بناء النموذج الاحتمالي( المتساوي الاحتمال )

سنتعرف على طريقة تمكننا من حساب قيمة الدالة الاحتمالية ( P) لاي حادثة في الفضاء الاحتمالي (P W , P(W) , ), إذا خصصنا لكل حادثة إبتدائية (a_n)عددا حقيقيا ( r_n) , أي أن = r_n] (a_n)P[ , يحقق الشرطين التاليين :

1) r_n³ 0 , n=1,2,3,………,i 2) sum( r_n) = 1

نكون قد كونا نموذجا إحتماليا نستطيع بواسطتة حساب إحتمال أي حادثة من W, أي نكون قد عرفنا الدالة P على Wونستنتج التعريف التالي :

تعريف

احتمال حادثة هو مجموع احتمالات الحوادث الابتدائية الداخلة في تشكيل هذه الحادثة

ويعني بذلك :

فإذا كان W ={ a₁, a₂,………..,a_n} , والأحداث الأبتدائية { a₁} , {a₂},……….., {a_n} تشكل تجزئة لفضاء العينة W , فإن مجموع هذه الأحداث الابتدائية يساوي واحد :

وكذلك نستنتج مما سبق أن :

- في حال تساوي الاحداث الابتدائية المكونة لفضاء العينة نقول أن الفضاء الاحتمالي متساوي أي أن :

مثال 1:

ألقيت قطعتان متجانستان من النقود , ولوحظ الوجة الظاهر عند إستقرارهما على الارض :

- أكتب فضاء العينة

- كون نموذجا إحتماليا

- أوجد أحتمالات الحوادث التالية :

· الحصول على الصورة مره واحدة على الاقل

· الحصول على الكتابة من القطعة الثانية

· الحصول على الكتابة مرة واحدة فقط

· الحصول على الصورة مرة واحدة على الأكثر

الحل :

1- فضاء العينة

W = { ( H , H) , (H , T ) , (T ,T) , (T , H )}

2- النموذج الاحتمالي , بما ان القطعتين متجانستين , فإن الاحتمال يكون متساوي الظهور للصور والكتابة .

وحيث أن معرفة عدد النتائج الممكنة n(W) شرط مسبق لتكوين أي نموذج إحتمالي مطلوب لأي تجربة عشوائية .

نجد أن 4=n(W) , أربع حوادث إبتدائية .

إذن من الممكن الآن أن نخصص لكل نقطة من النقاط الاربع قيمة إحتمالية4 )1\) , وفي هذه الحالة نكون قد كونا نموذجا إحتماليا كالتالي :

P( H , H) = P (H , T ) = P (T ,T) =P (T , H )= 1 \ 4

فلو قمنا بجمع الحوادث الأبتدائية السابقة فإنها ستكون لنا ستثبت لنا التعريف المذكور سابقا

P( H , H) + P (H , T )+ P (T ,T) +P (T , H )

= 1 \ 4 + 1 \ 4 + 1 \ 4 + 1 \ 4 = 4 \ 4 = 1

بهذا يكون قد كونا نموذجا إحتماليا لفضاء العينة .

3- نوجد الاحتمالات المطلوبة في السؤال كالتالي :

- الحصول على الصورة مرة واحدة على الأقل

P( H , H) + P (T , H ) + \ P (H , T )

= 1 \ 4 + 1 \ 4 + 1 \ 4 = 3 \ 4

- الحصول على الكتابة من القطعة الثانية

P (H , T )+ P (T ,T)= 1 \ 4 + 1 \ 4 = 2 \ 4 = 1 \ 2

- الحصول على الكتابة مرة واحدة فقط

P (T , H ) + P (H , T ) = 1 \ 4 + 1 \ 4 = 2 \ 4 = 1 \ 2

- الحصول على الصورة مرة واحدة على الأكثر

P (H , T )+ P (T ,T) + P (T , H ) =1 \ 4 + 1 \ 4 + 1 \ 4 = 3 \ 4

من المثال السابق وبالذات النموذج الاحتمالي الفقرة الثانية , نلاحظ أن كل نقطة من نقاط فضاء العينة W لها الاحتمال نفسة ويساوي ربع 1 \ 4 , والفضاءات التي تكون فيها فرصة وقوع الحوادث متساوية تسمى الفضاءات ذات الاحتمالات المتساوية , وتسمى دالة الاحتمال P المعرفة على مثل هذه الفضاءات دالة الاحتمال المنتظمة فمثلا :

عند إلقاء حجر نرد وملاحظة العدد الظاهر على الوجة العلوي له عند إستقرارة على الارض , فإن :

W={1,2,3,4,5,6}

ونجد أن :

P(1) = P (2) = P (3) =P (4)= P( 5) = P (6) = 1 \ 6

وبهذا نكون قد خصصنا في هذه التجربة لكل نقطة من نقاط فضاء العينة Wالاحتمال نفسة

1 \ 6وهذا يعني أن W دالة إحتمال منتظمة .

وعندما تكون دالة الاحتمال منتظمة نستخدم التعريف التالي في حساب أحتمال أي حادثة :

تعريف :

إذا كانت P دالة إحتمال منتظمة معرفة على Wوكانت Aحادثة في تجربة عشوائية , فأن :

بحيث أن n(A) £ n(W) : , ويمكن أن نسمي n(W) عدد نقاط أو عناصر فضاء العينة

مثال 2 :

صندوقان يحتوي الأول منهما على كرتين بيضاوين وكرة سوداء , ويحتوي الآخر على كرة بيضاء فقط .

سحبت عشوائيا كرة من الصندوق الأول ووضعت في الصندوق الثاني وخلطت الكرتان في الصندوق الثاني خلطا محكما , ثم سحبت منة بعد ذلك عشوائيا كرة .

1) كون نموذجا إحتماليا مناسبا لهذه التجربة .

2) ما هو أحتمال أن تكون التجربة المسحوبة من الصندوق الثاني بيضاء ؟

الحل :

أولا : نوجد n(W) وللتمييز بين الكرات بعضها عن بعض نرمز للكرتين البيضاوين في الصندوق الأول بالرمزين b₁ , b₂ وللكرة السوداء بالرمز s , وللكرة البيضاء في الصندوث الثاني بالرمز b₃ فيكون فضاء العينة :

W= {( b₁, b₁) , (b₁, b₃) , (b₂, b₂) , (b₂, b₃) , (s, b₃) , (s, s)}

المسقط الأول في كل زوج مرتب يرمز لنتيجة السحب من الصندوق الأول , والمسقط الثاني لنتيجة السحب من الصندوق الآخر .

1) إذا خصصنا لكل نقطة من نقاط فضاء العينة أحتمالا = 1\6 فإننا في هذه الحالة نكون قد كونا النموذج الاحتمالي الآتي :

P {( b₁, b₁)} =P{ (b₁, b₃)} =P{ (b₂, b₂)} =P{ (b₂, b₃)} =P{(s, b₃)} =P{ (s, s)}= 1\ 6

وهو النموذج الاحتمالي المطلوب تكوينة في هذه التجربة .

2) نفترض أن A هي حادثة سحب كرة بيضاء من الصندوق الثاني .
A={( b₁,b₁),(b₁,b₃),(b₂,b₂),(b₂,b₃),(s,b₃)}

∴n(A) = 5 , n(W) = 6

ونفسر سحب الكرة من الصندوق الثاني كالتالي :

- في حال سحب كرة من الصندوق الأول ولنفرض أنها كانت بيضاء b₁ وبعد وضعها في الصندوق الآخر سيكون أحتمال السحب من الصندوق الثاني سحب كرتين بيضاوين هي b₃ , b₁سيكون الحادثتين هي :

( b₁, b₁) , (b₁, b₃)

- في حال سحب كرة من الصندوق الأول ولنفرض أنها كانت بيضاء b₂ وبعد وضعها في الصندوق الآخر سيكون أحتمال السحب من الصندوق الثاني سحب كرتين بيضاوين هي b₃ , b₂سيكون الحادثتين هي :

(b₂, b₂) , (b₂, b₃)

- في حال سحب كرة من الصندوق الأول ولنفرض أنها كانت سوداء sوبعد وضعها في الصندوق الآخر سيكون أحتمال السحب من الصندوق الثاني سحب كرتين سوداء وبيضاء هي s , b₃ستكون حادثة واحدة فقط :

(s, b₃)

وسيكون إجمالي حوادث السحب خمس حوادث كما اسلفنا .

مثال2)

اختير عشوائيا عدد صحيح s حيث أن :

1£ s £ 50

أوجد احتمال ان يكون العدد المختار :

1) فرديا

2) يقبل القسمة على (13)

3) ليس مربع كاملا

4) لايقبل القسمة على (10 )

الحل :

W = { 1 , 2 , 3 , ……………………., 50 }

\ n(W) = 50

1- نفرض أن A هي حادثة العدد المختار فرديا .

وبالتالي فإن :

A ={ 1 ,3 ,5,…………………….., 49 }⇒ n( A ) = 25

\ P(A)= 0.5

2- يقبل القسمة على ((13

نفرض أن B هي حادثة العدد يقبل القسمة على (13) .

وبالتالي فإن :

B ={ 13 ,26, 49 } ⇒ n( B ) = 3

3- نفرض أن C هي حادثة العدد ليس مربعا كاملا , فتكون المتممة C̅ هي :

حادثة العدد المختار مربعا كاملا

وبالتالي فإن :

C ={ 1 ,4 ,9 , 16 , 25 , 36 , 49 } ⇒ n( C̅ ) = 7

وحيث أن :

P(C̅) = 1- P(C) ∴P(C) = 1- P(C̅)

4- بنفس الفقرة الثالثة في السؤال تترك كتمرين للباحث .

Tags: الاحتمالات الإحصاء والإحتمالات

بناء النموذج الاحتمالي( المتساوي الاحتمال )