التباين والانحراف المعياري في المجتمع Variance and Standard Deviation


التباين والانحراف المعياري في المجتمع

التباين والانحراف المعياري   and Standard Deviation Variance   

هو أحد مقاييس التشتت، ويعد من الأكثر استخداما في النواحي  التطبيقية , ويعبر عن متوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي .

الانحراف المعياري   Standard Deviation 

في التباين يعتمد على مجموع مربعات الانحرافات ,  وهذا لا يتمشى مع وحدات قياس المتغير محل الدراسه , من أجل ذلك لجأ الإحصائيون إلى مقياس منطقي يأخذ في الاعتبار الجذر التربيعي للتباين , لكي يناسب وحدات قياس المتغير , وهذا المقياس هو الانحراف المعياري .
وبالتالي يمكن تعريف الانحراف المعياري بأنه :
الجذر التربيعي الموجب للتباين  ( الانحراف المعياري =  جذر التباين  ) .
نستطيع أن نحسب التباين بعدة طرق وحسب البيانات المأخوذة وسنذكر ذلك في مايلي :

أولا: التباين في المجتمع  σ2 

ويقصد بذلك أن نأخذ بيانات كامل المجتمع( مجتمع محدود ) وليس عينة منة, وكذلك لا يوجد فيه بيانات مبوبة فهو دائما مايكون لبيانات محدده ( غير مبوبه ) وبذلك يمكن تعريفه في هذه الحالة :
إذا كانت x1,x2,...,xN  هي قراءات أو مفردات مجتمع إحصائي وعددها N وكان الوسط الحسابي لها
يساوي       N )    /   x1+x2+..+ xi) x̅  =  فإن التباين     يمكن أيجادة بتطبيق
المعادله التالية :
σ2 =  Sum(xi -  x̅) 2/   N           
حيث  (xi -  x̅) 2هي مربعات الانحرافات وتساوي
, (x2 -  x̅) 2,……,  (xN -  x̅) 2 (x1 -  x̅) 2
   Sum  تعني مجموع   ,      المتوسط الحسابي  ,  N  عدد البيانات
x=  x1   ,    x2   ,  x3, ….. , xN
مثال :
أوجد التباين  للبيانات التالية  :
5  ,  13  , 7  , 14   , 12  , 9  ,  6  ,  8  , 10 , 13  , 14 , 6 , 11 , 12 , 10
بفرض أنه  تم أخذها لمجتمع كامل.
الحل :
-          نوجد أولا الوسط الحسابي
x̅  = (5+10+13+……..+11+12 ) /  15  =150 /15= 10
-          حساب  مجموع  مربعات الانحرافات  كماهو موضح في الجدول
sum(xi -  x̅) 2
والذي يساوي 130
-          والجدول التكراري كمايلي :
مربع الانحرافات
     (xi -  x̅)2
الانحرافات
xi - x̅ = x - 10
القيم الموجودة xi
-5)2=25)
5 - 10= -5
5
3)2=9)
13-10=3
13
-3)2=9)
7 -10 = -3
7
4)2=16)
14 -10 = 4
14
2)2=4)
12 -10 = 2
12
-1)2=1)
9 -10 = -1
9
-4)2=16)
6 -10 = -4
6
-2)2=4)
8 -10 = -2
8
0)2=0)
10 -10 = 0
10
3)2=9)
13 -10 = 3
13
4)2=16)
14 - 10= 4
14
-4)2=16)
6 - 10= -4
6
1)2=1)
11 -10 = 1
11
2)2=4)
12 -10 = 2
12
0)2=0)
10  - 10 = 0
10
130= Sum
 0= Sum
150= Sum
       
ثم نطبق  بعد ذلك قانون التباين
σ2 =  Sum(xi -  x̅) 2 /   N  =130 /15=8.67
كما ان هناك طريقة أخرى ممكن أن نستخدمها  وهي مختصرة ولك أن تقرر أيهما أسهل لك دراسه .
ونستخدم المعادلة التالية :
σ2 =  Sum(xi2)  - N  x̅2 )/N  = 1/N Sum(xi2) -2    
مثال :
نأخذ نفس المثال السابق ونحتاج الحسابات التالية :
-          الوسط الحسابي
 x̅  = (5+10+13+……..+11+12 ) /  15  =150 /15= 10

-          ثم الجدول التالي :


X2
القيم الموجودة xi
25
5
169
13
49
7
196
14
144
12
81
9
36
6
64
8
100
10
169
13
196
14
36
6
121
11
144
12
100
10
Sum=
1630
Sum=
150
























- ومن الجدول نلاحظ أن :
Sum(xi2)= 1630
وبتطبيق المعادله السابقة وبكل سهوله
σ2   = 1/N Sum(xi2) -2 
= (1/15)1630  -  102
= 108 .67- 100 = 8.67   
وأظن بأن هذه الطريقة أسهل لقلة الحسابات فيها


-        الانحراف المعياري في  المجتمع  σ

)1/2 σ = ( Sum(xi -  x̅) 2/   N  
ففي المثال السابق نفسه لايجاد الانحراف المعياري  نأخذ الجذر التربيعي للتباين  :
1/2  =  2.94( 8.67) =  σ


حيث أن النصف الذي يوضع فوق القوس هو بدل  الجذر التربيعي .

إشترك ليصلك جديدنا


0 التعليقات:

إرسال تعليق

نقدر نوصل ألف متابع !!