12/30/2014

بناء النموذج الاحتمالي( المتساوي الاحتمال )

بناء النموذج الاحتمالي( المتساوي الاحتمال )

سنتعرف على طريقة تمكننا من حساب قيمة الدالة الاحتمالية ( P)  لاي حادثة في الفضاء الاحتمالي (P W , P(W) , ), إذا خصصنا لكل حادثة إبتدائية  (an)عددا حقيقيا ( rn) , أي أن = rn] (an)P[ ,  يحقق الشرطين التاليين :
1) r n³ 0   ,   n=1,2,3,………,i                      2) sum( rn) = 1
نكون قد كونا نموذجا إحتماليا نستطيع بواسطتة حساب إحتمال أي حادثة من W, أي نكون قد عرفنا الدالة P على Wونستنتج التعريف التالي :

تعريف

احتمال حادثة هو مجموع احتمالات الحوادث الابتدائية الداخلة في تشكيل هذه الحادثة
ويعني بذلك :
فإذا كان W ={ a1, a2,………..,an}  , والأحداث الأبتدائية { a1} , {a2},……….., {an} تشكل تجزئة  لفضاء العينة W , فإن مجموع هذه الأحداث الابتدائية يساوي واحد :

http://www.ar-science.com

وكذلك نستنتج مما سبق أن :
-         في حال تساوي الاحداث الابتدائية المكونة لفضاء العينة نقول أن الفضاء الاحتمالي متساوي أي أن :
http://www.ar-science.com



مثال 1:

ألقيت قطعتان متجانستان من النقود , ولوحظ الوجة الظاهر عند إستقرارهما على الارض :
-         أكتب فضاء العينة
-         كون نموذجا إحتماليا
-         أوجد أحتمالات الحوادث التالية :
·        الحصول على الصورة مره واحدة على الاقل
·        الحصول على الكتابة من القطعة الثانية
·        الحصول على الكتابة مرة واحدة فقط
·        الحصول على الصورة مرة واحدة على الأكثر

الحل :

1-    فضاء العينة
W = { ( H , H) , (H , T ) , (T ,T) , (T , H )}
2-    النموذج الاحتمالي , بما ان القطعتين متجانستين , فإن الاحتمال يكون متساوي الظهور للصور والكتابة .
وحيث أن معرفة عدد النتائج الممكنة n(W)  شرط مسبق لتكوين أي نموذج إحتمالي مطلوب لأي تجربة عشوائية .
نجد أن  4=n(W) , أربع حوادث إبتدائية .
إذن من الممكن الآن أن نخصص لكل نقطة من النقاط الاربع قيمة إحتمالية4 )1\) , وفي هذه الحالة نكون قد كونا نموذجا إحتماليا كالتالي :
P( H , H) = P (H , T ) = P (T ,T) =P (T , H )= 1 \ 4
فلو قمنا بجمع الحوادث الأبتدائية السابقة فإنها ستكون لنا ستثبت لنا التعريف المذكور سابقا
 P( H , H) + P (H , T )+ P (T ,T) +P (T , H )
= 1 \ 4  +  1 \ 4 + 1 \ 4 + 1 \ 4      = 4 \ 4 = 1  

بهذا يكون قد كونا نموذجا إحتماليا لفضاء العينة .
3-    نوجد الاحتمالات المطلوبة في السؤال كالتالي :
-         الحصول على الصورة مرة واحدة على الأقل
P( H , H) + P (T , H )   + \ P (H , T )
   = 1 \ 4  +  1 \ 4  +  1 \ 4      = 3 \ 4
-         الحصول على الكتابة من القطعة الثانية
P (H , T )+ P (T ,T)1 \ 4  +  1 \ 4 = 2 \ 4 = 1 \ 2
-         الحصول على الكتابة مرة واحدة فقط
P (T , H ) + P (H , T ) = 1 \ 4  +  1 \ 4 = 2 \ 4 = 1 \ 2
-         الحصول على الصورة مرة واحدة على الأكثر
P (H , T )+ P (T ,T) + P (T , H ) =1 \ 4  +  1 \ 4  +  1 \ 4 = 3 \ 4
من المثال السابق وبالذات النموذج الاحتمالي الفقرة الثانية , نلاحظ أن كل نقطة من نقاط فضاء العينة W لها الاحتمال نفسة ويساوي ربع 1 \ 4 , والفضاءات التي تكون فيها فرصة وقوع الحوادث متساوية تسمى الفضاءات ذات الاحتمالات المتساوية , وتسمى دالة الاحتمال P المعرفة على مثل هذه الفضاءات دالة الاحتمال المنتظمة فمثلا :
عند إلقاء حجر نرد وملاحظة العدد الظاهر على الوجة العلوي له عند إستقرارة على الارض , فإن :
W={1,2,3,4,5,6}
ونجد أن :
P(1) = P (2) = P (3) =P (4)= P( 5) = P (6) = 1 \ 6
وبهذا نكون قد خصصنا في هذه التجربة لكل نقطة من نقاط فضاء العينة Wالاحتمال نفسة
 1 \ 6وهذا يعني أن W دالة إحتمال منتظمة .
وعندما تكون دالة الاحتمال منتظمة نستخدم التعريف التالي في حساب أحتمال أي حادثة :
تعريف :
إذا كانت P دالة إحتمال منتظمة معرفة على  Wوكانت Aحادثة في تجربة عشوائية , فأن :

http://www.ar-science.com

بحيث أن n(A) £ n(W)     : , ويمكن أن نسمي n(W) عدد نقاط أو عناصر فضاء العينة
مثال 2 :
صندوقان يحتوي الأول منهما على كرتين بيضاوين وكرة سوداء , ويحتوي الآخر على كرة بيضاء فقط .
سحبت عشوائيا كرة من الصندوق الأول ووضعت في الصندوق الثاني وخلطت الكرتان في الصندوق الثاني خلطا محكما , ثم سحبت منة بعد ذلك عشوائيا كرة .
1)    كون نموذجا إحتماليا مناسبا لهذه التجربة .
2)    ما هو أحتمال أن تكون التجربة المسحوبة من الصندوق الثاني بيضاء ؟
الحل :
أولا : نوجد n(W) وللتمييز بين الكرات بعضها عن بعض نرمز للكرتين البيضاوين في الصندوق الأول بالرمزين  b1 , b2  وللكرة السوداء بالرمز  s  , وللكرة البيضاء في الصندوث الثاني بالرمز b3 فيكون فضاء العينة :
W= {( b1 , b1) , (b1 , b3) , (b2 , b2 ) , (b2 , b3) , (s , b3) , (s , s)}
المسقط الأول في كل زوج مرتب يرمز لنتيجة السحب من الصندوق الأول , والمسقط الثاني لنتيجة السحب من الصندوق الآخر .
1)    إذا خصصنا لكل نقطة من نقاط فضاء العينة أحتمالا =  1\6 فإننا في هذه الحالة نكون قد كونا النموذج الاحتمالي الآتي :
P {( b1 , b1)} =P{ (b1 , b3)} =P{ (b2 , b2 )} =P{ (b2 , b3)} =P{(s , b3)} =P{ (s , s)}= 1\ 6
وهو النموذج الاحتمالي المطلوب تكوينة في هذه التجربة .
2)    نفترض أن A هي حادثة سحب كرة بيضاء من الصندوق الثاني .
   A={( b1,b1),(b1 ,b3),(b2 ,b2),(b2 ,b3),(s ,b3)}
    n(A) = 5   ,  n(W) = 6
  
http://www.ar-science.com
     

ونفسر سحب الكرة من الصندوق الثاني كالتالي :
-         في حال سحب كرة من الصندوق الأول ولنفرض أنها كانت بيضاء b1 وبعد وضعها في الصندوق الآخر سيكون أحتمال السحب من الصندوق الثاني سحب كرتين بيضاوين هي b3 , b1  سيكون الحادثتين هي :
( b1 , b1) , (b1 , b3)
-         في حال سحب كرة من الصندوق الأول ولنفرض أنها كانت بيضاء b2 وبعد وضعها في الصندوق الآخر سيكون أحتمال السحب من الصندوق الثاني سحب كرتين بيضاوين هي b3 , b2  سيكون الحادثتين هي :
(b2 , b2 ) , (b2 , b3)

-         في حال سحب كرة من الصندوق الأول ولنفرض أنها كانت سوداء   sوبعد وضعها في الصندوق الآخر سيكون أحتمال السحب من الصندوق الثاني سحب كرتين سوداء وبيضاء هي s , b3  ستكون حادثة واحدة فقط :
 (s , b3)
وسيكون إجمالي حوادث السحب خمس حوادث كما اسلفنا .

مثال2)

اختير عشوائيا عدد صحيح  s حيث  أن :
1£  s £ 50
         أوجد احتمال ان يكون العدد المختار :
1)    فرديا
2)    يقبل القسمة على (13)
3)    ليس مربع كاملا
4)    لايقبل القسمة على (10 )
الحل :
W = { 1 , 2 , 3 , ……………………., 50 }
\ n(W) = 50
1-    نفرض أن A هي حادثة العدد المختار فرديا .
وبالتالي فإن  :
A ={ 1 ,3 ,5,…………………….., 49 }⇒  n( A ) = 25    
                         



\ P(A)= 0.5
2-     يقبل القسمة على ((13
نفرض أن B هي حادثة العدد يقبل القسمة على (13) .
وبالتالي فإن  :
B ={ 13 ,26, 49 }    ⇒  n( B ) = 3    
                         



3-    نفرض أن C هي حادثة العدد ليس مربعا كاملا , فتكون المتممة C̅  هي :
حادثة العدد المختار مربعا كاملا
وبالتالي فإن  :
C ={ 1 ,4 ,9 , 16 , 25 , 36 , 49 }    ⇒  n( C̅ ) = 7    
                         


وحيث أن :
P(C̅)  =  1- P(C)               P(C) = 1- P(C̅)



4-     بنفس الفقرة الثالثة في السؤال تترك كتمرين للباحث .


قد يهمك أيضا :

بناء النموذج الاحتمالي( المتساوي الاحتمال )
4/ 5
Oleh