9/11/2012

المجموعات (الفئات ) The Sets

      
   لا يخلو فرع من فروع الرياضيات من استخدام مفهوم المجموعات,
فهي الأداة الأولى في التعبير عن محتويات وبنى هذا الفرع.

إن وجه النظر البديهية المجموعة عبارة عن أي تجمع من الأشياء المعرفة جيدا
نستخدم للرمز إلى المجموعة أحرف كبيرة مثل X,Y, M, A.
الأشياء المكونة لمجموعة ما تسمى عناصر المجموعة وعادة نستخدم لها رموز صغيرة مثل a,b,c,x,u,r وغيرها.

إذا كان a عنصر من ضمن عناصر مجموعة X قلنا أن a ينتمى إلى المجموعة X
أو قلنا اختصارا a ينتمي إلى X
أو قلنا a عنصر من X
وكل هذه العبارات نعبر عنها رمزيا بالشكل



أما إذا كان a ليس من عناصر X قلنا أن a لا ينتمي إلى X ونكتب.

للتعبير عن المجموعة وعناصرها لنا في ذلك طريقتين,
الأولى عبارة عن سرد لعناصر المجموعة بين قوسين {}
فمثلا المجموعة التي عناصرها 1,3,88 نكتبها على الشكل

{1, 2, 88}

واضعين فواصل بين كل عنصر وآخر. إذا أسمينا هذه المجموعة Y مثلا فيمكن أن نكتب



لاحظ



بينما

.

الطريقة الثانية هي كتابة مميزة أو مميزات العناصر بين القوسين {}
عوضا عن كتابة العناصر نفسها,
مثلا إذا كانت A هي مجموعة الأعداد
1, 10, 100, 1000, 10000, 100000
فيمكن أن نكتب

A={ :حيث n عدد طبيعي اقل من 6 }

أو

حيث x من قوى العشرة التي اقل من مليون }

وكلا الكتابتين هما بطريقة مميزة عناصر المجموعة مع اختلاف الميزة المستخدمة,
إذا المجموعة بشكل عام يمكن أن تكتب بميزة عناصرها بأشكال مختلفة
طالما كانت الميزة كافيه لتحديد العناصر بشكل دقيق.



المجموعة الخالية

مجموعة الأعداد الصحيحة التي بين العددين 0,1 مجموعة لا تحتوي على أي عناصر لذا تسمى مجموعة خالية,
فمثلا أيضا مجموعة أسماء الأسماك التي تتحدث اللغة العربية مجموعة خالية بالتأكيد.

يرمز للمجموعة الخالية بالحرف اليوناني "فاي" أو بقوسين { }.



تساوي المجموعات


رمز التساوي = يستخدم في نظرية[م] المجموعات بمفهومه المنطقي المتعارف عليه.
فنكتب A=B عندما يكون A,B يرمزان لنفس المجموعة,
أو قل عندما تكون للمجموعتين A,B نفس العناصر.

كما نكتب

إذا كانت المجموعة A لا تساوي المجموعة B.
و هذا يعني أن هناك عنصر واحد على الأقل إما في المجموعة A و غير موجود في المجموعة B
وإما موجود في B و غير موجود في A.



مثال 1:


1-
لماذا؟

2- و إذا كانت المجموعتان A,B كالتالي
حرف من كلمة سلام }

B={س, ل, م}

فإن A=B
لماذا؟


5- بغض النظر عن التعريف الذي تصاغ فيه المجموعة الخالية فإن كل المجموعات الخالية متساوية لعدم وجود عنصر في أي منها غير موجود في الأخر
و عليه فإن
مجموعة الأعداد الصحيحة التي بين العددين 0,1 تساوي مجموعة أسماء الأسماك التي تتحدث اللغة العربية بالتأكيد.


أنواع المجموعات من حيث الحجم


تنقسم المجموعات إلى مجموعات منتهية finite sets
ومجموعات غير منتهية infinite sets .
المجموعة المنتهية هي التي تكون خالية أو فيها عدد n من العناصر.

فيما عدا ذلك تسمى المجموعة غير منتهية.

مثال 2:
1- مجموعة الحروف الأبجدية العربية منتهية.

2- المجموعة N المكونة من جميع الأعداد الطبيعية غير منتهية. عندما نكتب هذه المجموعة بسرد أو ذكر عناصرها نقوم بكتابة بعض عناصرها ثم نضع نقاط



3- مجموعة الأعداد الصحيحة Z



4- مجموعة مضاعفات العدد 5 الصحيحة مجموعة غير منتهية, نستطيع كتابتها باستخدام ميزة عناصرها كالتالي
المجموعات الجزئية 
تعريف : يقال لمجموعة B أنها مجموعة جزئية من مجموعة A
إذا كان كل عنصر ينتمي للمجموعة B فإنه ينتمي أبضا إلى ِA
و نرمز لذلك ب


ملاحظة: 1-من الواضح أنه حسب التعريف السابق فإن إي مجموعة هي مجموعة جزئية من نفسها .
2- إذا كانت B مجموعة جزئية من A و لكنها لا تساويها نقول أن Bمجموعة جزئية فعلية من A

ملاحظة:
أـ هناك بعض الكتب تستخدم التعبير

لتعني أن كل عناصر B محتواه في A بغض النظر عن إمكانية A=B (إمكانية محتملة)
وعندما تريد أن تقول أن B مجموع جزئية من A و في نفس الوقت تنفي التساوي فإنها ترمز لذلك ب



بـ بينما هناك كتب أخرى تستخدم الصيغة

لتعني هنا أن B محتواه في A و لكنها لا تساويها

و تستخدم الصيغة

لتشمل إمكانية التساوي



مثال: إذا كانت A هي مجموعة الاعداد الزوجية

و كانت B مجموعة الأعداد الطبيعية الزوجية


و كانت C مجموعة الأرقام الزوجية

فإن


و كذلك


و لكن المجوعة C ليست مجموعة جزئية من B. لماذا؟

و نرمز لذلك ب
 
الاخوة الكرام هناك بعض الأمور التي يجب أن ننتبه لها إذا أردنا أن نتعمق قليلا بهذا الخصوص

قد يتساءل البعض
ما الذي يميز المجموعة كمفهموم رياضي عن معناها اللغوي؟
و الإجابة يجب أن تعرف المجموعة بدقة


2- ما معنى أن تعرف المجموعة بدقة ؟
هذا يعني بالضبط أننا نستطيع من خلال التعريف الحكم على أي عنصر هل ينتمي للمجموعة أو لا ينتمي لها ،
فمثلا عندما نقول أن فلانا ذكيا فإن هذه الصفة قد يختلف عليها إثنان ما لم تعرف بطريقة أفضل
و هكذا لن نستطيع تصنيف جميع الناس وفق هذه الصفة بهذا الشكل بدون أن يختلف معنا أحد.


ملاحظة :
يجب أن نراعي عند كتابة المجموعة بطريقة السرد أن
أ- ترتيب العناصر ليس له أي أهمية
ب- يجب عدم تكرار العناصر

ملاحظة:
و يجب عند كتابة أي مجموعة غير منتهية بطريقة السرد يجب أن نرتب العناصر بصورة يتضح للقارئ أن لها تتابع معين يمكنه استنتاجه ببساطة و من ثم يستطيع تحديد ترتيب أي عنصر داخل المجموعة
فمثلا عندما نقول
مجموعة الأعداد الصحيحة Z


يمكن للقارئ أن يستنتج مباشرة كيف يمضي يعملية السرد و بستطيع كذلك أن يستنتج ترتيب العدد -23
بأنه 1+2×23=47
و هكذا؟

ملاحظة:
بناءا على ما سبق يمكن القول أنه ليس بالإمكان كتابة أي مجموعة بطريقة السرد
لأن هناك مجموعات منتهية لا يمكن ترتيب عناصرها بنمط معين يمكن من خلاله
حصر كل عناصرها لو استمررنا بنفس النمط إلى ما لا نهاية

من المجموعات التي يمكن كتابتهابطريقة السرد مثلا
أ- مجموعة الأعداد النسبية و كل مجموعاتها الجزئية
ب- مجموعة الأعداد


فهل بإمكانك إيجاد نمط معين يمكن من خلاله كتابة هذه المجموعة بطريقة السرد؟؟


من المجموعات التي لا يمكن مطلقا كتابتها بطريقة السرد
أ- مجموعة الاعداد الحقيقية
ب- مجموعة الاعداد الحقيقية بين الصفر و الواحد
ج- مجموعة الأعداد المركبة

5 التعليقات

هدى عبد السلام delete 6 أكتوبر 2012 10:14 ص

الشكر الجزيل لكل القائمين على هذا الموقع الرائع

الله يجزيك الخير ...
على سبيل العلم، مبتكر نظرية الفئات أو المجموعات هو العالم Georg Cantor (1845-1918) وصارت نظرية أساسية بعلم الرياضيات .. يذكر أنه تم مكافأته لابتكار هالنظرية من قبل الجمعية الملكية بلندن بميدالية سلفستر.

ما هي طريقة السرد ؟

أزال المؤلف هذا التعليق.

هي طريقة لا يشترط فيها ترتيب العناصر ولكن يشترط فيها عدم تكرار أي عنصر من عناصر المجموعة .. مثلا يمكننا ترتيب عناصر مجموعة أحرف اسم "محمد" بعدة طرق : {م،ح،د} أو {ح،م،د} أو {د،م،ح}