)     مجموعة الأشهر التي أيامها تزيد عن 35
3)     مجموعة الأعداد الفردية التي تقبل القسمة  على 6
من الأمثلة الثلاثة السابقة نلاحظ  بأن المجموعات السابق غير موجودة لذلك نسميها مجموعة خالية
v     بين نوع المجموعات فيما يلي :
1)     مجموعة الأعداد الأولية المحصورة بين  5  , 10 .
2)     مجموعة الأعداد الأعداد الطبيعية .
3)     مجموعة المثلثات التي لها أربعة أضلاع .
     الحل :
1)     مجموعة منتهية حيث أن الأعداد الأولية المحصورة بين 5 , 10هي { 7 } .
2)     مجموعة غير منتهية لأن الأعداد الطبيعية ليس لها نهاية={ 1 , 2 ,3 ,...............................................,}
3)     مجموعة خالية ø  لأنة لايوجد مثلثات لها أربعة أضلاع.
هل من الممكن أن تحتوي المجموعة على مجموعات أخرى بحيث نعتبرها عناصر ؟
نعم ومثال ذلك :  غ = {  { 1 , 2} , 3 }  نقول أن المجموعة غ منتهية وتحتوي على العنصرين
 { 1 ,2 } , 3  .

تساوي المجموعات

س =ص إذا كان كل عنصر في س ينتمي إلى ص وكل عنصر في ص ينتمي إلى س .
تتساوى مجموعتين إذا احتويتا على نفس العناصر  .
مثال 1) :
إذا كانت س مجموعة أرقام العدد 4686 , أي أن س = { 4 , 6 ,8 }
وكانت م مجموعة الأعداد الزوجية المحصورة بين 3 , 9
أي أن م = {4 ,6 , 8 } .
نلاحظ أن كل عنصر في المجموعة   س  ينتمي  إلى المجموعة م وكل عنصرفي المجموعة م ينتمي إلى المجموعة   س  .
أي أن المجموعتين لهما نفس العناصر
إذن نقول أن :  س , م مجموعتان متساويتان 
وبالتالي فإن { 4, 6 , 8 }  = { 4, 6 , 8 } 
مثال 2 ) :
إذا كانت  أ = { 2 , 3 }   ,    ل = { 2 , 3 , 4}  هل     س = ص  ؟ ولماذا ؟
الحل :
س ص    ,لأن    4 ل   ,  4 أ  .
مثال 3 ) :
إذا كانت  ك= مجموعة حروف كلمة     حامد  , أكتب مجموعة تساوي هذه المجموعة ؟
الحل :
م = { أ , م , ح , د }

المجموعة الجزئية

لأي مجموعتين  س , ص  إذا كان كل عنصر في  س  ينتمي إلى  ص  فإن   « س مجموعة جزئية  من
  « ص  أو س »  محتواه في  ص » ونكتب ذلك   رمزيا  :    «  س     ص »
أمثلة
إذا كانت   س = { 7 , 5 , 4 }        ,     ع = { 7  , 5  , 4 , 3 }
نلا حظ أن   س       ع    وذلك لأن كل عنصر في   س  ينتمي  إلى    ع  ,  لكن  ع  ليست جزئية من   س   لأن   3    ع  , لكن 3   س   .
من المثال السابق :
هل    س  س ؟
من تعريف المجموعة الجزئية  نلاحظ أن كل عنصر من عناصر س ينتمي إلى س .
وبالتالي فإن س     س ,   ونستنتج من ذلك أن :
كل مجموعة هي مجموعة جزئية من نفسها
مثال 2 ) 
إذا كانت   س     مجموعة طلاب فصلك  ,
ص   مجموعة طلاب فصلك الذين ليس لديهم إدوات هندسية .
هل ص   س  ؟ ولماذا ؟
نعم لأن كل طالب داخل الفصل لايمتلك أدوات فهو ينتمي إلى طلاب الفصل  .
وإذا كان طلاب الفصل ليس لديهم أدوات هندسية ستكون    س = ص , وبالتالي فإن المجموعة س هي جزئية من نفسها
أما إذا قلنا جميع الطلاب لديهم أدوات هندسية فإن المجموعة ص   تكون خالية   أي أن   ص =  ø
وبما ان ص   س  , فإن ø س ومن ذلك نستنتج أن :
 المجموعة الخالية هي مجموعة جزئية من أي مجموعة  
مثال :
 أكتب كل المجموعات الجزئية للمجموعة   { 2  , 3 } ؟
الحل :
المجموعات الجزئية للمجموعة  هي :
-          المجموعة الخالية
-          المجموعات ذات العنصر الواحد  : { 2 } , { 3 }
-          المجموعات ذات العنصرين {2 , 3}
إذن المجموعات الجزئية للمجموعة    {2 , 3}  , هي :  ø  ,  { 2 } , { 3 } , {2 , 3} .
من المثال  السابق نستنتج أن :
لأي مجموعة عدد عناصرها ( ن) فإن عددالمجموعات الجزئية لها = 2ن (2 أس ن) .
مثال :
كم عدد المجموعات الجزئية لكل من :
أ‌)        مجموعة ذات ثلاثة عناصر    ب) مجموعة ذات ستة عناصر
الحل :
أ ) عدد المجموعات الجزئية للمجموعة التي عناصرها ثلاثة هي   23 = 2 ×2 ×2 = 8
            8 مجموعات جزئية  .
ب‌)       عدد المجموعات الجزئية للمجموعة التي عناصرها ستة عناصر = 2 6 =2×2×2×2×2×2
= 64 مجموعة جزئية .
وهناك العديد من المجموعات وكثيرا ما نستخدم بعض المجموعات المعروفة والخاصة في الرياضيات, سوف نذكر منها:
¢     مجموعة الاعداد الطبيعية  ط  حيث: ط = { 1 , 2 , 3 , .....................}
¢     مجموعة الأعداد الصحيحة ص حيث:  
ص = {................... , 2 , 1 ,0, -1 , -2 , -3 , .....................}
¢     مجموعة الأعداد النسبية   ن  حيث: ن  مجموعة الأعداد التي يمكن كتابتها بصورة  ( أ / ب ) ,
ب 0   &  أ , ب ص  .
¢     مجموعة الأعداد غير النسبية    :
و هي مجموعة الأعداد التي لا يمكن صياغتها على صورة الأعداد النسبية.

بحيث أن  :      ط