الإتحاد والتقاطع في المجموعات

الإتحاد والتقاطع في المجموعات

المجموعة الشاملة لمجموعات معطاة هي المجموعة التي تحوي كل هذه المجموعات ويرمز لها بالرمز  ش
أمثلة

مثال 1) :

 لتكن س  مجموعة الطلبة في مدرستك ,  ع  مجموعة طلاب الصف الثامن في مدرستك , م مجموعة طلاب الصف السادس في مدرستك .
من المثال نلاحظ مايلي : ع  س  , م  س ,  س  س   وهذا يعني أن   س  تحوي المجموعات الثلاث معا  , وبالتالي نسميها المجموعة الشاملة .

مثال2 )

إذا كانت   ف = { 1 , 2 }   ,   ن = { 2 , 3 , 4}  , نلاحظ أن :
ف ليست جزئية من   ن   ,   وكذلك ن ليست جزئية من  ف    
لذا  نبحث عن مجموعة شاملة للمجموعات الثلاث  معا وهي :
ش =  { 1 , 2 , 3 , 4 }  وتسمى هذه بالمجموعة الشاملة

تقاطع المجموعات

التقاطع أحد العمليات على المجموعات ومن الممكن أن نعرف تقاطع مجموعتين كالتالي :
تقاطع مجموعتين  س و ص هي مجموعة كل العناصر التي تنتمي إلى س , وتنتمي إلى ص في آن واحد  . ونرمز لها بالرمز س  ص  ,  وتقرأ س تقاطع ص .
ويمكن أن نميز التقاطع بمنطقة مظللة في الرسم .
مثال 1)
إذا كانت أ= { 2 , 3 , 4 ,5 }        ,   ب= { 2 , 3 , 6  ,  7}
أوجد أ  ب ومثل ذلك بشكل فن ؟
http://www.ar-science.com



الحل :
أ  ب = { 2 , 3 }


عملية الاتحاد

أتحاد مجموعتين س , ص هي مجموعة العناصر التي تنتمي إلى س أوتنتمي إلى ص أو إلى كليهما.
ويرمز لها بالرمز   س U ص   وتقرأ  س أتحاد ص . ويمكن تمييزها بتظليلها بخطوط  أو التظليل الكامل.
أمثلة
مثال 1)
إذا كانت أ= { 2 , 3 , 4}     ب= { 2 , 3 , 6  ,  7}
أوجد أ U ب ومثل ذلك بشكل فن ؟




http://www.ar-science.com



الحل :
أ U ب = {  2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }    جميع الأرقام الموجودة في المجموعتين  , ويدل على ذلك المنطقة المظللة بخطوط كاملة في الرسم ’ بينما منطقة التقاطع واضحة فهي مظللة بخطوط متقاطعة أفقيا وراسيا .


أمثلة عامة 


http://www.ar-science.com
 الشكل 1



http://www.ar-science.com
   الشكل2 


من الشكلين السابقين الموجودة  أوجد مايلي  :


1)     ش أ = أ وهذا يعني أن أي مجموعة في المجموعة  
الشاملة تمثل التقاطع مع المجموعة الشاملة

2)     أ =   لأن  المجموعة ﺠ  موجودة داخل المجموعة أ    

3)       ش U أ = ش وهذا يعني أن المجموعة الشاملة تمثل الأتحاد   
    لأي مجموعة أخرى موجودة معها
                                                                                                     
4)     أU = ش  لأن المجموعة الشاملة هي من تحتوي المجموعتين   كلاهما                                                                                                                                                                        
الشكل الثاني :
1)     أ ب = ø وذلك لأن المجموعتان منفصلتان  
       أ U ب =ش كل عناصر المجموعتين  ( المجموعة الشاملة) 

الفرق بين مجموعتين

المجموعة س فرق المجموعة ص , هو مجموعة عناصرها تنتمي إلى المجموعة س ولا تنتمي إلى المجموعة ص ونرمز لذلك بالرمز  : س / ص .
س / ص = { أ : أ  س , أ  ص }
إذا كانت س = { 3 , 4 ,5 }     ,  ع = { 4 , 5 , 6 }, أوجد مايلي :
1)                 س /  ع  , ومثلها بشكل فن
2)                 ع / س ومثلها بشكل فن
الحل :
1)     س /  ع  = { 3 , 4 ,5 }  /  { 4 , 5 , 6 }
                    = { أ : أ  س , أ  ع } = { 3 }
 ونمثلها بالمنطقة المظللة في الرسم

http://www.ar-science.com







2)     ع / س = { 4 , 5 , 6 }  /  { 3 , 4 ,5 }  
           ={ أ : أ  ع , أ  س } = {6}  .

http://www.ar-science.com






المجموعة المتممة 

المجموعة المتممة لمجموعة س هي مجموعة العناصر التي تنتمي إلى المجموعة ش الشاملة ولا تنتمي إلى المجموعة س ويرمز لها بالرمز  سَ  . أي أن  :
سَ = { أ : أ  ش  , أ  س }
أمثلة
مثال :
إذا كانت ش = { 3  , 4  ,  5 , 6 , 7  , 8 }
س = { 3  , 4  , 7 }            ,   ص = { 4 , 7 , 5  , 8 } , أوجد مايلي:
 1) سَ        2)   صَ   ومثلهما بأشكال فن ؟
الحل :
1)     سَ = ش / س  = { 3  , 4  ,  5 , 6 , 7  , 8 } / { 3  , 4  , 7 }
                           ={ 5 , 6  , 8 }
  وتمثلها المنطقة المظللة في الشكل

http://www.ar-science.com







2)     صَ = ش / ص
= { 3  , 4  ,  5 , 6 , 7  , 8 } /  { 4 , 7 , 5  , 8 }=  { 3 , 6 } 
 وتمثلها المنطقة المظللة في الشكل التالي

http://www.ar-science.com






3)     أوجد صً ؟
صً  = ص نفسها  أي أن متممة المتممة يساوي  المجموعة نفسها

قانونا دي مورجان
1)     ( س U ص )َ  = سَ  صَ
2)     (س  ص  )َ  =  سَ صَ
أمثلة
مثال  :
إذا كانت  ش = { 11 ، 12 ، 13 ، 14 ، 15 ، 16 ، 17 ، 18 ، 19 }
 س = { 11 , 12 , 13 , 14 , 18 }       ,   ص = {14 , 15, 16 , 18 }  ,  فأوجد
  1) (س ∩ ص) َ
   2 ) (س Uص)َ 


الحل :


أولاً نوجد :  سَ = { 15 , 16 , 17 , 19 }
                صَ = { 11 ، 12 ، 13 ، 17 ، 19 }
باستخدام قانوني دي مورجان :  

1)     (س  ص  )َ 
        =  سَ صَ
        ={ 15 , 16 , 17 , 19 }  { 11 ، 12 ، 13 ، 17 ، 19 }
    =  {11، 12، 13، 15، 16 ،17 ،19}
2)     (س U ص )َ 
       = سَ  صَ
       ={ 15 , 16 , 17 , 19 }  { 11 ، 12 ، 13 ، 17 ، 19}
      = { 17، 19}
مثال :
إذا كانت المجموعة الشاملة هي مجموعة الأرقام في النظام العشري ، ما
متممة مجموعة أرقام العدد 299735 ؟
الـحــــل:
                           مجموعة الأرقام في النظام العشري هي = {0 ، 1 ، 2 ،3 ، 4 ، 5 ،6 ،7، 8 ،9}
                          وبالتالي فإن متممة مجموعة أرقام العدد 299735 هي {0 ، 1 ، 4 ، 6 ، 8}

مثال 
إذا كانت س ، ص مجموعتين  ش مجموعة شاملة فإن  :
  1)  س سَ =   ش                   2) س ∩ سَ = ø
  3) سَ ش =   ش                        4) سَ ∩ ش = سَ
 5) شَ =   øَ     (  6                                     øَ =  ش
7 ) سَ Ø = سَ                       8)  سَ ∩ Ø  =  ø

قد تهمك
خواص عمليتي التقاطع والأتحاد





            
12/23/2014

23 سنة خريج كلية التجارة والإقتصاد قسم محاسبة ، مهتم بخدمة الطالب والبحاث والمثقف العربي بتوفير أهم الأبحاث والشروح والحلول

التالي
« Prev Post
السابق
Next Post »

4 التعليقات

Write التعليقات
غير معرف
الكاتب
1 فبراير، 2016 2:59 م delete

هل يمكن للمجموعة الشاملة ان تشمل اعداد عشرية؟

رد
avatar
magdy kord
الكاتب
7 سبتمبر، 2016 4:38 م delete

شرح رائع جزاك الله خير بس الخواص الاخيره ياريت كيف تقرأ

رد
avatar
magdy kord
الكاتب
7 سبتمبر، 2016 4:42 م delete

شرح رائع جزاك الله خير بس الخواص الاخيره ياريت كيف تقرأ

رد
avatar
Unknown
الكاتب
26 نوفمبر، 2016 1:14 م delete

مافائدة موضوع التقاطع والاتحاد لمجموعات في تدريس الرياضيات

رد
avatar

المتابعون