معادلات تفاضلية عادية تؤول إلى معادلات متجانسة

يحتوي هذا الموضوع على:

معادلات تفاضلية عادية تؤول إلى معادلات متجانسة


هذه المعادلات التفاضلية عادية على الصورة :





حيث أن  ,  a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2  ثوابت .

إذا كان c1=c2=0 فإن المعادلة التفاضلية (1) تؤول إلى المعادلة :







وهذه معادلة تفاضلية متجانسة حيث أن كل من دالتي البسط والمقام متجانسة من الدرجة الأولى وفي هذه الحالة يمكن حل المعادلة (2) .
ولحل المعادلة التفاضلية العادية (1) فإنا نبحث فيما إذا كان الخطان المستقيمان :
a1x + b1y + c1=0…………………………………………………………………(3)
a2x + b2y + c2=0…………………………………………………………………(3)
هل سيتقاطع المستقيمان أم لا .
وسنوضح الحالتين فيما يلي :

الحالة الأولى

تقاطع المستقيمان
a1x + b1y + c1=0
a2x + b2y + c2=0


إذا كان :


لو أفترضنا أن نقطة تقاطع المستقيمان هي  (h , k) فإننا نستخدم التعويض :
y= v + k   ,  x = u + h
حيث ان k ,h  وعلى ذلك فإن


وبالتعويض في المعادلة (1) فإننا نحصل على :

وحيث ان (h,k) نقطة تقاطع المستقيمان في المعادلة (4) , أي انها تقع على كل منهما وعلية فإن :
a1h + b1k + c1=0
a2h + b2k + c2=0
ومنه تأخذ المعادلة التفاضلية (4)  الصورة :



وهذه معادلة تفاضلية متجانسة في المتغيرين u,v ويمكن حلها كما سبق وذلك باستخدام التعويض v=zu فتتحول المعادلة (5) إلى معادلة تفاضلية تحل بطريقة فصل المتغيرات ثم نستخدم التعويضz=v/u ,
 ثم نعوض بعد ذلك عن كل من u ,v حيث v=y-k , u=x-h فنحصل على الحل العام للمعادلة التفاضلية في الرقم (1).

مثال :أوجد الحل العام  للمعادلة التالية :



الحل :

نلاحظ ان المستقيمان :
x+y-1=0…………………..(1)
x - y-5=0……………………..(2)
متقاطعان , وبحل المعادلتين كالتالي :
بجمع (1) و (2) نجد ان :
2x - 6=0 x= 3 
ومنه فإن :
3-y-5=0 y = 2
يتقاطعان في النقطة (3,2) ثم باستخدام التعويض فإن :
x=u + 3    ,     y = v – 2
ومن ذلك نجد أن :


ولكن  u=x - 3    ,     v = y – 2 :
فيكون الحل العام للمعادلة التفاضلية هو :


 الحالة الثانية :

في حال المستقيمان متوازيان , نقوم بافتراض ان المستقيمان في (3) سابقا , متوازيان فإن شرط التوازي هو :
a1b2=a2b1
في هذه الحالة نستخدم التعويض التالي :
z=a1 x + b1 y     ,   or      z= a2 x  + b2 y
في هذه الحاله بعد التعويض تتحول المعادلة التفاضلية (1) إلى معادلة تفاضلية نحلها بطريقة فصل المتغيرات .

مثال:أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية العادية :







الحل 

إشترك ليصلك جديد برامجنا وتطبيقاتنا


0 التعليقات:

إرسال تعليق

نقدر نوصل ألف متابع !!