معادلات تفاضلية تؤول إلى الخطية

يحتوي هذا الموضوع على:

 معادلات تفاضلية تؤول إلى الخطية 

أولا : معادلة برنولي

تكون المعادلة على الصورة :


حيث n 0 ,1  تسمى معادلة برنولي , n عدد حقيقي .
-          وهذه المعادلة يمكن أن تتحول إلى معادلة خطية :




مثال :

أوجد حل المعادلة التفاضلية التالية :
y'+xy=xy2

الحل:

المعادلة على شكل معادلة برنولي وهي بالصورة :



بمقارنة المعادلة (1) مع المعادلة (2) نجد أن
P(x)=-2x       ,  Q(x) =  -x
   


ثانيا معادلة ريكاتي

وصورة هذه المعادلة :

حيث P , Q , R دوال في x فقط .
وممكن أن تصبح المعادلة السابقة خطية عندما : p(x)=0  , وممكن أن تصبح برنولية عندما R(x)=0.
وتعتبر هذه المعادلة أعم من معادلة برنولي .

حل المعادلة

لإيجاد حل مثل هذه المعادلة  , لابد من علم حلا خاصا وليكن y1  حيث  y1(x)=y1 .
ويكون الحل العام لمعادلة ريكاتي باستخدام التعويض :

ثم نقوم بالتعويض في المعادلة الأصلية ونوجد الحل الخاص للمعادلة ثم الحل العام .

مثال :

حل المعادلة التفاضلية التالية :
y' + 2yex + y2 = e2x + ex             ,                   
حيث ان :    y= ex
الحل :



ثالثا : المعادلات التفاضلية على الصورة



حيث Q(x)p(x) دوال في المتغير x  , و   f(y)دالة  في المتغير y فقط و f'(y)  هو تفاضل الداله  f(y) بالنسبة إلى y .
ولحل هذا النوع من المعادلات فإننا نستخدم التعويض :     z= f(X)  
ومنها بالتفاضل بالنسبة إلى x نحصل على :

حيث أن المعادلة السابقة معادلة خطية في z .

مثال

أوجد الحل العام للمعادلة التالية :

وهذه معادلة تفاضلية خطية وحلها يكون هو :
Z = x ex – ex + c 
ويكون الحل العام للمعادلة التفاضلية هو :
   ey = ex(x – 1) + c 

حيث       c ثابت اختياري .

إشترك ليصلك جديدنا


0 التعليقات:

إرسال تعليق

نقدر نوصل ألف متابع !!