التباين والانحراف المعياري في المجتمع Variance and Standard Deviation

يحتوي هذا الموضوع على:


التباين والانحراف المعياري في المجتمع

التباين والانحراف المعياري   and Standard Deviation Variance   

هو أحد مقاييس التشتت، ويعد من الأكثر استخداما في النواحي  التطبيقية , ويعبر عن متوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي .

الانحراف المعياري   Standard Deviation 

في التباين يعتمد على مجموع مربعات الانحرافات ,  وهذا لا يتمشى مع وحدات قياس المتغير محل الدراسه , من أجل ذلك لجأ الإحصائيون إلى مقياس منطقي يأخذ في الاعتبار الجذر التربيعي للتباين , لكي يناسب وحدات قياس المتغير , وهذا المقياس هو الانحراف المعياري .
وبالتالي يمكن تعريف الانحراف المعياري بأنه :
الجذر التربيعي الموجب للتباين  ( الانحراف المعياري =  جذر التباين  ) .
نستطيع أن نحسب التباين بعدة طرق وحسب البيانات المأخوذة وسنذكر ذلك في مايلي :

أولا: التباين في المجتمع  σ2 

ويقصد بذلك أن نأخذ بيانات كامل المجتمع( مجتمع محدود ) وليس عينة منة, وكذلك لا يوجد فيه بيانات مبوبة فهو دائما مايكون لبيانات محدده ( غير مبوبه ) وبذلك يمكن تعريفه في هذه الحالة :
إذا كانت x1,x2,...,xN  هي قراءات أو مفردات مجتمع إحصائي وعددها N وكان الوسط الحسابي لها
يساوي       N )    /   x1+x2+..+ xi) x̅  =  فإن التباين     يمكن أيجادة بتطبيق
المعادله التالية :
σ2 =  Sum(xi -  x̅) 2/   N           
حيث  (xi -  x̅) 2هي مربعات الانحرافات وتساوي
, (x2 -  x̅) 2,……,  (xN -  x̅) 2 (x1 -  x̅) 2
   Sum  تعني مجموع   ,      المتوسط الحسابي  ,  N  عدد البيانات
x=  x1   ,    x2   ,  x3, ….. , xN
مثال :
أوجد التباين  للبيانات التالية  :
5  ,  13  , 7  , 14   , 12  , 9  ,  6  ,  8  , 10 , 13  , 14 , 6 , 11 , 12 , 10
بفرض أنه  تم أخذها لمجتمع كامل.
الحل :
-          نوجد أولا الوسط الحسابي
x̅  = (5+10+13+……..+11+12 ) /  15  =150 /15= 10
-          حساب  مجموع  مربعات الانحرافات  كماهو موضح في الجدول
sum(xi -  x̅) 2
والذي يساوي 130
-          والجدول التكراري كمايلي :
مربع الانحرافات
     (xi -  x̅)2
الانحرافات
xi - x̅ = x - 10
القيم الموجودة xi
-5)2=25)
5 - 10= -5
5
3)2=9)
13-10=3
13
-3)2=9)
7 -10 = -3
7
4)2=16)
14 -10 = 4
14
2)2=4)
12 -10 = 2
12
-1)2=1)
9 -10 = -1
9
-4)2=16)
6 -10 = -4
6
-2)2=4)
8 -10 = -2
8
0)2=0)
10 -10 = 0
10
3)2=9)
13 -10 = 3
13
4)2=16)
14 - 10= 4
14
-4)2=16)
6 - 10= -4
6
1)2=1)
11 -10 = 1
11
2)2=4)
12 -10 = 2
12
0)2=0)
10  - 10 = 0
10
130= Sum
 0= Sum
150= Sum
       
ثم نطبق  بعد ذلك قانون التباين
σ2 =  Sum(xi -  x̅) 2 /   N  =130 /15=8.67
كما ان هناك طريقة أخرى ممكن أن نستخدمها  وهي مختصرة ولك أن تقرر أيهما أسهل لك دراسه .
ونستخدم المعادلة التالية :
σ2 =  Sum(xi2)  - N  x̅2 )/N  = 1/N Sum(xi2) -2    
مثال :
نأخذ نفس المثال السابق ونحتاج الحسابات التالية :
-          الوسط الحسابي
 x̅  = (5+10+13+……..+11+12 ) /  15  =150 /15= 10

-          ثم الجدول التالي :


X2
القيم الموجودة xi
25
5
169
13
49
7
196
14
144
12
81
9
36
6
64
8
100
10
169
13
196
14
36
6
121
11
144
12
100
10
Sum=
1630
Sum=
150
























- ومن الجدول نلاحظ أن :
Sum(xi2)= 1630
وبتطبيق المعادله السابقة وبكل سهوله
σ2   = 1/N Sum(xi2) -2 
= (1/15)1630  -  102
= 108 .67- 100 = 8.67   
وأظن بأن هذه الطريقة أسهل لقلة الحسابات فيها


-        الانحراف المعياري في  المجتمع  σ

)1/2 σ = ( Sum(xi -  x̅) 2/   N  
ففي المثال السابق نفسه لايجاد الانحراف المعياري  نأخذ الجذر التربيعي للتباين  :
1/2  =  2.94( 8.67) =  σ


حيث أن النصف الذي يوضع فوق القوس هو بدل  الجذر التربيعي .

إشترك ليصلك جديدنا


0 التعليقات:

إرسال تعليق

نقدر نوصل ألف متابع !!