الإتحاد والتقاطع في المجموعات

يحتوي هذا الموضوع على:

الإتحاد والتقاطع في المجموعات

المجموعة الشاملة لمجموعات معطاة هي المجموعة التي تحوي كل هذه المجموعات ويرمز لها بالرمز  ش
أمثلة

مثال 1) :

 لتكن س  مجموعة الطلبة في مدرستك ,  ع  مجموعة طلاب الصف الثامن في مدرستك , م مجموعة طلاب الصف السادس في مدرستك .
من المثال نلاحظ مايلي : ع  س  , م  س ,  س  س   وهذا يعني أن   س  تحوي المجموعات الثلاث معا  , وبالتالي نسميها المجموعة الشاملة .

مثال2 )

إذا كانت   ف = { 1 , 2 }   ,   ن = { 2 , 3 , 4}  , نلاحظ أن :
ف ليست جزئية من   ن   ,   وكذلك ن ليست جزئية من  ف    
لذا  نبحث عن مجموعة شاملة للمجموعات الثلاث  معا وهي :
ش =  { 1 , 2 , 3 , 4 }  وتسمى هذه بالمجموعة الشاملة

تقاطع المجموعات

التقاطع أحد العمليات على المجموعات ومن الممكن أن نعرف تقاطع مجموعتين كالتالي :
تقاطع مجموعتين  س و ص هي مجموعة كل العناصر التي تنتمي إلى س , وتنتمي إلى ص في آن واحد  . ونرمز لها بالرمز س  ص  ,  وتقرأ س تقاطع ص .
ويمكن أن نميز التقاطع بمنطقة مظللة في الرسم .
مثال 1)
إذا كانت أ= { 2 , 3 , 4 ,5 }        ,   ب= { 2 , 3 , 6  ,  7}
أوجد أ  ب ومثل ذلك بشكل فن ؟
http://www.ar-science.com



الحل :
أ  ب = { 2 , 3 }


عملية الاتحاد

أتحاد مجموعتين س , ص هي مجموعة العناصر التي تنتمي إلى س أوتنتمي إلى ص أو إلى كليهما.
ويرمز لها بالرمز   س U ص   وتقرأ  س أتحاد ص . ويمكن تمييزها بتظليلها بخطوط  أو التظليل الكامل.
أمثلة
مثال 1)
إذا كانت أ= { 2 , 3 , 4}     ب= { 2 , 3 , 6  ,  7}
أوجد أ U ب ومثل ذلك بشكل فن ؟




http://www.ar-science.com



الحل :
أ U ب = {  2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }    جميع الأرقام الموجودة في المجموعتين  , ويدل على ذلك المنطقة المظللة بخطوط كاملة في الرسم ’ بينما منطقة التقاطع واضحة فهي مظللة بخطوط متقاطعة أفقيا وراسيا .


أمثلة عامة 


http://www.ar-science.com
 الشكل 1



http://www.ar-science.com
   الشكل2 


من الشكلين السابقين الموجودة  أوجد مايلي  :


1)     ش أ = أ وهذا يعني أن أي مجموعة في المجموعة  
الشاملة تمثل التقاطع مع المجموعة الشاملة

2)     أ =   لأن  المجموعة ﺠ  موجودة داخل المجموعة أ    

3)       ش U أ = ش وهذا يعني أن المجموعة الشاملة تمثل الأتحاد   
    لأي مجموعة أخرى موجودة معها
                                                                                                     
4)     أU = ش  لأن المجموعة الشاملة هي من تحتوي المجموعتين   كلاهما                                                                                                                                                                        
الشكل الثاني :
1)     أ ب = ø وذلك لأن المجموعتان منفصلتان  
       أ U ب =ش كل عناصر المجموعتين  ( المجموعة الشاملة) 

الفرق بين مجموعتين

المجموعة س فرق المجموعة ص , هو مجموعة عناصرها تنتمي إلى المجموعة س ولا تنتمي إلى المجموعة ص ونرمز لذلك بالرمز  : س / ص .
س / ص = { أ : أ  س , أ  ص }
إذا كانت س = { 3 , 4 ,5 }     ,  ع = { 4 , 5 , 6 }, أوجد مايلي :
1)                 س /  ع  , ومثلها بشكل فن
2)                 ع / س ومثلها بشكل فن
الحل :
1)     س /  ع  = { 3 , 4 ,5 }  /  { 4 , 5 , 6 }
                    = { أ : أ  س , أ  ع } = { 3 }
 ونمثلها بالمنطقة المظللة في الرسم

http://www.ar-science.com







2)     ع / س = { 4 , 5 , 6 }  /  { 3 , 4 ,5 }  
           ={ أ : أ  ع , أ  س } = {6}  .

http://www.ar-science.com






المجموعة المتممة 

المجموعة المتممة لمجموعة س هي مجموعة العناصر التي تنتمي إلى المجموعة ش الشاملة ولا تنتمي إلى المجموعة س ويرمز لها بالرمز  سَ  . أي أن  :
سَ = { أ : أ  ش  , أ  س }
أمثلة
مثال :
إذا كانت ش = { 3  , 4  ,  5 , 6 , 7  , 8 }
س = { 3  , 4  , 7 }            ,   ص = { 4 , 7 , 5  , 8 } , أوجد مايلي:
 1) سَ        2)   صَ   ومثلهما بأشكال فن ؟
الحل :
1)     سَ = ش / س  = { 3  , 4  ,  5 , 6 , 7  , 8 } / { 3  , 4  , 7 }
                           ={ 5 , 6  , 8 }
  وتمثلها المنطقة المظللة في الشكل

http://www.ar-science.com







2)     صَ = ش / ص
= { 3  , 4  ,  5 , 6 , 7  , 8 } /  { 4 , 7 , 5  , 8 }=  { 3 , 6 } 
 وتمثلها المنطقة المظللة في الشكل التالي

http://www.ar-science.com






3)     أوجد صً ؟
صً  = ص نفسها  أي أن متممة المتممة يساوي  المجموعة نفسها

قانونا دي مورجان
1)     ( س U ص )َ  = سَ  صَ
2)     (س  ص  )َ  =  سَ صَ
أمثلة
مثال  :
إذا كانت  ش = { 11 ، 12 ، 13 ، 14 ، 15 ، 16 ، 17 ، 18 ، 19 }
 س = { 11 , 12 , 13 , 14 , 18 }       ,   ص = {14 , 15, 16 , 18 }  ,  فأوجد
  1) (س ∩ ص) َ
   2 ) (س Uص)َ 


الحل :


أولاً نوجد :  سَ = { 15 , 16 , 17 , 19 }
                صَ = { 11 ، 12 ، 13 ، 17 ، 19 }
باستخدام قانوني دي مورجان :  

1)     (س  ص  )َ 
        =  سَ صَ
        ={ 15 , 16 , 17 , 19 }  { 11 ، 12 ، 13 ، 17 ، 19 }
    =  {11، 12، 13، 15، 16 ،17 ،19}
2)     (س U ص )َ 
       = سَ  صَ
       ={ 15 , 16 , 17 , 19 }  { 11 ، 12 ، 13 ، 17 ، 19}
      = { 17، 19}
مثال :
إذا كانت المجموعة الشاملة هي مجموعة الأرقام في النظام العشري ، ما
متممة مجموعة أرقام العدد 299735 ؟
الـحــــل:
                           مجموعة الأرقام في النظام العشري هي = {0 ، 1 ، 2 ،3 ، 4 ، 5 ،6 ،7، 8 ،9}
                          وبالتالي فإن متممة مجموعة أرقام العدد 299735 هي {0 ، 1 ، 4 ، 6 ، 8}

مثال 
إذا كانت س ، ص مجموعتين  ش مجموعة شاملة فإن  :
  1)  س سَ =   ش                   2) س ∩ سَ = ø
  3) سَ ش =   ش                        4) سَ ∩ ش = سَ
 5) شَ =   øَ     (  6                                     øَ =  ش
7 ) سَ Ø = سَ                       8)  سَ ∩ Ø  =  ø

قد تهمك
خواص عمليتي التقاطع والأتحاد





            

عن الكاتب: author بسام حسين محمد 25 سنة مهتم بجمع البحوث العلمية وترجمتها وتلخيص وحل كتب المقررات المدرسية والجامعية بشكل دوري ومستمر

تابعني على جوجل بلس |

إشترك ليصلك جديد برامجنا وتطبيقاتنا


4 التعليقات:

  1. هل يمكن للمجموعة الشاملة ان تشمل اعداد عشرية؟

    ردحذف
  2. شرح رائع جزاك الله خير بس الخواص الاخيره ياريت كيف تقرأ

    ردحذف
  3. شرح رائع جزاك الله خير بس الخواص الاخيره ياريت كيف تقرأ

    ردحذف
  4. مافائدة موضوع التقاطع والاتحاد لمجموعات في تدريس الرياضيات

    ردحذف