مجموعة تعريف الدوال ومدى كل داله- الجزءالثاني

مجموعة تعريف الدوال ومدى كل داله- الجزءالثاني

دالة القيمة المطلقة

ويكتب هذا النوع من الدوال كالتالي :
   




مجال ومدى دالة القيمة المطلقة 


مجال دالة القيمة المطلقة( مجموعة التعريف) R , أما مدى الدالة يساوي مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة [0,∞[

مثال :


أوجد مجموعة تعريف الداله ومداها :

f(x) =|x-2|+|2x-1|
الحل :
نوجد أصفار كل من x-2 , 2x-1  كمايلي :
x-2=0 ⇒ x=2
2x-1=0 ⇒ x=1/2
ولإيجاد مجموعة تعريف هذه الداله نكون جدولا مبينا على خط الأعداد وبحيث نضع القيم الموجبة للداله
x-2|| يمين العدد 2  والقيم السالبه يساره .
كما في الجدول التالي :




x2
2≥x≥1/2
X ≤ 1/2
إشارة  (x-2)
x-2
2-x
2-x
إشارة  (2x-1)
2x-1
2x-1
1- 2x
إشارة  [(2x-1) (x-2)]
3x-3
X+3
3 - 3x

أو من الممكن دراسة الإشارة كالتالي :
2
1/2
- ∞


++++
--------
-------
x-2

++++
+++++
--------
2x-1

+++++
------------
++++++
(x-2)( 2x-1)

 محققة 
غير محققة 
محققة 









ومن الممكن أن نفسر الجدول الأخير كالتالي :
في السطر الأول للإشارة ل x-2 نعوض من عند سالب مالانهاية في المعادلة x-2 سنجد النتيجة سالبة لذلك كتبنا أمام سالب مالانهاية إشارة سالبة وبشكل عام في حال عوضنا بعدد أصغرمن 2 ستكون الإشارة سالبه كما نشاهد تحت 1/2 وفي حال قمنا بالتعويض في المعادله  x-2  بأي عدد أكبر أويساوي 2 سنجد أن الناتج موجب , ولذلك كانت الإشارة تحت الرقم 2 موجبة .
وبنفس التفسير نفسر إشارة المعادلة 2x-1 .
ثم في المربعات الإخيرة في الأسفل نجمع أشارتي المربعين في الأعلى وعندها تكون الإشارة الموجبة هي الحل .

ولإكمال الحل :
نعيد تعريف الداله من أحد الجداول كالتالي :

وبالتالي فالداله ذات ثلاث قواعد , مجموعة تعريفها :
]- , 1/2][1/2 , 2]∪[2, ∞]
ولإيجاد المدى من الجدول الأول  نتبع مايلي :
]- , 1/2]
نبين  الداله  :  
f(x)= 3 - 3x
X 1/2
وبضرب الطرفين في العدد 3 نجد أن :
3X 3/2 ⇒ - 3X - 3/2 3- 3x 3/2  
أي أن  :  f(x)≥3/2
نبين  الداله  :   f(x)= 3 - 3x
X 1/2
وبضرب الطرفين في العدد 3 نجد أن :
3X 3/2 ⇒ - 3X - 3/2 3- 3x 3/2  
f(x)≥3/2
ولإيجاد المدى من الجدول الأول  نتبع مايلي :
]- , 1/2]
نبين  الداله  :  
f(x)= 3 - 3x
X 1/2
وبضرب الطرفين في العدد 3 نجد أن :
3X 3/2 - 3X - 3/2 3- 3x 3/2  
f(x)≥3/2
المدى = ] , 3/2]
وفي الفترة [1/2 , 2]  تكون f(x)= x+1
عندما:
3/2 ≤x+1≤3 3/2 ≤f(x)3  1/2 ≤x2
المدى = [3/2  ,  3]
وفي الفترة [2 , ]  تكون f(x)= 3x - 3
عندما:  
3x6 3x – 3 ≥ 3   f(x)3  x2
المدى = [3  ,  [
وبالتالي فإن مدى الداله هو :
[ 3/2 , [[3/2, 3 ] [3 , ∞[= [ 3/2 ,∞ [

-          الدالة الدراجية أو دالة  الصحيح

يرمز لها بالرمز [X] , وقاعدتها f(x)=[x] حيث [X] هو أكبر عدد صحيح يكون أقل من أو يساوي   Xأي أن :
[X] =n  n ≤ x < n-1   , n-1
ويسمى n بالجزء الصحيح في  X أي أن :
[X]= [X]+ ɑ   ,   0 ≤ɑ<1  
وشكل هذا المعادلة البياني :




أمثلة على الدالة :
[ 0.3]=0    ,   [5]=5    ,    [-4.3]=-5

مجال ومدى دالة الصحيح

مجال دالة الصحيح هو مجموعة الأعداد الحقيقية R ومداها مجموعة الأعداد الصحيحة I .

مثال :

 أوجد مجموعة تعريف ومدى الداله التالية :
    3=[x+11]
الحل :
 مجموعة تعريف الداله هي مجموعة الأعداد الحقيقيقة , أما مدى الداله فيساوي مجموعة الأعداد الصحيحة I >


الدالة الأسية


وهذه الدالة هي الأكثر إستخداما في التطبيقات ولتسهيل الكثير من الحسابات , فهي تستخدم في الفيزياء والبيولوجيا والكيمياء والعلوم الهندسية , والحاسبات .
وقاعدة الدالة تعرف كالأتي :
f(x)=ax  ,a > 0  , a 1
حيث  a عدد حقيقي موجب .

مجال ومدى الدالة الأسية


مجالها مجموعة الأعداد الحقيقية 
أما مدى الدالة يساوي مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة ]0,∞[ ( وهذا يعني أن نجعل الداله أكبر من أو يساوي الصفر أثناء حلها )
حاله خاصة
وهي حاله ذات أهمية كبيرة لدى علماء الرياضيات وهي عندما  a =eوتسمى ( الدالة الأسية ذات الأساس الطبيعي , ويسمى بالأساس الطبيعي للوغاريتمات وله قيمة تقريبية تساوي 2.71828
بيان الدالة :




مثال

أوجد مجموعة تعريف ومدى الداله التالية :


f(x)=3x
الحل :
مجالها مجموعة الأعداد الحقيقية   ]-∞,∞[
أما مدى الدالة يساوي مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة ]0,∞[
3x>0  x ln3 >0 x>0 


الداله اللوغاريتمية


وتعرف هذه الداله بالقاعدة التالية :y = Loga x , a > 0 , a 
وعندما   a =e  تكتب الداله على الصورة الأتية :
y = Loga x     or   y = Ln x

مجال ومدى الداله  الدالة 


هو مجموعة الاعداد الحقيقية  الموجبة ]0,∞[  ( وهذا يعني أن نجعل الداله أكبر من أو يساوي الصفر أثناء حلها ).
أما مدى الداله  مجموعة الأعداد الحقيقية ]-∞,∞[
ونستنتج من ماسبق أن الدالة اللوغاريتمية هي الدالة العكسية للداله الأسية .
أي أن :Ln b =x    ⇔ ax=b
بيان الداله





مثال :

أوجد مجموعة تعريف ومدى الداله التالية :
y = Ln( x2-9)
الحل :
y معرفة عندما :
x2-9>0 x2>9 |x| >3  ⇒ x>3  or  x<-3
مجموعة تعريف الداله هي :
]- , -3[ ] 3 , [
وبالتالي 
أما مداها فهو مجموعة الأعداد الحقيقية بالكامل  .

الداله الكسرية

هي الدالة التي يمكن كتابتها والتعبير عنها بخارج قسمة كثيرتي حدود الصورة :


حيث أن :
P(x) , q(x) كثيرتي حدود .

مجال ومدى الداله

مجال الداله هو جميع الأعداد الحقيقية ماعدا التي تجعل المقام يساوي صفرا (q(x) =0 ) , حيث أن القسمة على الصفر كمية غير معرفة .
مداها هو  حسب التعويض فى المعادلة اى مجموعة جزئية من مجموعة الاعداد الحقيقة .

  
مثال :

أوجد مجموعة تعريف ومدى الداله الأتية :

الحل :



من المعروف لدينا أن مجموعة تعريف الدوال الكسرية هي الأعداد الحقيقية ماعدا أصفارالمقام .
لكن في مثل هذه المعادله مقامها لا يمكن أن يكون صفرا في أي حال من الأحوال , لذامجموعة تعريفها مجموعة الأعداد الحقيقية .

ولإيجاد مداها كالتالي :


مثال أخر : 
أوجد مجموعة تعريف الداله التاليه :


الحل :

مجموعة تعريف الداله :
مجموعة تعريف الداله كل الأعداد الحقيقية ماعدا أصفار المقام .
نوجد اصفار المقام :
x2 – 1=0 x2 = 1 x =1
وبالتالي فإن مجموعة التعريف تكون :
Df=R-{-1,1}
مدى الداله يمكن أيجادة كاالتالي :

مثال :



مثال :
 أوجد مجموعة تعريف الداله التالية :

الحل :

الداله كسرية  ,  ولكي تكون الداله معرفة يج أن يكون مقامها لايساوي الصفر , أي 
أن مجموعة تعريفها مجموعة الأعداد الحقيقية ماعدا الصفر .

الدوال الجذرية

وهي تكتب على الصورة :

مجال ومدى الداله :

مجال الداله مجموعة الأعداد الحقيقية التي تجعل ماتحت الجذر أكبر أو يساوي صفر , أما مداها هو  حسب التعويض فى المعادلة اى مجموعة جزئية من مجموعة الاعداد الحقيقة .
  
مثال :


أوجد مجموعة تعريف ومدى الداله الأتية :

الحل :
-x2-2x+30⇒ (-x+1)(x+3) 0
عندما 0    =(x+1) (x+3-)
إما  x=1          or x=-3 
مجموعة التعريف هي :
[ 3,1 - ] Df =
ولإيجاد المدى :
نربع طرفي المعادله فتصبح :
y2 =-x2-2x+3 x2+2x-3+ y2=0
a= 1   ,   b=2  ,   c=-3+ y2       
∴∆ = b2-4ac
=4-4×1(-3+ y2)
=4+12-4y2 ≥ 0
∆≥0 16-4y2 ≥ 0 -4y2 ≥ 16
y2 ≤ 4  |y| ≤ 2  
-2≤y ≤ 2
المدى هو :
[-2 , 2]   

-          الدوال المثلثية

هي الدوال المعداة بواسطة علاقات حساب المثلثات وهي :
y=sinx       ,    y = cosx    ,     y = tanx
وهناك دوال أخرى ممكن نعرفها كالتالي :




بيان الداله




مجال الداله ومداها

مجال الداله هو مجموعة الاعداد الحقيقية ,  ومداها هو [-1 , 1]

مثال : 

أوجد مجموعة تعريف ومدى الداله التالية :

y=sinx 
الحل :
مجال الداله هو مجموعة الاعداد الحقيقية ,
  ومداها هو [-1 , 1]  أي أن         -1 ≤ sinx 1


إشترك ليصلك جديدنا


1 التعليقات:

  1. شكراااااااااااااااااااااااااااااااااااااااااااااااااااااااااااااااااااااااا جزيلاااااااااااااااااااااااااااااااااااااااا.....

    ردحذف

نقدر نوصل ألف متابع !!